考点04因式分解与整式乘法（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

考点04因式分解与整式乘法

【命题趋势】

因式分解与整式乘法是一个必考内容出现，同时也是中考的一个热点。主要考简单的选择题、填空题、简答题，此部分内容较为简单。选择题、填空题考查因式分解，而整式乘法以填空题和简答题的形式考查。往往涉及幂的运算、负整数指数幂、零指数幂、乘法公式、因式分解。通常考基础题。

【常考知识】

幂的运算、负整数指数幂、零指数幂、乘法公式、因式分解。

【夺分技巧】

①因式分解时首先看是否有公因式可提，再看是否能套用平方差公式（两项）、完全平方式（三项），最后再检查分解是否彻底，即“一提”、“二套”、“三检查”。

②因式分解与整式乘法互为逆运算。

真题演练

一、单选题

1．（2021·湖南岳阳·一模）下列因式分解正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

各式计算得到结果，即可作出判断．

【详解】

解：A、原式；

B、原式，不符合题意；

C、原式，不符合题意；

D、原式不能分解．

故选：A．

2．（2021·贵州花溪·一模）如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）

A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b

【答案】B

【分析】

从图形可知空白部分的面积为S2是中间边长为（a﹣b）的正方形面积与上下两个直角边为（a+b）和b的直角三角形的面积，再与左右两个直角边为a和b的直角三角形面积的总和，阴影部分的面积为S1是大正方形面积与空白部分面积之差，再由S2＝2S1，便可得解．

【详解】

由图形可知，

S2=（a-b）2+b（a+b）+ab=a2+2b2，

S1=（a+b）2-S2=2ab-b2，

∵S2＝2S1，

∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），

∴a2﹣4ab+4b2＝0，

即（a﹣2b）2＝0，

∴a＝2b，

故选B．

3．（2021·浙江浙江·七年级期中）下列分解因式正确的是（  ）

A．－a＋a3=－a(1＋a2) B．2a－4b＋2=2(a－2b)

C．a2－4=(a－2)2 D．a2－2a＋1=(a－1)2

【答案】D

【分析】

根据因式分解的定义进行分析.

【详解】

A、-a+a3=-a（1-a2）=-a（1+a）（1-a），故本选项错误；

B、2a-4b+2=2（a-2b+1），故本选项错误；

C、a2-4=（a-2）（a+2），故本选项错误；

D、a2-2a+1=（a-1）2，故本选项正确．

故选D．

4．（2021·山东巨野·一模）下列四个多项式中，能因式分解的是（    ）

A．a2+1 B．a2-6a+9 C．x2+5y D．x2-5y

【答案】B

【分析】

根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．

【详解】

A、C、D都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A、C、D不能因式分解；

B是完全平方公式的形式，故B能分解因式；

故选B．

5．（2021·河北滦州·二模）对于①，②从左到右的变形，表述正确的是（    ）

A．都是因式分解 B．都是整式的乘法

C．①是因式分解，②是整式的乘法 D．①是整式的乘法，②是因式分解

【答案】D

【分析】

根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可．

【详解】

解：①（x+3）（x-1）=x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；

②x-3xy=x（1-3y），从左到右的变形是因式分解；
所以①是乘法运算，②是因式分解．
故选：D．

6．（2021·河北丰南·二模）将下列多项式分解因式，得到的结果中不含因式的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

把每一项都进行因式分解，在判断即可；

【详解】

，故A不符合题意；

，故B不符合题意；

，故C符合题意；

，故D不符合题意；

故答案选C．

7．（2021·全国·八年级课时练习）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（    ）

A．a（m＋n）＝am＋an B．a2﹣b2﹣c2＝（a＋b）（a﹣b）﹣c2

C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x2﹣16＋8x＝（x＋4）（x﹣4）＋8x

【答案】C

【分析】

根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．

【详解】

A、是整式的乘法，故此选项不符合题意；

B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；

C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；

D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；

故选：C．

8．（2021·福建泉州·模拟预测）下列计算中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据幂的运算性质判断即可；

【详解】

．，故本选项符合题意；

．，故本选项不合题意；

．，故本选项不合题意；

．，故本选项不合题意．

故选：．

9．（2021·山东泗水·二模）下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据有理数的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再进行判断即可．

