中考数学一轮全程复习课时练第31课时《弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积》(教师版)

这是一份中考数学一轮全程复习课时练第31课时《弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积》(教师版)，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题)，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA＝6 cm，则扇形AOB的面积是(C)
A．6π cm2 B．8π cm2
C．12π cm2 D．24π cm2
2．将圆心角为90°，面积为4π cm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为 (A)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
3．如图，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为(C)
A．6eq \r(2) mm B．12 mm
C．6eq \r(3) mm D．4eq \r(3) mm
4．如图2，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和eq \(BC,\s\up8(︵))的长分别为 (D)
A．2，eq \f(π,3) B．2eq \r(3)，π
C.eq \r(3)，eq \f(2π,3) D．2eq \r(3)，eq \f(4π,3)

【解析】 在正六边形中，我们连结OB，OC，则△OBC为等边三角形，边长等于半径4.因为OM为边心距，所以OM⊥BC，所以，在边长为4的等边三角形中，边上的高OM＝2eq \r(3).弧BC所对的圆心角为60°，所以弧长为eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \f(60π×4,180)＝eq \f(4π,3).故选D.
5．如图，在矩形ABCD中，CD＝1，∠DBC＝30°.若将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点E处，点D经过的路径为eq \(DE,\s\up8(︵))，则图中阴影部分的面积是(B)
A.eq \f(π,3)－eq \r(3) B.eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(π,2)－eq \r(3) D.eq \f(π,2)－eq \f(\r(3),2)
【解析】 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，
∵CD＝1，∠DBC＝30°，∴BD＝2CD＝2，由勾股定理得BC＝eq \r(3)，
∵将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点E处，∴BE＝BD＝2，
∵S扇形DBE＝eq \f(nπr2,360)＝eq \f(30π×22,360)＝eq \f(π,3)，S△BCD＝eq \f(1,2)·BC·CD＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×1＝eq \f(\r(3),2)，
∴阴影部分的面积＝S扇形DBE－S△BCD＝eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2).
6．如图，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC＝2，AE＝eq \r(3)，CE＝1，则图中阴影部分的面积为(D)
A.eq \f(2\r(3)π,9) B.eq \f(4\r(3)π,9)
C.eq \f(2π,9) D.eq \f(4π,9)
【解析】 ∵AE2＋CE2＝4＝AC2，
∴△ACE为直角三角形，且∠AEC＝90°，
∴AE⊥CD，∴eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，∴∠BOD＝∠COB，
∵sinA＝eq \f(CE,AC)＝eq \f(1,2)，∴∠A＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°，
∴∠BOD＝∠COB＝60°，∴∠COD＝120°，
在Rt△OCE中，∵sin∠COE＝eq \f(CE,OC)，即sin60°＝eq \f(1,OC)，解得OC＝eq \f(2,3)eq \r(3)，
∴S阴影＝eq \f(nπr2,360)＝eq \f(120π×\f(4,3),360)＝eq \f(4,9)π.
二、填空题)
7．在半径为5 cm的⊙O中，45°圆心角所对的弧长为__eq \f(5π,4)__cm.
8．圆心角是60°且半径为2的扇形面积为__eq \f(2,3)π__(结果保留π)．
9．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是__2__．
10．如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA＝2，∠COD＝120°，则图中阴影部分的面积等于__eq \f(2π,3)__．
11．如图，△OAB中，OA＝OB＝4，∠A＝30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面积是__4eq \r(3)－eq \f(4,3)π__(结果保留π)．

【解析】 连结OC，
∵AB与圆O相切，∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，∴∠AOC＝∠BOC，∠A＝∠B＝30°，
在Rt△AOC中，∠A＝30°，OA＝4，
∴OC＝eq \f(1,2)OA＝2，∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，
AC＝eq \r(OA2－OC2)＝2eq \r(3)，∴AB＝2AC＝4eq \r(3)，
则S阴影＝S△AOB－S扇形＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2－eq \f(120π×22,360)＝4eq \r(3)－eq \f(4π,3).
图31－7
12．[2014·达州]如图31－7，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，则图中阴影部分的面积是__π－2__.
【解析】 ∵在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴图中阴影部分的面积是：
S阴影部分面积＝S半圆AB的面积＋S半圆BC的面积－S△ABC的面积
＝eq \f(1,2)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,2)×2×2
＝π－2.
三、解答题(共10分)
13．(10分)[2015·临沂]如图31－8，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连结AD.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．
图31－8
解：(1)证明：∵BC为切线，
∴OD⊥BC，∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴AD平分∠BAC；
(2)设AD与OE的交点为F，
∵AO＝OE，∴∠OAE＝∠AEO＝60°，
∴∠AOE＝60°，∴△AOE为等边三角形，
∴AF⊥EO，EF＝OF，
∵AC∥OD，
∴△AEF的面积等于△ODF的面积，
∴阴影部分的面积＝扇形DOE的面积＝eq \f(1,6)π×22＝eq \f(2,3)π.
(20分)
14．(10分)[2014·滨州]如图31－9，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°.
(1)求证：CD是的切线；
(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

图31－9 第14题答图
解：(1)证明：连结OC，
∵AC＝CD，∠ACD＝120°.
∴∠A＝∠D＝30°，
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，
∴∠COD＝2∠A＝60°，
∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD.
又∵点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
(2)∵∠OCD＝90°，OC＝2，∠D＝30°，
∴OD＝4，CD＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3).
∴S△OCD＝eq \f(1,2)OC·CD＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3)，
S扇形COB＝eq \f(60×π×22,360)＝eq \f(2,3)π，
∴S阴影＝S△OCD－S扇形COB＝2eq \r(3)－eq \f(2,3)π.
15．(10分)[2015·福州]如图31－10，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝eq \r(5)，tanB＝eq \f(1,2).半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到eq \(DE,\s\up8(︵)).
(1)求证：AB为⊙C的切线；
(2)求图中阴影部分的面积．

图31－10 第15题答图
解：(1)如答图，过点C作CF⊥AB于点F，
在Rt△ABC中，
tanB＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(1,2)，
∴BC＝2AC＝2eq \r(5)，
∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(（\r(5)）2＋（2\r(5)）2)＝5，
∴CF＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(\r(5)×2\r(5),5)＝2.
∴AB为⊙C的切线；
(2)S阴影＝S△ABC－S扇形ECD
＝eq \f(1,2)AC·BC－eq \f(nπr2,360)
＝eq \f(1,2)×eq \r(5)×2eq \r(5)－eq \f(90π×22,360)
＝5－π.
(10分)
图31－11
16．(10分)[2014·襄阳]如图31－11，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连结EF，CG.
(1)求证：EF∥CG；
(2)求点C，点A在旋转过程中形成的eq \(AC,\s\up8(︵))，eq \(AG,\s\up8(︵))与线段CG所围成的阴影部分的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°.
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得△ABF，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝EC，
∴∠AFB＋∠FAB＝90°.
∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，
∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG，
∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB.
∴EC∥FG.
∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴EF∥CG；
(2)∵△ABF≌△CBE，
∴FB＝BE＝eq \f(1,2)AB＝1，
∴AF＝eq \r(AB2＋BF2)＝eq \r(5).
在△FEC和△CGF中
∵EC＝FG，∠ECF＝∠GFC，FC＝CF，
∴△FEC≌△CGF，
∴S△FEC＝S△CGF.
∴S阴影＝S扇形ABC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形AFG
＝eq \f(90π·22,360)＋eq \f(1,2)×2×1＋eq \f(1,2)×(1＋2)×1－eq \f(90π·（\r(5)）2,360)
＝eq \f(5,2)－eq \f(π,4).