考点08 位置与函数（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版）

考点08 位置与函数

考点总结

1．有序数对

（1）有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对．平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的．（2）经一点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标和纵坐标．有序实数对（a，b）叫做点P的坐标．

2．点的坐标特征

3．轴对称

（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标（x，-y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标（-x，y）．

4．中心对称

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P'（-x，-y）．

5．图形在坐标系中的旋转

图形（点）的旋转与坐标变化：

（1）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转90°，其坐标变为P′（y，-x）；

（2）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转180°，其坐标变为P′（-x，-y）；

（3）点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转90°，其坐标变为P′（-y，x）；

（4）点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转180°，其坐标变为P′（-x，-y）．

6．图形在坐标系中的平移

图形（点）的平移与坐标变化

（1）点P（x，y）向右平移a个单位，其坐标变为P′（x+a，y）；

（2）点P（x，y）向左平移a个单位，其坐标变为P′（x-a，y）；

（3）点P（x，y）向上平移b个单位，其坐标变为P′（x，y+b）；

（4）点P（x，y）向下平移b个单位，其坐标变为P′（x，y-b）．

7．函数

（1）函数的定义

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．

例如：在s=60t中，有两个变量；s与t，当t变化时，s也随之发生变化，并且对于t在其取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称t是自变量，s是t的函数．

对函数定义的理解，主要抓住以下三点：①有两个变量．②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．③函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同，如：函数y=x2，当x=1和x=-1时，y的对应值都是1．④在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数.

（2）函数取值范围的确定

使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；②当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．

（3）函数解析式及函数值

函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．

注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．③书写函数的解析式是有顺序的．y=2x-1表示y是x的函数，若x=2y-1，则表示x是y的函数，即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式．④用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．

函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．

（4）函数的图象及其画法

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：

①列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜．②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）之间的关系，描出的点大小要适中，位置要准确．③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．

（5）函数的表示方法

函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•路南区三模）在平面直角坐标系中，点A（3，4），B（﹣2，m），当线段AB最短时，m的值为（　　）

A．5 B．3 C．4 D．0

【分析】可得出点B在过点（﹣2，0），且与y轴平行的直线上运动，根据垂线段最短即可解决．

【解答】解：∵B（﹣2，m），

∴点B在过点（﹣2，0），且与y轴平行的直线上运动，

根据垂线段最短知，AB⊥y轴时，AB最短，此时m＝4，

故选：C．

2．（2016•滨州）如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（　　）

A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，﹣2）

【分析】由题目中A点坐标特征推导得出平面直角坐标系y轴的位置，再通过C、D点坐标特征结合正五边形的轴对称性质就可以得出E点坐标了．

【解答】解：∵点A坐标为（0，a），

∴点A在该平面直角坐标系的y轴上，

∵点C、D的坐标为（b，m），（c，m），

∴点C、D关于y轴对称，

∵正五边形ABCDE是轴对称图形，

∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴，

∴点B、E也关于y轴对称，

∵点B的坐标为（﹣3，2），

∴点E的坐标为（3，2）．

故选：C．

3．（2021•滦南县二模）某同学早上8点坐车从学校出发去大钊纪念馆参观学习，汽车离开学校的距离S（千米）与所用时间t（分）之间的函数关系如图所示，已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述：①汽车在途中加油用了10分钟；②若OA∥BC，则加满油以后的速度为80千米/小时；③若汽车加油后的速度是90千米/小时，则a＝25；④该同学8：55到达大钊纪念馆．其中正确的有（　　）个．

A．4 B．3 C．2 D．1

【分析】根据函数的图象可知，横坐标表示时间，纵坐标表示距离，由于函数图象不是平滑曲线，故应分段考虑．

【解答】解：①图中加油时间为25至35分钟，共10分钟，故①正确；

②∵OA∥BC，

∴OA段和BC段的速度相等，即，

解得a，

∴加满油以后的速度为：80（千米/小时），故②正确；

③由题意可知，90，解得a＝30，故③错误；

④该同学8：55到达大钊纪念馆，故④正确．

∴正确的有3个，

故选：B．

4．（2021•平泉市一模）定义新运算a⊗b，例如4⊗5＝4×52，4⊗（﹣5）＝﹣4×52．则函数y＝2⊗x的图象大致为（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据题意可得y＝2⊕x，再根据二次函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．

【解答】解：由题意得：y＝2⊕x，

当x≥0时，抛物线在在第一象限，

当x＜0时，抛物线在第三象限，

故选：D．

5．（2021•河北一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AM是△ABC中线，D是BC边上一点（点D不与点B、C重合），连接AD，作AF⊥AD于点A，且FA＝DA，连接BF交AM于点E，设BD＝x，ME＝y，则y与x的大致图象是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】连接CF，证明△ABD和△ACF全等，得出CF＝BD，再证明ME是△BCF的中位线，即可得出答案．

