考点09 一次函数（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版）

这是一份考点09 一次函数（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版），共22页。试卷主要包含了正比例函数的概念，一次函数，一次函数的图象及性质，待定系数法，一次函数与方程，一次函数图象与图形面积，一次函数的实际应用等内容，欢迎下载使用。

考点09 一次函数
考点总结

一、正比例函数的概念
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．
二、一次函数
1.一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．
2.一次函数的一般形式
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．
一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.
3.注意
（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.
（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
三、一次函数的图象及性质
1．正比例函数的图象特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
k的符号
函数图象
图象的位置
性质
k>0

图象经过第一、三象限
y随x的增大而增大
k <0

图象经过第二、四象限
y随x的增大而减小

2.一次函数的图象特征与性质
（1）一次函数的图象
一次函数的图象
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线
图象关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
图象确定
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可
（2）一次函数的性质
函数
字母取值
图象
经过的象限
函数性质
y=kx+b
(k≠0)
k>0，b>0

一、二、三
y随x的增大而增大
k>0，b<0

一、三、四
y=kx+b
(k≠0)
k<0，b>0

一、二、四
y随x的增大而减小
k<0，b<0

二、三、四
3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．
③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点； ④当k1·k2=–1时，两直线垂直．
四、待定系数法
1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．
2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．
（3）解方程，求出待定系数k．
（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．
3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤
（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．
（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．
（3）解二元一次方程组，求出k，b．
（4）将求得的k，b的值代入解析式．
五、一次函数与正比例函数的区别与联系


正比例函数
一次函数
区别
一般形式
y=kx+b（k是常数，且k≠0）
y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
图象
经过原点的一条直线
一条直线
k，b符号的作用
k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限
k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限
求解析式的条件
只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标
需要两对x，y的对应值或两个点的坐标
联系
比例函数是特殊的一次函数．
②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．
③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．
④一次函数与正比例函数有着共同的性质：
a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
六、一次函数与方程（组）、不等式
1．一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
2．一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．
3．一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．
从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．
七、一次函数图象与图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
八、一次函数的实际应用
1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．
3．方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
4．方法技巧
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
显然，第（2）种方法更简单快捷．

真题演练


一．选择题（共10小题）
1．（2021•高阳县模拟）一条直线y＝kx+b，其中k+b＝﹣2022，kb＝2021，那么该直线经过（　　）
A．第二、四象限 B．第一、二、三象限
C．第一、三象限 D．第二、三、四象限
【分析】首先根据k+b＝﹣5、kb＝6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限即可．
【解答】解：∵k+b＝﹣2022，kb＝2021，
∴k＜0，b＜0
∴直线y＝kx+b经过二、三、四象限，
故选：D．
2．（2021•桥东区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣3x+3，直线l2：y＝x﹣3与x轴分别交于点A，B，且l1与l2交于点C，若点M（2m+2，m）在△ABC的内部（不包括边界），则m的值可能为（　　）

A．12 B．−12 C．−15 D．0
【分析】根据直线的解析式求得A、B、C的坐标，然后根据点M（2m+2，m）在△ABC的内部（不包括边界），得到关于m的不等式组，解得不等式组即可求得．
【解答】解：∵直线l1：y＝﹣3x+3，直线l2：y＝x﹣3与x轴分别交于点A，B，
∴A（1，0），B（3，0），
由y=−3x+3y=x−3解得x=32y=−32，
∴C（32，−32），
∵点M（2m+2，m）在△ABC的内部（不包括边界），
∴1＜2m+2＜3−32＜m＜0，
∴−12＜m＜12−32＜m＜0，
∴−12＜m＜0，
故选：C．
3．（2021•长安区二模）如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，a），D（6，a）和E（6，0）．若直线l：y=−13x+154将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则a＝（　　）

