考点16相似三角形（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（华师大版）

这是一份考点16相似三角形（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（华师大版），共37页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考点16相似三角形
考点总结
知识点一：比例线段
关键点拨与对应举例
1. 比例
线段
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.
2.比例
的基本性质
(1)基本性质：⇔ ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔
＝k.（b、d、···、n≠0）
已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.
例：若，则.
3.平行线分线段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.
例：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB∥CD，则.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(－1)cm．
知识点二 ：相似三角形的性质与判定
5.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行
线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找
夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件
中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有
等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.
6.相似
三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．
例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.
(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.
7.相似三角形的基本模型










（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.

真题演练

一、单选题
1．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，点C为边AB上一点，且．如果函数的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（ ）

A．（-2019，674） B．（-2020，675）
C．（2021，-669） D．（2022，-670）
【答案】D
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出B、C点的坐标，再写出BC解析式，再判断点在BC上．
【详解】
解：作，，

，
，
设，
，
或（舍去），
，
，
．
，
，，
，

，
，
，
图象经过点，
，
，

设的解析式为，
，
解得，
，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故选：D．
2．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合，，轴，对角线交于点．已知的面积为4.若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（ ）


A． B． C． D．12
【答案】B
【分析】
过点M作ME⊥x轴于点E，则有ME∥BD，，进而可得、，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可进行求解．
【详解】
解：过点M作ME⊥x轴于点E，如图所示：

∵轴，
∴ME∥BD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∵，
∴，
由题可知△OMB、△OBD的高是相同的，则有，
∴，
∵ME∥BD，
∴，
∴，
∴，
由反比例函数k的几何意义可得：，
∵，
∴；
故选B．
3．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为5，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意易得，设，则有，则有，，然后可得，过点C作CH⊥AB于点H，进而根据三角函数及勾股定理可求解问题．
【详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵是斜边上的中线，
∴，
设，则有，
∵，
∴由勾股定理可得，
∵的面积为5，
∴，
∵，
∴，即，化简得：，
解得：或，
当时，则AC=2，与题意矛盾，舍去；
∴当时，即，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：

∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选A．
4．（2021·山东淄博·中考真题）如图，相交于点，且，点在同一条直线上．已知，则之间满足的数量关系式是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意易得，，则有，，然后可得，进而问题可求解．
【详解】
解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即；
故选C．
5．（2021·山东济宁·中考真题）如图，已知．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．
（3）作射线交于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线，交，分别于点E，F．
依据以上作图，若，，，则的长是（ ）

A． B．1 C． D．4
【答案】C
【分析】
连接，则，根据相似三角形对应边成比例即可得出结果
【详解】
如图，连接
垂直平分
,
平分





同理可知
四边形是平行四边形
又
平行四边形是菱形



又


，

解得：

故选C
6．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为A（0，2），B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O，若AB⊥OB1，则点A1的坐标为（ ）


A．（） B．（） C．（） D．（）
【答案】A
【分析】
先求出AB，OA1，再作辅助线构造相似三角形，如图所示，得到对应边成比例，求出OC和A1C，即可求解．
【详解】
解:如图所示，∵点A，B的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0），
∴OB=1，OA=2，
∴，
∵∠AOB=90°，
∴∠A1OB1=90°，
∴O A1⊥OB1，
又∵AB⊥OB1，
∴O A1∥AB，
∴∠1=∠2，
过A1点作A1C⊥x轴，
∴∠A1CO=∠AOB，
∴，
∴，
∵O A1=OA=2，
∴，
∴，，
∴，
故选：A．

7．（2021·山东威海·中考真题）如图，在和中，，，．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分，则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据即可证明，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，结合相似三角形的判定和性质，即可一一判断
【详解】



，故选项A正确；


平分




，故选项B正确；



即
，故选项C错误；







，故选项D正确；
故答案选：C．
8．（2021·山东东营·中考真题）如图，是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：①；②当点D与点C重合时，；③；④当时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
【答案】B
【分析】
过A作AI⊥BC垂足为I，然后计算△ABC的面积即可判定①；先画出图形，然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定②；如图将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN，求证NE=DE；再延长EA到P使AP=CD=AN，证得∠P=60°，NP=AP=CD，然后讨论即可判定③；如图1，当AE=CD时，根据题意求得CH=CD、AG=CH，再证明四边形BHFG为平行四边形，最后再说明是否为菱形．
【详解】
解：如图1, 过A作AI⊥BC垂足为I
∵是边长为1的等边三角形
∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，CI=
∴AI=
∴S△ABC=,故①正确；

如图2，当D与C重合时
∵∠DBE=30°，是等边三角形
∴∠DBE=∠ABE=30°
∴DE=AE=
∵GE//BD
∴
∴BG=
∵GF//BD,BG//DF
∴HF=BG=,故②正确；

