考点12二次函数的图象与性质（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（华师大版）

这是一份考点12二次函数的图象与性质（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（华师大版），共27页。试卷主要包含了单选题，四象限，，解答题等内容，欢迎下载使用。
考点12二次函数
考点总结
知识点一：二次函数的概念及解析式
关键点拨与对应举例
1.一次函数的定义
形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.
2.解析式
（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
知识点二 ：二次函数的图象与性质
3.二次函数的图象和性质
图象


（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.
失分点警示
（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.
例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7 .
开口
向上
向下
对称轴
x＝
顶点坐标

增减性
当x>时，y随x的增大而增大；当x＜时，y随x的增大而减小.
当x>时，y随x的增大而减小；当x＜时，y随x的增大而增大.
最值
x=，y最小＝.
x=，y最大＝.
3.系数a、b、c
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号：
① a±b+c即为x=±1时，y
的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.
③ 2a+b的符号，需判断对称
轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
a、 b

决定对称轴（x=-b/2a）的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点三 ：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系

注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
失分点警示：
抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.
例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2．
知识点四 ：二次函数与一元二次方程以及不等式
5.二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
例：已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1.
6.二次函数与不等式
抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.

真题演练

一、单选题
1．（2021·山东青岛·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】
解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴b＜0，
A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，B错误；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，C错误；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＜0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．
故选：D．
2．（2021·山东济南·中考真题）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到的取值范围
【详解】
点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图像即为图中虚线部分，如图，

当时，的图象向下平移4个单位，当时，的图象关于轴对称，
从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3，
最小值是当时，取得最小值，
．
故选D．
3．（2021·山东日照·中考真题）如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，，且交或交于点．设，图中阴影部分表示的平面图形（或）的面积为，则函数关于的大致图象是（　　）

A． B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据点的位置，分点在上和点在弧上两种情况讨论，分别写出和的函数解析式，即可确定函数图象．
【详解】
解：当在上时，即点在上时，有，
此时阴影部分为等腰直角三角形，
，
该函数是二次函数，且开口向上，排除，选项；
当点在弧上时，补全图形如图所示，

阴影部分的面积等于等腰直角的面积加上扇形的面积，再减去平面图形的面积即减去弓形的面积，
设，则，
，，
当时，，，
，
当时，，，
，
在，选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项符合题意．
故选：D．
4．（2021·山东日照·中考真题）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】
①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根．
【详解】
解：①抛物线图象开口向上，
，
对称轴在直线轴左侧，
，同号，，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，故①正确．
②，
当时，由图象可得，
当时，，由图象可得，
，即，
故②正确．
③，，
，
点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，
，
故③错误．
④抛物线的顶点坐标为，
，
，
无实数根．
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
5．（2021·山东滨州·中考真题）对于二次函数，有以下结论：①当时，y随x的增大而增大；②当时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴为直线x=6，函数图象开口向上，
当5＜x＜6时，y随x的增大而减小，当x＞6时，y随x的增大而增大，故①不符合题意；
当x=6时，y有最小值3，故②符合题意；
当y=0时，无实数根，即图象与x轴无交点，故③不符合题意；
图象是由抛物线向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，故④不符合题意；
故正确的是②，正确的个数是1，
故选：A．
6．（2021·山东淄博·中考真题）已知二次函数的图象交轴于两点．若其图象上有且只有三点满足，则的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】
由题意易得点的纵坐标相等，进而可得其中有一个点是抛物线的顶点，然后问题可求解．
【详解】
解：假设点A在点B的左侧，
∵二次函数的图象交轴于两点，
∴令时，则有，解得：，
∴，
∴，
∵图象上有且只有三点满足，
∴点的纵坐标的绝对值相等，如图所示：

∵，
∴点，
∴；
故选C．
7．（2021·山东枣庄·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】
先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．
【详解】
解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，
，
抛物线的对称轴为，
，
，则结论①正确；
将点代入二次函数的解析式得：，则结论③错误；
将代入得：，则结论②正确；
抛物线的对称轴为，
和时的函数值相等，即都为，
又当时，随的增大而减小，且，
，则结论④错误；
由函数图象可知，当时，取得最大值，最大值为，
，
，
即，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个，
故选：B．
8．（2021·山东东营·中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【详解】
A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a