A．92 B．113 C．4 D．3
【分析】设直线l：y=−13x+154将多边形OABCD的边交于点F、G两点，根据一次函数关系式求出点F、G的坐标，得FO=154，GE=74，求出S四边形OFGE=12×(154+74)×6=332，根据直线l：y=−13x+154将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，得关于a的方程，即可求解．
【解答】解：设直线l：y=−13x+154将多边形OABCD的边交于点F、G两点，
当x＝0时，y==−13x+154=154，
∴FO=154，
当x＝6时，y=−13x+154=74，
∴GE=74，
∴S四边形OFGE=12×(154+74)×6=332，
∵直线l：y=−13x+154将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，
∴S多边形OABCDE＝2S四边形OFGE＝2×332=33，
∴4×6+2a＝33，
解得a=92．
故选：A．

4．（2021•新华区模拟）把直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第二象限，则m的整数值有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x﹣3+m，求出直线y＝﹣x﹣3+m与直线y＝2x+4的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．
【解答】解：直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x﹣3+m，
联立两直线解析式得：y=−x−3+my=2x+4，
解得：x=m−73y=2m−23，
∵交点在第二象限，
∴m−73＜02m−23＞0，
解得：1＜m＜7．
∴m的整数值有5个．
故选：B．
5．（2021•乐亭县一模）已知一次函数y＝ax+a+2的图象与y轴的正半轴相交，且y随x的增大而减小，则a的值可以是（　　）
A．14 B．﹣1 C．﹣2 D．12
【分析】根据反比例函数图象的增减性可得a＜0，根据图象与y轴的正半轴相交可得a+2＞0，所以﹣2＜a＜0．
【解答】解：∵图象与y轴的正半轴相交，
∴a+2＞0得a＞﹣2，
∵图象y随x的增大而减小，
∴a＜0，
∴﹣2＜a＜0．
故选：B．
6．（2021•石家庄一模）已知点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x﹣5上，则y1，y2的值的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论（利用一次函数的性质，确定y1，y2的值的大小亦可）．
【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝﹣1×（﹣2）﹣5＝﹣3，
当x＝3时，y2＝﹣1×3﹣5＝﹣8．
∵﹣3＞﹣8，
∴y1＞y2．
故选：B．
7．（2021•保定模拟）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过（a+3，b﹣2），（a，b+4），则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．−12 D．12
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k，a，b的方程组，解之即可得出k值．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过（a+3，b﹣2），（a，b+4），
∴b−2=k(a+3)b+4=ka，
解得：k＝﹣2．
故选：A．
8．（2021•石家庄模拟）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为xkg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　）

A．甲园的门票费用是60元
B．草莓优惠前的销售价格是40元/kg
C．乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折
D．若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
甲园的门票为60元，故选项A正确；
乙园草莓优惠前的销售价格是：200÷5＝40（元/千克），故选项B正确；
400−20015−5÷40=0.5，
即乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打5折，故选项C正确；
若顾客采摘12kg草莓，甲园花费为：60+12×40×0.6＝348（元），乙园的花费为：40×5+（12﹣5）×40×0.5＝340（元），
∵348＞340，
∴若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园比到乙园的总费用高，故选项D错误；
故选：D．
9．（2021•清苑区模拟）如图，购买一种苹果，付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省（　　）

