中考数学一轮全程复习课时练第47课时《动态型问题》(教师版)

这是一份中考数学一轮全程复习课时练第47课时《动态型问题》(教师版)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

第47课时　动态型问题


一、选择题
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2a，AD＝a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2＝y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是 (D)

【解析】　(1)当0≤x≤2a时，
∵PD2＝AD2＋AP2，AP＝x，∴y＝x2＋a2；
(2)当2a＜t≤3a时，CP＝2a＋a－x＝3a－x，
∵PD2＝CD2＋CP2，∴y＝(3a－x)2＋(2a)2＝x2－6ax＋13a2；
(3)当3a＜t≤5a时，PD＝2a＋a＋2a－x＝5a－x，
∵PD2＝y＝(5a－x)2，
y＝
∴能大致反映y与x的函数关系的图象是选项D中的图象．
2．如图，Rt△ABC中∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，以2为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿AB的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是 (A)

【解析】首先根据Rt△ABC中∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，分别求出AC，BC，以及AB边上的高各是多少；然后根据图示，分三种情况：(1)当0≤t≤2时；(2)当2＜t≤6时；(3)当6＜t≤8时；分别求出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S的表达式，进而判断出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是哪个即可．
S＝
二、填空题
图47－3
3．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为__(2－3，2－)__．
【解析】　如答图，连结DE交OC于点P，即点P满足EP＋BP最短．
如答图，延长CD交y轴于点F，则CF⊥y轴，
∵四边形OBCD是菱形，∵OD＝CD＝OB＝2，
∵∠DOB＝60°，则∠DOF＝30°，
∴DF＝1，OF＝，∴D(1，)，C(3，)，
设直线DE的解析式为y＝kx－1，则k－1＝，
∴k＝＋1，则y＝(＋1)x－1，
设直线OC的解析为y＝mx，则3m＝，
∴m＝，则y＝x，
由得∴点P的坐标为(2－3，2－)．
二、解答题
4．如图①，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD＝8，AB＝6.如图②，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t s.

(1)当t＝5时，请直接写出点D，点P的坐标；
(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；
(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．
图①
解：(1)延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，如答图①所示．
则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，
∴BD＝10，
当t＝5时，OD＝5，
∴BO＝15，
∵AD∥NO，
∴△ABD∽△NBO，
∴＝＝＝，即＝＝，
∴BN＝9，NO＝12，
∴OM＝12－8＝4，DM＝9－6＝3，PN＝9－1＝8，
∴D(－4，3)，P(－12，8)；
图②
(2)①如答图②所示，当点P在边AB上时，BP＝6－t，
∴S△PBD＝BP·AD＝(6－t)×8＝－4t＋24；
②当点P在边BC上时，BP＝t－6，
∴S△PBD＝BP·AB＝(t－6)×6＝3t－18；
∴S△PBD＝
(3)设点D；
①当点P在边AB上时，P，
若＝时，＝，解得t＝6；
若＝时，＝，解得t＝20(不合题意，舍去)；
②当点P在边BC上时，P，
若＝时，＝，解得t＝6；
若＝时，＝，解得t＝(不合题意，舍去)；
综上所述，当t＝6时，△PEO与△BCD相似．




5．如图，已知：关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式；
(2)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形．若存在，请求出点P的坐标；
(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
答图①
解：(1)A(1，0)，C(0，3)在函数y＝x2＋bx＋c的图象上，
∴0＝1＋b＋c，c＝3，
∴b＝－4，即二次函数的表达式是y＝x2－4x＋3；
(2)∵y＝x2－4x＋3，
∴B点坐标为(3，0)，
如答图①，当BC为底边时，作BC的垂直平分线，则P点坐标为P1(0，0)，
当BC为腰时，分别以B，C为圆心，BC长为半径作圆，
则P点坐标为P2(0，－3)，P3(0，3－3)，P4(0，3＋3)；
(3)

如答图②③，设经过的时间为t时，△MNB的面积为：
S△MNB＝MB·DN＝(3－1－t)2t＝2t－t2＝－(t－1)2＋1，
∴当t＝1时，△MNB的面积最大，最大的值为1，
其中M，N的坐标分别为M(2，0)，N(2，－2)或M(2，0)，N(2，2)．

6．已知：如图47－6①，抛物线l1：y＝－x2＋bx＋3交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，其对称轴为x＝1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E(5，0)，与y轴交于点D.

① 　　②
(1)求抛物线l2的函数表达式；
(2)P为直线x＝1上一点，连结PA，PC，当PA＝PC时，求点P的坐标；
(3)如图②，M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
解：(1)由题意，得－＝1，a＝－1，∴b＝2.
∴抛物线l1的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
设－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
∴点A的坐标为(－1，0)．
设y＝a(x＋1)(x－5)，将点D代入，得a＝.
∴抛物线l2的函数表达式为y＝x2－2x－；
(2)如答图，设直线x＝1与x轴交于点G，过点C作CH⊥PG，垂足为H.