【解答】解：连接CF，

∵∠DAF＝90°，

∴∠BAD＝∠CAF，

在△ABD和△ACF中，

，

∴△ABD≌△ACF（SAS），

∴∠ACF＝∠ABD＝45°，CF＝BD，

∴CF⊥BC，

∴CF∥ME，

又∵M是BC的中点，

∴ME是△BCF的中位线，

∴MECFBD，

∴yx，

∴关系式对应的图象为经过原点的直线，

故选：A．

6．（2021•遵化市模拟）如图，M是⊙O上一个定点，将直角三角板的30°角顶点与点M重合，两边与⊙O相交，设交点为A，B，绕点M顺时针旋转三角板，直至其中一个交点与点M重合时停止旋转，设AB＝y，旋转角为a，下列能反映y与a关系的为（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】由圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等可得结论．

【解答】解：由题意可知，∠AMB＝30°，

∴线段AB的长度是不变的，

即随着旋转角a的变化，y的值是一个定值．

故选：A．

7．（2021•河北模拟）如图（1），▱ABCD中，AB＝3，BD⊥AB，动点F从点A出发，沿折线ADB以每秒1个单位长度的速度运动到点B．图（2）是点F运动时，△FBC的面积y随时间x变化的图象，则m的值为（　　）

A．6 B．10 C．12 D．20

【分析】由题意可知AD＝a，AD+BD＝9，则BD＝9﹣a，利用勾股定理求出a，再根据三角形的面积公式计算即可．

【解答】解：由图可知，AD＝a，AD+BD＝9，

则BD＝9﹣a，

由BD⊥AB，可得△ABD是直角三角形，

由勾股定理可得：AD2＝BD2+AB2，

即a2＝（9﹣a）2+32，

解得a＝5，

即AD＝5，

所以BD＝4，

所以m＝S△BDC6．

故选：A．

8．（2021•新华区模拟）如图，DE是边长为4的等边△ABC的中位线，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿折线AD﹣DE向点E运动；同时动点Q以相同的速度，从点B出发，沿BC向点C运动，当点P到达终点时，点Q同时停止运动．设运动时间为ts，B、D、P、Q四点围成图形的面积S与时间t之间的函数图象是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】分两种情况进行讨论：①当0＜t≤2时，点P在AD上，根据三角形的面积公式可知△BPQ的面积SBQ•BP•sin∠B，代入数据求出S与t之间的函数解析式；②当2＜t≤4时，点P在DE上，根据图形的面积公式可知梯形BDPQ的面积S（DP+BQ）•BD•sin∠B，代入数据求出S与t之间的函数解析式，从而判断出函数图象而得解．

【解答】解：∵DE是边长为4的等边△ABC的中位线，

∴AD＝DB＝DE＝2，AB＝4，∠B＝60°．

分两种情况：①当0＜t≤2时，点P在AD上，

∵AP＝BQ＝t，

∴BP＝AB﹣AP＝4﹣t，

∴△BPQ的面积SBQ•BP•sin∠B•（4﹣t）•t，

②当2＜t≤4时，点P在DE上，

∵DP＝t﹣2，BQ＝t，

∴梯形BDPQ的面积（DP+BQ）•BD•sin∠B（t﹣2+t）×2，

纵观各选项，只有C选项图形符合．

故选：C．

9．（2021•河北模拟）对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y}＝x，当x＜y时，max{x，y}＝y．例如max{﹣1，﹣2}＝﹣1，max{3，π}＝π，则关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象为（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】令3x＝x+2，解得x＝1，画出直线y＝3x和直线y＝x+2的图象即可判断．

【解答】解：令3x＝x+2，解得x＝1，

直线y＝3x和直线y＝x+2的图象如图所示，它们的交点坐标为（1，3），由图象可知，x＜1时，x+2＞3x；

当x＞1时，3x＞x+2，

故关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象是选项C中的图象．

故选：C．

10．（2021•邢台模拟）船工小王驾驶一艘小艇匀速从甲港向乙港航行，离开甲港后不久便发现有重要物品落在甲港，小王马上驾驶小艇以相同的速度驰回甲港，到达甲港后，因找重要物品耽误了一段时间，为了按时到达乙港，小王回乙港时，加快了航行速度．则小艇离乙港的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据y代表的实际含义和小艇的起点与终点即可得出答案．

【解答】解：∵y表示的是小艇离乙港的距离，小艇从甲港出发，

∴图像第一段为从左向右下降趋势，

∵离开甲港不久又原速返回乙港，

∴图像第二段从左向右上升趋势且倾斜程度与第一段相同，

∵到达甲港后找东西耽误了一段时间，

∴图像第三段从左向右是平线，

∵为了按时到达，小艇重新往乙港走加快了速度，

∴最后一段图像是从左向右下降的趋势且倾斜程度比第一段和第二段陡．

故选：B．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•河北模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），P是第一象限内任意一点，连接PO、PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，则我们把（m°，n°）叫做点P的“双角坐标”．例如，点（1，1）的“双角坐标”为（45°，90°）．