A．4 元 B．5 元 C．6 元 D．7 元
【分析】利用待定系数法可分别求得直线OA、AB的函数解析式，再分别求得两种方式所需费用，即可求得答案．
【解答】解：
由图象可知A（2，20），B（4，36），
设直线OA解析式为y＝kx，则2k＝20，解得k＝10，
∴直线OA解析式为y＝10x（0≤x≤2），
∴买1千克时，付款金额为y＝10×1，
∴分五次购买1千克所需要费用为50元，
设直线AB解析式为y＝tx+b，
∴2t+b=204t+b=36，解得t=8b=4，
∴直线AB解析式为y＝8x+4（x＞2），
∴当x＝5时，y＝44，即一次购买5千克所需费用为44元，
∵50﹣44＝6，
∴一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省6元，
故选：C．
10．（2021•新华区模拟）把直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（　　）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x﹣3+m，求出直线y＝﹣x﹣3+m与直线y＝2x+4的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．
【解答】解：直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x﹣3+m，
联立两直线解析式得：y=−x−3+my=2x+4，
解得：x=m−73y=2m−23，
∵交点在第二象限，
∴m−73＜02m−23＞0，
解得：1＜m＜7．
m取整数有5个解．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•路南区一模）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝3x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝3x于点B2：点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝3x于点B3；…，按此规律作下去，则下列点的坐标为：
（1）B3（ 　4，12　）；
（2）B6（ 　32，96　）；
（3）Bn（ 　2n﹣1，3×2n﹣1　）．

【分析】先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点Bn的坐标．
【解答】解：（1）∵点A1坐标为（1，0），
∴OA1＝1，
过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，可知B1点的坐标为（1，3），
∵点A2与点O关于直线A1B1对称，
∴OA1＝A1A2＝1，
∴OA2＝1+1＝2，
∴点A2的坐标为（2，0），B2的坐标为（2，6），
∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点A3的坐标为（4，0），B3的坐标为（4，12），
（2）依此类推，A6的坐标为（32，0），B6的坐标为（32，96）．
（3）点An的坐标为（2n﹣1，0），点Bn的坐标为（2n﹣1，3×2n﹣1）．
故答案为：（1）4，12；（2）32，96；（3）2n﹣1，3×2n﹣1．
12．（2021•保定模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+3分别交x轴、y轴于A、B两点，点P（m，1）在△AOB的内部（不包含边界），则m的取值范围是 　0＜m＜4　．

【分析】直线y=−12x+3，当y＝1时，可得x＝4，即可得到0＜m＜4．
【解答】解：作直线y＝1交y轴于C，交直线AB于D，如图：

在y=−12x+3中，当y＝1时，1=−12x+3，
解得x＝4，即D（4，1），
∵点P（m，1）在△AOB的内部（不包含边界），
∴P（m，1）在线段CD上（不含C、D），
∴0＜m＜4，
故答案为：0＜m＜4．
13．（2020•定州市二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC＝60°，A点的坐标是（0，4），则点C的坐标为（ 　23，2　），直线AC的解析表达式是 　y=−33x+4　．

【分析】根据菱形的性质，可得OC的长，根据三角函数，可得OD与CD，从而求得点C的坐标，根据待定系数法，可得直线AC的解析式．
【解答】解：如图，延长BC交x轴于点D，
，
由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是（0，4），得OC＝OA＝4．
又∵∠1＝60°，
∴∠2＝30°．
∴CD=12OC＝2，OD=32OC＝23，
∴C（23，2）．
设AC的解析式为y＝kx+b，
将A，C点坐标代入函数解析式，得23k+b=2b=4，
解得k=−33b=4，
直线AC的表达式是y=−33x+4，
故答案为：23，2，y=−33x+4．
14．（2020•路南区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右第3个阴影三角形的面积是　32　，第2020个阴影三角形的面积是　2×42019　．

