考点17解直角三角形（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（华师大版）

考点17解直角三角形

考点总结

真题演练

一、单选题

1．（2021·山东青岛·中考真题）如图，在四边形纸片中，，，．将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为．若，则的长为（    ）

A．5 B． C． D．

【答案】C

【分析】

过点A作 于H，由折叠知识得： ，再由锐角三角函数可得，然后根据，可证得四边形AHFG是矩形，即可求解．

【详解】

解：过点A作 于H，

由折叠知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，

，

，

在 中，，，

，

，

，

，

四边形AHFG是矩形，

，

．

故选：C．

2．（2021·山东济南·中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．

【详解】

解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，

∴，

∴，，

∴；

故选C．

3．（2021·山东日照·中考真题）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

过作于，于，得到，，设，，根据勾股定理得到，求得，，，于是得到结论．

【详解】

解：过作于，于，

，，

斜坡的斜面坡度，

，

设，，

，

，

，，

，

，

，

，

故选：A．

4．（2021·山东滨州·中考真题）如图，是的外接圆，CD是的直径．若，弦，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cos∠ABC的值．

【详解】

解：连接AD，如右图所示，

∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，

∴∠DAC=90°，

∴AD==8，

∴cos∠ADC==，

∵∠ABC=∠ADC，

∴cos∠ABC的值为，

故选：A．

5．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为5，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由题意易得，设，则有，则有，，然后可得，过点C作CH⊥AB于点H，进而根据三角函数及勾股定理可求解问题．

【详解】

解：∵，，

∴，

∴，

∵是斜边上的中线，

∴，

设，则有，

∵，

∴由勾股定理可得，

∵的面积为5，

∴，

∵，

∴，即，化简得：，

解得：或，

当时，则AC=2，与题意矛盾，舍去；

∴当时，即，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：

∴，，，

∴，，

∴，

∴，

∴；

故选A．

6．（2021·山东威海·中考真题）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin3618＇，按键顺序正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】

根据计算器按键顺序计算即可．

【详解】

解：根据计算器的按键顺序可知，

正确的按键顺序为D选项，

故选：D．

7．（2021·山东威海·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

先证明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，

∴△ABC，ACD都是等边三角形，

∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°．

如图1，当0≤x≤1时，AQ=2x，AP=x，

作PE⊥AB于E，

∴，

∴，

故D选项不正确；

如图2，当1＜x≤2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2，

作PF⊥BC与F，作QH⊥AB于H，

∴，

，

∴，

故B选项不正确；

当2＜x≤3时，CP=x-2，CQ=2x-4，

∴PQ=x-2，

作AG⊥CD于G，

∴，

∴，

故C不正确．

故选：A

8．（2021·山东东营·中考真题）如图，在中，，，，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据正切函数的定义，可得，根据计算器的应用，可得答案．

【详解】

解：由，得：

，

故选：D．

9．（2021·山东泰安·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（   ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】

如图，延长AD，BC，二线交于点E，可求得∠E=30°，在Rt△CDE中，利用tan30°计算DE，在Rt△ABE中，利用sin30°计算AE，根据AD=AE-DE求解即可；

【详解】

如图，延长AD，BC，二线交于点E，

∵∠B=90°，∠BCD=120°，

∴∠A=60°，∠E=30°，∠ADC=90°，

∴∠ADC=∠EDC= 90°，

在Rt△CDE中，

tan30°=，

∴DE==，

在Rt△ABE中，

sin30°=，

∴AB==4，

∴AD=AE-DE=,

故选C

10．（2021·山东泰安·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（   ）

A．50° B．48° C．45° D．36°

【答案】B

【分析】

连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数．

【详解】

解：连接AD，则AD=AG=3，

∵BC与圆A相切于点D，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==，

∴∠BAD=60°，

∵∠CDE=18°，

∴∠ADE=90°﹣18°=72°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=72°，

∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，

∴∠GAC=36°+60°=96°，

∴∠GFE=∠GAC=48°，

故选：B．

二、填空题

11．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________．

【答案】

【分析】

根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题．

【详解】

解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示，

则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，

∴△APP′是等边三角形，

∴AP=PP′，

∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，

∵PP′+P′B′+PC≥CB′，

∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，

即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，

∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，

∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°=，

∴CB′=，

故答案为：．

12．（2021·山东淄博·中考真题）两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________．

【答案】

【分析】

由题意易得四边形是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，易得，，然后根据勾股定理可得，则，，进而可得，要使为最小，即的值为最小，则可过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，最后根据“胡不归”问题可求解．

【详解】

解：∵纸条的对边平行，即，

∴四边形是平行四边形，

∵两张纸条的宽度都为，

∴，

∴，

∴四边形是菱形，

过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图所示：

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴，，

∴，

过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图所示：

∴，

要使的值为最小，则需满足为最小，根据三角不等关系可得：，所以当B、P、M三点共线时，取最小，即为BM的长，如图所示：

∴，

∴，

∴的最小值为，即的最小值为；

故答案为．

13．（2021·山东济宁·中考真题）如图，中，，，，点O为的中点，以O为圆心，以为半径作半圆，交于点D，则图中阴影部分的面积是____．

【答案】

【分析】

根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积减去的面积和扇形的面积，从而可以解答本题．

【详解】

解：连接OD，过点D作于E，

在中，

∴，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴阴影部分的面积是：

，

故答案为：．

14．（2021·山东威海·中考真题）如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异侧），AE交CF于点G；再将纸片折叠，使CG与AE在同一条直线上，折痕为GH．若，纸片宽，则HE＝__________cm．

【答案】

【分析】

根据题意，证明四边形是平行四边形，运用的正弦和余弦的关系，求出HE．

【详解】

如图，分别过作， 垂足分别为

则

根据题意，，因为折叠，则

四边形ABCD是矩形

同理

四边形是平行四边形

，

中，

故答案为：．

15．（2021·山东东营·中考真题）如图，正方形中，，AB与直线l所夹锐角为，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，…，依此规律，则线段________．

【答案】

【分析】

利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.

【详解】

∵AB与直线l所夹锐角为，正方形中，，

∴∠=30°，

∴=tan30°==1，

∴；

∵=1，∠=30°，

∴=tan30°=，

∴；

∴线段,

故答案为：.

三、解答题

16．（2021·山东青岛·中考真题）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．

（参考数据：，，，，，）

【答案】96米

【分析】

延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．

【详解】

延长交于点，

过点作，交于点，

由题意得，，

∴四边形为矩形，

∴，.

在中，，

∴，，

∴，，

∴，

∴.

在中，，

∴，

∴，

∴，

∴.

答：大楼的高度约为96米.

17．（2021·山东济南·中考真题）已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点，，连接，．

（1）求证：；

（2）若，，求的半径．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）连接，根据切线的性质，已知条件可得，进而根据平行线的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证；

（2）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而根据正切值以及已知条件可得的长，勾股定理即可求得，进而即可求得圆的半径．

【详解】

（1）连接，如图，

是的切线，

，

，

，

，

，

，

．

（2）连接

是的直径，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

即的半径为．

18．（2021·山东济南·中考真题）计算：．

【答案】6

【分析】

根据负指数幂、零次幂及三角函数值可进行求解．

【详解】

解：原式=．