考点03整式及其运算（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

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考点03整式及其运算【命题趋势】整式及其运算也是一个必考内容出现，一直是中考的一个热点。主要考简单的选择题、填空题、简答题，此部分内容较为简单。选择题、填空题考查实幂的运算、乘法公式，而简答题主要考查整式的化简求值。通常考基础题。【常考知识】幂的运算性质、乘法公式。【夺分技巧】①幂的运算实质：幂的加减法实质是系数的加减；幂的乘法运算实质转化为指数加法运算；幂的乘方实质转化为指数的乘法运算；幂的除法运算实质转化为指数的减法运算。②整式的运算先合并同类项，再代入计算，有事也要考虑整体代入，并注意乘法公式的灵活运用。③规律探究题常见的类型有“数式规律型”、“图形规律型”、“与坐标系结合的图形变化规律型”真题演练 一、单选题1．（2021·云南昆明·一模）观察等式：1+2+22＝23﹣1；1+2+22+23＝24﹣1；1+2+22+23+24＝25﹣1；若1+2+22+…+29＝210﹣1＝a，则用含a的式子表示210+211+212+…+218+219的结果是（　　）A．a20﹣1 B．a2+a C．a2+a+1 D．a2﹣a【答案】B【分析】根据题意由已知规律可得：1+2+22+…+29+210+211+212+…+218+219＝220﹣1，再由已知1+2+22+…+29＝210﹣1＝a，进而分析求得.【详解】解：由已知可得1+2+22+…+29+210+211+212+…+218+219＝220﹣1，∵1+2+22+…+29＝210﹣1＝a，∴210+211+212+…+218+219＝220﹣1﹣210+1＝220﹣210，∵210﹣1＝a，∴220﹣210＝a（a+1），故选：B．2．（2021·云南·一模）观察“田”字中各数之间的关系：则a+d﹣b﹣c的值为（　　）A．52 B．﹣52 C．51 D．51【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以发小数字的变化规律，从而可以求得a、b、c、d的值，从而可以解答本题．【详解】解：由图可得，左上角的数字分别为1，3，5，7，9，…，是一些连续的奇数，左下角的数字依次是2，4，8，16，32，…，则可以用2n表示，右下角的数字是左上角和左下角的数字之和，右上角的数字比右下角的数字小1，则a＝11，b＝26＝64，d＝11+64＝75，c＝75﹣1＝74，∴a+d﹣b﹣c＝11+75﹣64﹣74＝﹣52，故选B．3．（2021·广东·广州市第十六中学二模）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）=3n+1；②当n为偶数时，F（n）=（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（　　）A．1 B．4 C．2018 D．42018【答案】A【分析】计算出n=13时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可．【详解】若n=13，第1次结果为：3n+1=40，第2次结果是：，第3次结果为：3n+1=16，第4次结果为：=1，第5次结果为：4，第6次结果为：1，…可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，而2018次是偶数，因此最后结果是1，故选A．4．（2021·山东东营·中考真题）下列运算结果正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、二次根式的运算法则依次计算各项后即可解答．【详解】选项A，和不是同类项，不能够合并，选项A错误；选项B，根据完全平方公式可得，选项B正确；选项C，根据积的乘方的运算法则可得，选项C错误；选项D，与不能够合并，选项D错误．故选B．5．（2021·全国·七年级专题练习）小军到水果店买水果，他身上带的钱恰好可以购买15个苹果或21个橙子，若小军先买了9个苹果，则他身上剩下的钱最多可买橙子（    ）．A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【答案】B【分析】先求出15和21的最小公倍数为105，然后设小军身上带的钱为105x，则苹果的单价为：7x，橙子的单价为5x，进而即可求解．【详解】解：∵15和21的最小公倍数为105，∴设小军身上带的钱为105x，则苹果的单价为：7x，橙子的单价为5x，∵先买了9个苹果，∴剩余的钱为：105x-9×7x=42x，∴最多可买8个橙子，故选B．6．（2021·广东金平·一模）下列计算正确的是（　　）A．a+a＝a2 B．a3÷a＝a2 C．（2a2）3＝6a6 D．3a•a3＝4a4【答案】B【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法的运算法则依次计算各项后即可解答．【详解】选项A、a+a＝2a，故本选项错误；选项B、a3÷a＝a2，故本选项正确；选项C、（2a2）3＝8a6，故本选项错误；选项D、3a•a3＝3a4，故本选项错误．故选B．7．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）下列运算正确的是（    ）A．2a＋3a＝5a2 B．6m2﹣5m2＝1 C．a6÷a3＝a2 D．（﹣a2）3＝﹣a6【答案】D【分析】利用合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可．【详解】2a＋3a＝5a，故选项A不符合题意；
6m2﹣5m2＝m2，故选项B不符合题意；
a6÷a3＝a3，故选项C不符合题意；