【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A1的坐标，结合等腰直角三角形的性质及三角形的面积可得出点B1的坐及△A1OB1的面积，同理可求出△A2B1B2和△A3B2B3的面积，设第n个阴影三角形的面积为Sn（n为正整数），根据三角形面积的变化，即可找出变化规律“Sn＝2×4n﹣1（n为正整数）”，再代入n＝2020即可求出结论．
【解答】解：当x＝0时，y＝0+2＝2，
∴点A1的坐标为（0，2）．
∵△A1OB1为等腰直角三角形，
∴OB1＝OA1＝2，
∴点B1的坐标为（2，0），S△A1OB1=12×2×2＝2；
当x＝2时，y＝2+2＝4，
∴点A2的坐标为（2，4）．
∵△A2B1B2为等腰直角三角形，
∴点B2的坐标为（6，0），S△A2B1B2=12×4×4＝8；
当x＝6时，y＝6+2＝8，
∴点A3的坐标为（6，8），
∵△A3B2B3为等腰直角三角形，
∴点B3的坐标为（14，0），S△A3B2B3=12×8×8＝32．
设第n个阴影三角形的面积为Sn（n为正整数），则Sn＝2×4n﹣1，
∴S2020＝2×42020﹣1＝2×42019．
故答案为：32；2×42019．
15．（2020•石家庄一模）如图，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角，点B1，B2，B3…均在x轴正半轴上，直角顶点A1（2，2），A2，A3，…均在直线y=−12x+3上．设△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，则S1＝　4　，依据图形所反映的规律，S2020＝　4×（13）4038　．

【分析】分别过点A1、A2、A3作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案．
【解答】解：如图，分别过点A1、A2、A3作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，

∵A1（2，2），且△A1OB1是等腰直角三角形，
∴OC＝CB1＝A1C＝2，
设B1D＝a，则A2D＝a，
∴OD＝4+a，
∴点A2坐标为（4+a，a），
将点A2坐标代入y=−12x+3，得：−12（4+a）+3＝a，
解得：a=23，
∴B1B2＝2a=43，A2D=23，
同理求得A3E=29、B2B3=19，
∵S1=12×4×2＝4、S2=12×43×23=49、S3=12×49×29=481、……
∴S2020＝4×（13）4038．
故答案为4，4×（13）4038．
三．解答题（共3小题）
16．（2021•开平区一模）如图，直线l1：y＝ax﹣a，l1与x轴交于点B，直线l2经过点A（4，0），直线l1，l2交于点C（2，﹣3）．
（1）a＝　﹣3　；点B的坐标为 　（1，0）　；
（2）求直线l2的解析表达式；
（3）求△ABC的面积；
（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ABP为等腰三角形，请直接写出P点的横坐标？

【分析】（1）利用待定系数法求得直线l1的解析式，再令y＝0可得答案；
（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，利用待定系数法可得答案；
（3）根据三角形的面积公式可得答案；
（4）设P（a，3a2−6），可得这PA、PB、AB的长，分①PA＝PB，②PA＝AB，③PB＝AB，三种情况求解可得答案．
【解答】解：（1）∵直线l1，l2交于点C（2，﹣3）．
∴﹣3＝2a﹣a，
∴a＝﹣3，
∴直线l1的解析式为：y＝﹣3x+3，
令y＝﹣3x+3＝0，
∴x＝1，
∴点B的坐标为（1，0），
故答案为：﹣3，（1，0）；
（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，
代入点A、C的坐标得，
4k+b=02k+b=−3，
∴k=32b=−6，
∴y=32x﹣6．
（3）∵A（4，0），C（2，﹣3），B（1，0），
∴S△ABC=12×3×3=92．
（4）∵P在直线l2上，
设P（a，3a2−6），
∴PA=(a−4)2+(3a2−6)2，PB=(a−1)2+(3a2−6)，AB＝3，
①当PA＝PB时，
∴(a−4)2+(3a2−6)2=(a−1)2+(3a2−6)，
化简得﹣2a+1＝﹣8a+16，
∴a=52．
②当PA＝AB时，
∴(a−4)2+(3a2−6)2=3，
化简得13a2﹣136a+172＝0，
∴a=52±61313，
③当PB＝AB时，
∴(a−1)2+(3a2−6)2=3，
化简得13a2﹣80a+112＝0，
∴a1＝4，a2=2813，
∵a＝4时P与A重合，故舍去．
综上，P点的横坐标为52或52±61313或2813．
17．（2021•南皮县一模）如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为射线AO上的一点（点P不与点A重合），BC是△ABP的中线，点C，C′关于BP对称，设点P的横坐标为m．
（1）求点A，B的坐标，若∠APB＝45°，求PB所在直线的解析式；
（2）若BC＝BA，求m的值；
（3）若点C′在x轴下方，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）根据直线y＝﹣2x+4可得点A，B的坐标，由∠APB＝45°得OP＝OB＝4，则P（﹣4，0），利用待定系数法可得PB所在直线的解析式；
（2）根据等腰三角形的性质得CO＝OA＝2，由中点的定义得PC＝AC＝4，则OP＝OC+PC＝2+4＝6，即可得m的值；
（3）当点P在x轴负半轴上时．点C′在x轴上方；点P与原点O重合时．点C′在x轴上，点P在点O，A之间时，点C在x轴下方．即可写出m的取值范围．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣2x+4，得到y＝4．把y＝0代人y＝﹣2x+4，得x＝2．
∴A（2，0），B（0，4），
若∠APB＝45°，则点P在轴的负半轴上，且OP＝OB＝4．
∴P（﹣4，0），
设PB所在直线的解析式y＝kx+b，
∴−4k+b=0b=4，解得k=1b=4．
∴PB所在直线的解析式为y＝x+4；