（1）点（）的“双角坐标”为 　（45°，45°）　；

（2）若“双角坐标”为（30°，60°），则点坐标 　（，）　；

（3）若点P到x轴的距离为，则m+n的最小值为 　90　．

【分析】（1）分别求出tan∠POA、tan∠PAO即可得∠POA、∠PAO的度数，从而得出答案；

（2）根据∠POA、∠PAO的度数度数和tan∠POA、tan∠PAO的值可求坐标；

（3）根据三角形内角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，则∠OPA需取得最大值，OA中点为圆心，为半径画圆，与直线y相切于点P，由∠OPA＝∠1＞∠OP′A知此时∠OPA最大，∠OPA＝90°，即可得出答案．

【解答】解：（1）∵点（），OA＝1，

∴tan∠POA1，tan∠PAO1，

∴∠POA＝45，∠PAO＝45°，

即点P的“双角坐标”为（45°，45°），

故答案为：（45°，45°），

（2）∵若“双角坐标”为（30°，60°），OA＝1，

∴∠OPA＝90°，OA，OP，

∴y＝OP×sin30°，x＝OP×cos30°，

故坐标为（，），

（3）根据三角形内角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，

则∠OPA需取得最大值，

如图，

∵点P到x轴的距离为，OA＝1，

∴OA中点为圆心，为半径画圆，与直线y相切于点P，

在直线y上任取一点P′，连接P′O、P′A，P′O交圆于点Q，

∵∠OPA＝∠1＞∠OP′A，

此时∠OPA最大，∠OPA＝90°，

∴m+n的最小值为90，

故答案为：90．

12．（2021•石家庄模拟）已知点M（﹣3，3），线段MN＝4，且MN∥y轴，则点N的坐标是 　（﹣3，﹣1）或（﹣3，7）　．

【分析】根据线段MN＝4，且MN∥y轴，点M（﹣3，3），可知点N的横坐标为﹣3，纵坐标与3的差的绝对值为4，从而可得点N的结论．

【解答】解：∵线段MN＝4，且MN∥y轴，点M（﹣3，3），

∴点N的坐标为（﹣3，y），

∴|y﹣3|＝4，

∴y＝﹣1或y＝7，

∴则点N的坐标是（﹣3，﹣1）或（﹣3，7）．

故答案为：（﹣3，﹣1）或（﹣3，7）．

13．（2020•新疆）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为　3　．

【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，可得关于a的方程，求解即可．

【解答】解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，

∴点P在∠BOA的角平分线上，

∴点P到x轴和y轴的距离相等，

又∵点P的坐标为（a，2a﹣3），

∴a＝2a﹣3，

∴a＝3．

故答案为：3．

14．（2020•丛台区校级二模）函数y的自变量x的取值范围为　x＞5　．

【分析】根据被开方数是非负数，分母不等于零，可得答案．

【解答】解：要使函数y有意义，则x﹣5＞0，

解得x＞5，

故答案为：x＞5．

15．（2020•复兴区二模）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止，已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间t（单位：s）的函数关系式如图2，则点P从开始移动到停止移动一共用了　6　s．

【分析】根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根据t＝2时△PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于点F，然后求出DF的长度，利用勾股定理列式求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD的和，再根据时间＝路程÷速度计算即可得解

【解答】解：由图2可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，

∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4﹣2＝2秒，

∵动点P的运动速度是1cm/s，

∴AB＝2cm，BC＝2cm，

过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，

则四边形BCFE是矩形，

∴BE＝CF，BC＝EF＝2cm，

∵∠A＝60°，

∴BE＝ABsin60°＝2，

AE＝ABcos60°＝21，

∴AD×BE＝2，

即AD2，

解得AD＝4cm，

∴DF＝AD﹣AE﹣EF＝4﹣1﹣2＝1，

在Rt△CDF中，CD2，

所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD＝2+2+2＝6，

∵动点P的运动速度是1cm/s，

∴点P从开始移动到停止移动一共用了6÷1＝6（秒）．

故答案为：6．

三．解答题（共1小题）

16．（2021•永德县模拟）某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定时，矩形的面积与边长函数关系式的图象．请将他们的探究过程补充完整．

（1）列函数表达式：若矩形的周长为8，设矩形的一边长为x，面积为y，则有y＝　y＝﹣x2+4x　；

（2）上述函数表达式中，自变量x的取值范围是 　0＜x＜4　；

（3）列表：

写出m＝　1.75　；

（4）画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象．

【分析】根据二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

【解答】解：（1）由题意：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x．

故答案为：y＝﹣x2+4x；

（2）上述函数表达式中，自变量x的取值范围是0＜x＜4．

故答案为：0＜x＜4．

（3）x＝3.5时，y＝1.75，

∴m＝1.75．

故答案为：1.75．

（4）函数图象如图所示：