如图3，将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN
∴∠1=∠2，∠5=∠6=60°，AN=CD,BD=BN
∵∠3=30°
∴∠2+∠4=∠1+∠4=30°
∴∠NBE=∠3=30°
又∵BD=BN，BE=BE
∴△NBE≌△DBE（SAS）
∴NE=DE
延长EA到P使AP=CD=AN
∵∠NAP=180°-60°-60°=60°
∴△ANP为等边三角形
∴∠P=60°，NP=AP=CD
如果AE+CD=DE成立，则PE=NE,需∠NEP=90°，但∠NEP不一定为90°，故③不成立；

如图1，当AE=CD时，
∵GE//BC
∴∠AGE=∠ABC=60°，∠GEA=∠C=60°
∴∠AGE=∠AEG=60°，
∴AG=AE
同理：CH=CD
∴AG=CH
∵BG//FH,GF//BH
∴四边形BHFG是平行四边形
∵BG=BH
∴四边形BHFG为菱形，故④正确．
故选B．
9．（2021·山东东营·中考真题）如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设点的横坐标为，然后表示出、的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解.
【详解】
设点的横坐标为，
则、间的横坐标的差为，、间的横坐标的差为，
放大到原来的倍得到，
，
解得：.
故选：A.
10．（2021·山东聊城·中考真题）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
依次分析当、、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项．
【详解】
解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，
∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，
∴DE=CF=4，
∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，
∴PQ∥DE∥CF，
∵AD=5，
∴,
∴当时，P点在AE之间，此时，AP=t，
∵,
∴，
∴，
因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D；
∵CD＝3，
∴EF=CD=3，
∴当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则，
因此当时，对应图像为，即为一条线段；
∵∠ABC＝45°，
∴BF=CF=4，
∴AB=3+3+4=10，
∴当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-x，
同理可得，Q2P2=P2B=10-x，
，
因此当时，对应图像为，其为开口向下的抛物线的的一段图像；
故选：B．


二、填空题
11．（2021·山东青岛·中考真题）已知正方形的边长为3，为上一点，连接并延长，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，为的中点，为上一动点，分别连接，．若，则的最小值为__________．

【答案】
【分析】
由正方形的性质，可得A点与C点关于BD对称，则有MN +CM=MN+AM≥AN，所以当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小为AN，先证明△DCG~△FCE，再由，可得，分别求出DE=1，CE=2，CF=6，即可求出AN．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴A点与C点关于BD对称，
∴CM=AM，
∴MN+CM=MN+AM≥AN，
∴当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小，
∵AD∥CF，
∴∠DAE=∠F，
∵∠DAE+∠DEH=90°，
∵DG⊥AF，
∴∠CDG+∠DEH=90°，
∴∠DAE=∠CDG，
∴∠CDG=∠F，
∴△DCG~△FCE，
∵，
∴ ，
∵正方形边长为3，
∴CF=6，
∵AD∥CF，
，
∴DE=1，CE=2，
在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，
∴ ，
∵N是EF的中点，
，
在Rt△ADE中，EA2=AD2+DE2，
∴ ，
∴ ，
∴MN+MC的最小值为 ．
故答案为：．
12．（2021·山东济南·中考真题）如图，一个由8个正方形组成的“”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点，，，，都在矩形的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边的长为__________．

【答案】
【分析】
如图，延长交于点，连接，根据题意求得的长，设，先证明，再证明，，分别求出矩形的四边，根据矩形对边相等列方程组求得的值，进而求得的值．
【详解】
小正方形的面积为1，则小正方形的边长为，
如图，延长交于点，连接，

，，
四边形是正方形，
，
，

设，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，，
，














即①

②
联立
解得

故答案为：
13．（2021·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则的值为_______．

【答案】48
【分析】
过作于，交于，设，，，通过证得△△，得到，解方程组求得、的值，即可得到的坐标，代入即可求得的值．
【详解】
解：过作于，交于，

，
，
，
，
，
△△，
，
设，
，，
正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，
，，
，
解得，，
，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为48．
14．（2021·山东泰安·中考真题）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）．

【答案】
【分析】
根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第个正方形的边长．
【详解】
解：点在直线上，点的横坐标为2，
点纵坐标为1．
分别过，作轴的垂线，分别交于，下图只显示一条；

,
类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有
，
不妨设第1个至第个正方形的边长分别用：来表示，通过计算得：
，
，



按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为，
故答案是：．
15．（2021·山东东营·中考真题）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若，则GE的长为________．

【答案】
【分析】
因为折叠，则有，从而可知，利用线段比求出DG的长，即可求出EG．
【详解】
如图, 四边形ABCD是正方形，
，
因为折叠，，设垂足为H，
，
，
，
，
，
，，DE=，
，
，