（2）若BC＝BA，
∵BO⊥CA，
∴CO＝OA，
∵A（2，0），
∴C（﹣2，0），
∴AC＝4，CO＝OA＝2，
∵BC是△ABP的中线，
∴PC＝AC＝4，
∴OP＝OC+PC＝2+4＝6，
∴点P（﹣6，0），
∴m＝﹣6；

（3）0＜m＜2．
理由：当点P在x轴负半轴上时．点C′在x轴上方；点P与原点O重合时．点C′在x轴上，点P在点O，A之间时，点C在x轴下方．
∴0＜m＜2．
18．（2021•河北模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+3的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，E（1，1）为平面内一点．
（1）点E是否在一次函数y＝﹣2x+3的图象上？说明理由；
（2）一次函数y=−13x+b的图象经过E点，与x轴交于C点．
①求BC的长；
②正比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝﹣2x+3的图象交于P点，点O，P到一次函数y=−13x+b的图象的距离相等，直接写出符合条件的k值．

【分析】（1）将点E坐标代入解析式可求解；
（2）①分别求出点B，点C坐标，由勾股定理可求解；
②分两种情况讨论，全等三角形的性质和平行线的性质可求解．
【解答】解：（1）在，
理由如下：∵当x＝1时，y＝﹣2×1+3＝1，
∴点E在一次函数y＝﹣2x+3的图象上；
（2）①∵一次函数y=−13x+b的图象经过E点，
∴1=−13+b，
∴b=43，
∴y=−13x+43，
当y＝0时，x＝4，
∴点C（4，0），
∴OC＝4，
∵一次函数y＝﹣2x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A（32，0），点B（0，3），
∴OB＝3，OA=32，
∴BC=OB2+OC2=16+9=5；
②当点O，点P在直线CE的同侧时，∵O、P到一次函数y=−13x+43的图象的距离相等，
∴OP与直线y=−13x+43平行，
∴k=−13，
当点O，点P在直线CE的异侧时，过点O作OH⊥CE于H，过点P作PQ⊥CE于Q，直线y＝kx交CE于F，

∵O、P到一次函数y=−13x+43的图象的距离相等，
∴OH＝PQ，
又∵∠PFQ＝∠OFH，∠PQF＝∠OHF，
∴△PQF≌△OHF（AAS），
∴PF＝OF，
∵直线y＝kx的图象与直线y＝﹣2x+3的图象交于P点，
∴y=kxy=−2x+3，
∴x=3k+2y=3kk+2，
∴点P（3k+2，3kk+2），
∴点F坐标为（32(k+2)，3k2(k+2)），
∵点F在一次函数y=−13x+43上，
∴3k2(k+2)=−13×32(k+2)+43，
∴k＝13，
综上所述：k=−13或13．