由(1)知，C的坐标为(0，3)．则HG＝OC＝3.
设P点的纵坐标为m，在Rt△APG中，AG＝2，PG＝m.
∴AP2＝22＋m2＝4＋m2.
在Rt△CHP中，CH＝OG＝1，HP＝3－m.
∴CP2＝12＋(3－m)2＝m2－6m＋10.
∵AP＝CP，∴4＋m2＝m2－6m＋10.解得m＝1.
∴点P的坐标为(1，1)；
(3)设点M，则N(x，－x2＋2x＋3)．
当－x2＋2x＋3＝x2－2x－时，解得x1＝－1，x2＝.
①当－1≤x≤时，MN＝yN－yM＝－x2＋4x＋＝－＋，
显然，－1≤≤，∴当x＝时，MN有最大值，
②当≤x≤5时，MN＝yM－yN＝x2－4x－＝－.
显然，当x>时，MN随x的增大而增大．
所以当点M与点E重合，即x＝5时，MN有最大值：×52－4×5－＝12.
综上所述，在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12.
7.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N.点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E.设点F运动的时间是t s(t>0)．
(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示)，求证：PE＝PF；
(2)在点F运动过程中，设OE＝a，OF＝b，试用含a的代数式表示b；
(3)作点F关于点M的对称点F′.经过M，E，F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连结QE.在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q，O，E为顶点的三角形与以点P，M，F为顶点的三角形相似，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
答图①
解：(1)证明：如答图①，连结PM，PN.
∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，
∴PM⊥MF，PN⊥ON，且PM＝PN，
∴∠PMF＝∠PNE＝90°且∠NPM＝90°.
∵PE⊥PF，∴∠1＝∠3＝90°－∠2.
在△PMF和△PNE中，

∴△PMF≌△PNE，
∴PE＝PF；
答图②
(2)分两种情况：
①当t>1时，点E在y轴的负半轴上，如答图②，
由(1)得△PMF≌△PNE，
∴NE＝MF＝t，PN＝PM＝1，
∴b＝OF＝OM＋MF＝1＋t，a＝NE－ON＝t－1.
∴b－a＝1＋t－(t－1)＝2，
∴b＝2＋a；
答图③
②当0 ∴b＝OF＝OM＋MF＝1＋t，
a＝OE＝ON－NE＝1－t，
∴b＋a＝1＋t＋1－t＝2，
∴b＝2－a.
综上所述，当t>1时，b＝2＋a；
当0 (3)解存在，t的值是2＋或2－或或.



8．如图，抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点(点C在x轴正半轴上)，△ABC为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一个交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H.

(1)求a，c的值；
(2)连结OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由；
(3)先将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P.是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵△ABC为等腰直角三角形，∴OA＝BC，
又∵△ABC的面积＝BC·OA＝4，即OA2＝4，
∴OA＝2，
∴A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)，
∴c＝2，∴抛物线的函数表达式为y＝ax2＋2，
∴有4a＋2＝0，解得a＝－；
∴a＝－，c＝2.
(2)△OEF是等腰三角形．
理由：如答图①，
∵A(0，2)，B(－2，0)，
∴直线AB的函数表达式为y＝x＋2，
又∵平移后的抛物线顶点F在射线BA上，
∴设顶点F的坐标为(m，m＋2)，
∴平移后的抛物线函数表达式为y＝－(x－m)2＋m＋2，
∵抛物线过点C(2，0)，
∴－(2－m)2＋m＋2＝0，
解得m1＝0(舍去)，m2＝6，
∴平移后的抛物线函数表达式为y＝－(x－6)2＋8，即y＝－x2＋6x－10.
当y＝0时，－x2＋6x－10＝0，解得x1＝2，x2＝10，
∴E(10，0)，OE＝10，
又F(6，8)，OH＝6，FH＝8，
∴OF＝＝＝10，
又∵EF＝＝＝4，
∴OE＝OF，即△OEF为等腰三角形；
(3)点Q的位置分两种情形．
情形一：点Q在射线HF上．
当点P在x轴上方时，如答图②.
由于△PQE≌△POE，
∴QE＝OE＝10，
在Rt△QHE中，
QH＝＝＝＝2，
∴Q(6，2)；
当点P在x轴下方时，如答图③，有PQ＝OE＝10，
过P点作PK⊥HQ于点K，则有PK＝6，
在Rt△PQK中，
QK＝＝＝8，
∵∠PQE＝90°，
∴∠PQK＋∠HQE＝90°，
∵∠HQE＋∠HEQ＝90°，
∴∠PQK＝∠HEQ，
又∵∠PKQ＝∠QHE＝90°，
∴△PKQ∽△QHE，
∴＝，即＝，解得QH＝3，
∴Q(6，3)；
情形二：点Q在射线AF上．
当PQ＝OE＝10时，如答图④，有QE＝PO，
∴四边形POEQ为矩形，∴Q的横坐标为10，
当x＝10时，y＝x＋2＝12，∴Q(10，12)．

当QE＝OE＝10时，如答图⑤，
过Q作QM⊥y轴于点M，过E点作x轴的垂线交QM于点N.
设Q的坐标为(x，x＋2)，
∴MQ＝x，QN＝10－x，EN＝x＋2，
在Rt△QEN中，有QE2＝QN2＋EN2，
即102＝(10－x)2＋(x＋2)2，解得x＝4±，
当x＝4＋时，如答图⑤，y＝x＋2＝6＋，
∴Q(4＋，6＋)，
第8题答图⑥
当x＝4－时，如答图⑥，y＝x＋2＝6－，
∴Q(4－，6－)．综上所述，
存在点Q1(6，2)，Q2(6，3)，Q3(10，12)，
Q4(4＋，6＋)，Q5(4－，6－)，使以P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等．