（﹣a2）3＝﹣a6，故选项D符合题意．故选D．8．（2021·浙江宁波·模拟预测）把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），分两种不同形式不重叠的放在一个长方形盒子底部（如图②、图③），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②是长方形盒子的周长为C1，阴影部分图形的周长为l1，图③中长方形盒子的周长为C2，阴影部分图形的周长为l2，若C1﹣C2＝2，则l1，l2满足（    ）A．l1＝l2 B．l1﹣l2＝1 C．l1﹣l2＝2 D．l1﹣l2＝4【答案】C【分析】观察图②可得阴影部分的周长与长方形的周长相等，可得l1＝C1，观察图③可得阴影部分的周长与长方形的周长相等，可得l2＝C2，若C1﹣C2＝2，即可求l1，l2满足的关系式．【详解】解：观察图②可得阴影部分的周长与长方形的周长相等，可得l1＝C1，观察图③可得阴影部分的周长与长方形的周长相等，可得l2＝C2，∵C1﹣C2＝2，∴l1﹣l2＝2.故选：C．9．（2021·四川江油·七年级阶段练习）已知，则化简代数式的结果是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由于﹣1≤x≤2，根据不等式性质可得：x﹣3＜0，x+1≥0，再依据绝对值性质化简即可．【详解】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣3＜0，x+1≥0，∴=（3﹣x）﹣2（x+1）＝﹣3x+1；故选：A．10．（2021·浙江·翠苑中学二模）若，，则（    ）A．1 B．-1 C．3 D．-3【答案】D【分析】根据平方差公式解答即可．【详解】解：∵a+b=3，a-b=-1，∴a2-b2=（a+b）（a-b）=3×(-1)=-3．故选：D．二、填空题11．（2021·四川绵阳·中考真题）若，，则_____．【答案】0【分析】先求出，再求的平方，然后再开方即可求出．【详解】解：，，，∵，，，，，故答案为：0．12．（2021·上海嘉定·二模）计算：=__________．【答案】【详解】解：．故答案为：13．（2021·安徽宣城·一模）已知为实数，若均为多项式的因式，则__________.【答案】100【分析】根据三次项系数为1，可设另一个因式为，然后建立等式，分别用k表示m，n，p的值，再代入求解即可.【详解】均为多项式的因式，且三次项系数为1设另一个因式为则整理得：由此可得：故答案为：100.14．（2021·河北河北·模拟预测）若单项式与是同类项，则的值是_______________．【答案】2【分析】先根据同类项的定义求出m与n的值，再代入计算算术平方根即可得．【详解】由同类项的定义得：解得则故答案为：2．15．（2021·广东·广州市番禺区市桥东风中学七年级期中）若2amb2m＋3n与a2n﹣3b8的差仍是一个单项式，则m＋n＝_____．【答案】3【分析】由单项式和同类项的定义，先求出m、n的值，再求出答案即可．【详解】解：根据题意得：，解得：，∴m+n＝1+2＝3．故答案为：3．16．（2021·广西·台州市书生中学模拟预测）观察下面三行数：，9，，81，，；①0，12，，84，，；②，3，，27，，；③然后在每行中取第6个数，则这三个数的和为 __．【答案】1704【分析】观察所给数字，找出每行数字的规律，求出每行数字的第6个数，求解即可．【详解】解：，9，，81，；0，12，，84，；，3，，27，；第一行的第个数为，第二行的第个数为，第三行的第个数为，当时，第一行的数为，第二行的数为，第三行的数为，，故答案为：1704．17．（2021·山东临清·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M1，N1，P1分别在AC，BC，AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1，BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点Mn，Nn，Pn分别在Pn﹣1Nn﹣1，BNn﹣1，BPn﹣1上，且四边形MnNn﹣1NnPn是正方形，则线段MnPn的长度是_____．【答案】【分析】根据相似三角形的性质求出M1P1，M2P2，M3P3的值，找出规律即可求出MnPn的长度．【详解】∵，∴，同理∴，设M1P1＝x，则，解得：x＝，∴BN1＝BC﹣x＝4﹣＝＝2M1P1，∴∵∴∴M2P2＝＝，M3P3＝＝×2×＝×22×，…，∴MnPn的长度是＝．故答案为：． 三、解答题18．（2021·安徽·三模）观察下列不等式：①；②；③；④；…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个不等式：                  ；（2）写出你猜想的第n个不等式：            (用含n的等式表示) ；（3）比较和的大小．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）观察所给式子，列出第6个不等式；（2）根据（1）中规律总结可得；（3）根据所得不等式，得到，计算左边可得结果．【详解】解：（1）∵①；②；③；④；∴⑤，⑥；（2）第n个等式为；（3）∵，∴，则，则，则．19．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）先化简，再求值：，其中，．【答案】，4【分析】先利用平方差公式和完全平方式去括号，然后合并同类项，最后代值计算即可．【详解】解：，当，时，原式．20．（2021·北京师范大学三帆中学朝阳学校模拟预测）已知2a2+3a-6=0．求代数式3a（2a+1）-（2a+1）（2a-1）的值．【答案】7【分析】先根据整式的乘法化简，然后再整体代入即可求解．【详解】解：==∵∴∴原式=7．21．（2021·河北·邯郸市邯山区创A扬帆初中学校八年级期中）甲、乙两个长方形的边长如图所示（为正整数），其面积分别为，．（1）用含的代数式表示出和；（2）比较和的大小，________（用“＞”“＜”或“＝”进行连接）；（3）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积（用含的代数式表示）．【答案】（1），；（2）＜；（3）【分析】（1）根据长方形的面积等于长乘以宽，列出式子，根据多项式乘以多项式计算即可；（2）用作差法比较大小；（3）先求出甲，乙两个长方形的周长之和，再求出正方形的边长，最后算出正方形的面积即可．【详解】解：（1）S1=（m-5）（m-1）=m2-m-5m+5=m2-6m+5；S2=（m-4）（m-2）=m2-2m-4m+8=m2-6m+8；（2）∵S1-S2=m2-6m+5-（m2-6m+8）=m2-6m+5-m2+6m-8=-3＜0，∴S1＜S2，故答案为：＜．（3）甲、乙两个长方形的周长之和为：2（m-1+m-5）+2（m-4+m-2）=8m-24，∴正方形的边长为：（8m-24）÷4=2m-6．该正方形的面积为：（2m-6）2=4m2-24m+36．答：该正方形的面积为4m2-24m+36．