【详解】

解：A. ，故本选项不符合题意；

B. ，故本选项不符合题意；

C. ，故本选项符合题意；   

D. ，故本选项不符合题意；

故选：C．

10．（2021·甘肃·兰州市第五十五中学二模）下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项、同底数幂乘法等运算法则分别计算即可．

【详解】

解：A、，错误，不符合题意；

B 、，错误，不符合题意；

C、和不是同类项，不能合并，不符合题意；

D、，正确，符合题意；

故选：D．

二、填空题

11．（2021·湖南永州·中考真题）若x，y均为实数，，，则______；_______．

【答案】2021    1   

【分析】

根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等计算法则进行等量代换即可．

【详解】

解：∵，

∴，，

，

故答案为：2021；

∵，

即，

∴，

∴，

故答案为：1．

12．（2021·江苏玄武·二模）分解因式的结果是______．

【答案】

【分析】

根据多项式乘以多项式法则去括号，合并同类项后利用完全平方公式分解因式．

【详解】

解：==

故答案为：．

13．（2021·北京·101中学九年级开学考试）分解因式：________．

【答案】

【分析】

先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．

【详解】

解：

=

=

故答案为：．

14．（2021·湖北十堰·中考真题）已知，则_________．

【答案】36

【分析】

先把多项式因式分解，再代入求值，即可．

【详解】

∵，

∴原式=，

故答案是：36．

15．（2021·山东淄川·一模）分解因式：__________．

【答案】

【分析】

利用平方差公式和十字相乘法分解因式，即可．

【详解】

解：原式=

=

=．

故答案是：．

16．（2021·四川锦江·二模）用一些棋子摆成如图所示的长方形点阵和等边三角形点阵，长方形点阵的长所用棋子的颗数是宽所用棋子颗数的2倍，等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多．如果等边三角形点阵比长方形点阵多用20颗棋子，则等边三角形点阵所用棋子的颗数为________．

【答案】820

【分析】

设长方形的长所用的棋子为n个，则它的宽所用的棋子为n个，共用的棋子数为n2个；等边三角形的边长所用的棋子数为n个，共用的棋子数为1+2+3+•••+n=，由题意，列出方程，结论可求．

【详解】

解：设长方形的长所用的棋子为n个，则它的宽所用的棋子为n个，共用的棋子数为n2个．

∵等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多，

∴等边三角形的边长所用的棋子数为n个．

∴等边三角形点阵所用棋子的颗数为1+2+3+•••+n=．

由题意得：．

解得：n=40．

∴等边三角形点阵所用棋子的颗数为=820．

故答案为：820．

17．（2021·江苏高邮·一模）有棱长比为的两个正方体容器，若小容器能盛水10千克，则大容器能盛水______千克．

【答案】270

【分析】

根据正方体容积比等于棱长比的立方解题即可．

【详解】

设棱长比为的两个正方体容器的棱长分别为a、3a，

∴小正方体容积=a3

大正方体容积=（3a）3=27a3

∵小容器能盛水10千克

∴大容器能盛水270千克

故答案为：

三、解答题

18．（2021·吉林东辽·八年级期末）计算：．

【答案】

【分析】

根据同底数幂相乘、乘积的幂、幂的乘方、同底数幂相除运算法则逐步求解即可．

【详解】

解：原式

．

19．（2021·湖北·华中科技大学附属中学一模）计算：

【答案】

【分析】

首先根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方进行整理，再合并同类项，算完中括号里面的，再根据同底数幂的除法进行计算．

【详解】

原式

20．（2021·广东广州·中考真题）已知

（1）化简A；

（2）若，求A的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可；

（2）先把式子移项求，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可．

【详解】

解：（1）；

（2）∵，

∴，

∴．

21．（2021·广西柳北·三模）先化简，再求值：，其中．

【答案】，6

【分析】

先将括号内的多项式因式分解，然后约分，再根据单项式乘以多项式展开运算，最后合并同类项进行化简，再把x=-2代入进行计算即可．

【详解】

解：原式

，

当时，

原式．