故答案为．

三、解答题
16．（2021·山东青岛·中考真题）已知：如图，在矩形和等腰中，，，．点从点出发，沿方向匀速运动．速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作，交于点，交于点，过点作，交于点．分别连接，，设运动时间为．
解答下列问题：

（1）当时，求的值；
（2）设五边形的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）当时，求的值；
（4）若与相交于点，分别连接和．在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在，
【分析】
（1）先证，得代数计算即可；
（2）如图2中，过点P作PO⊥QM于点O．证明S=S四边形DQPM+S△DNQ=（PQ+DH）•QM+QN•ND=（HA+DH）•QM+QN•ND=•AD•QM+QN•ND，可得结论．
（3）如图3中，延长NQ交BE于点G．根据PQ=PM，构建方程求解即可．
（4）存在．证明△HQW∽△AEW，△MHW∽△PAW，推出，，推出，由此构建方程求解即可
【详解】
（1）由题意可得，，，
在矩形中，
∵，，
，
在中，，
，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
答：为时，.

（2）过点作，交于点，
在等腰中，
，，
则.
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴.
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，∴，∴.
∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，.
∴




.
答：与的函数关系式是.

（3）延长交于点，由（1），（2）可得，
，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可证，四边形是矩形.
∴，
当时，
∵，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴.
答：当时，.

（4）由（2）得，，

∵，，
∴，
∴为矩形，
∴，且.
∴，
∵，
∴，
同理可证，
∴，，
∴，
∴，
∴.
答：在运动的过程中，存在时刻，使.
17．（2021·山东济南·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．

（1）求的值并直接写出点的坐标；
（2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值；
（3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），B(2，3)；（2）；（3）P（，0）或（0，）.
【分析】
（1）根据直线经过点A，可求出点A（-2，-3），因为点A在图象上，可求出k，根据点A和点B关于原点对称，即可求出点B；
（2）先根据利用相似三角形的性质求出点C，再根据对称性求出点B关于y轴的对称点B’，连接B’C，即B’C的长度是的最小值；
（3）先作出图形，分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】
（1）解：因为直线经过点，
所以，
所以m=-2，
所以点A（-2，-3），
因为点A在图象上，
所以，
因为与双曲线交于A，两点，
所以点A和点B关于原点对称，
所以点B(2，3)；
（2）过点B，C分别作BE⊥x轴，CF⊥x轴，作B关于y轴对称点B’，连接B’C，

因为BE⊥x轴，CF⊥x轴，
所以BE//CF，
所以,
所以，
因为，
所以，
因为B（2，3），
所以BE=3，
所以CF=1，
所以C点纵坐标是1，
将代入可得：x=6，
所以点C（6，1），
又因为点B’是点B关于y轴对称的点，
所以点B’（-2，3），
所以B’C=，
即的最小值是；
（3）解：①当点P在x轴上时，
当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥x轴，

因为∠OBP=90°，BH⊥OP,
所以，
所以，
所以,
所以，
所以，
所以，
所以点P（，0）；
②当点P在y轴上时，
当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥y轴，

因为∠OBP=90°，BH⊥OP,
所以，
所以，
所以,
所以，
所以，
所以，
所以点P（0，）
综合可得：P（，0）或（0，）.
18．（2021·山东日照·中考真题）已知：抛物线经过，，三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点为直线上方抛物线上任意一点，连、、，交直线于点，设，求当取最大值时点的坐标，并求此时的值；
（3）如图2，点为抛物线对称轴与轴的交点，点关于轴的对称点为点．
①求的周长及的值；
②点是轴负半轴上的点，且满足（为大于0的常数），求点的坐标．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）k=，P（，）；（3）①，；②（0，）或（0，）
【分析】
（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，过点作轴交直线于点，则，进而可得，再运用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则，从而得出，再利用二次函数性质即可得出答案；
（3）①如图2，过点作于点，则，利用配方法求得抛物线对称轴为直线，得出，运用勾股定理即可求得的周长；再证明是等腰直角三角形，利用三角函数求得，，即可求得答案；
②设，则，根据，求得、，再利用，求得，根据，可得，化简得，解方程即可求得答案．
【详解】
解：（1）抛物线经过，，，
设，将代入，得，
解得：，
，
抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交直线于点，

，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设点，则，
，
，
当时，取得最大值，此时，，；
（3）①如图2，过点作于点，则，

，
抛物线对称轴为直线，
，
，，
点关于轴的对称点为点，
，
，
，
，
，
，
的周长；
在中，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
②设，则，
，
，

，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
，
，
整理得，，
，，
，即，
当△，即时，
，
或．