考点15 多边形与平行四边形（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版）

考点15 多边形与平行四边形

考点总结

一、多边形

1．多边形的相关概念

1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．

2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为．

2．多边形的内角和、外角和

1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；2）外角和：任意多边形的外角和为360°.

3．正多边形

1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.

2）正n边形的每个内角为，每一个外角为．

3）正n边形有n条对称轴.

4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．

二、平行四边形的性质

1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.

2．平行四边形的性质

1）边：两组对边分别平行且相等．2）角：对角相等，邻角互补．3）对角线：互相平分．

4）对称性：中心对称但不是轴对称．

3．注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：

1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．

2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．

3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．

4．平行四边形中的几个解题模型

1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．

2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；

两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；

根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．

3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.

4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．

三、平行四边形的判定

1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

四、三角形的中位线

1）定义：三角形两边中点的连线叫中位线。

2）性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•高阳县模拟）小刚设计了用n个完全相同的△ABC纸片（如图1）拼接正多边形的游戏，用6个△ABC纸片按照图2所示的方法拼接起来，能够围成正六边形．如果用若干个△ABC纸片按照图3所示的方法拼接起来，那么能够围成的正多边形为（　　）

A．正六边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形

【分析】先根据正六边形计算一个内角为120度，可知△ABC各角的度数，再根据图3中正多边形的内角的度数，可得结论．

【解答】解：∵正六边形每一个内角为120°，

∴∠ACB＝120°﹣80°＝40°，

∴∠CAB＝180°﹣120°＝60°，

∴图2中正多边形的每一个内角为60°+80°＝140°，

∵9，

∴可以得到外轮廓的图案是正九边形．

故选：C．

2．（2021•路南区一模）如图，在正六边形ABCDEF内作正方形BCGH，连接AH，则∠HAB等于（　　）

A．75° B．60° C．55° D．45°

【分析】正六边形的每个内角为120°，即可求∠ABC，正方形每个内角为90°，即可求∠HBC，进而求∠ABH的大小，根据BA＝BH即可求∠HAB的度数．

【解答】解：正六边形的每个内角为120°，正方形每个内角为90°，

∴∠ABC＝120°，∠HBC＝90°，

∴∠ABH＝30°，

又∵BA＝BH，

∴∠HAB75°，

故选：A．

3．（2021•路南区二模）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个图形是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．

【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，

∴内角和是720度，

720÷180+2＝6（边），

∴这个多边形的边数为6．

故选：D．

4．（2021•张家口一模）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝（　　）

A．60° B．28° C．54° D．72°

【分析】先求出正五边形每一个内角的度数等于108°，根据平行线的性质求出∠BED＝90°，从而得到∠AEB＝108°﹣90°＝18°．根据三角形内角和等于180°求出∠ABE的度数，最后“根据两直线平行，同位角相等“即可求出答案．

【解答】解：如图，

∵正五边形内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，

∴∠A＝∠AED＝540°÷5＝108°，

∵BE∥CD，

∴∠BED＝180°﹣90°＝90°，

∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝108°﹣90°＝18°．

在△ABE中∠ABE＝180°﹣∠A﹣∠AEB＝180°﹣108°﹣18°＝54°，

∵BE∥CD，

∴∠α＝∠ABE＝54°．

故选：C．

5．（2021•桥西区模拟）如图，正五边形ABCDE，DG平分正五边形的外角∠EDF，连接BD，则∠BDG＝（　　）

A．144° B．120° C．114° D．108°

【分析】根据正五边形的外角公式可得∠EDF，易得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．

【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠EDF＝360°÷5＝72°，∠CDE＝∠C＝180°﹣72°＝108°，BC＝DC，

∴∠BDC36°，

∴∠BDE＝108°﹣∠BDC＝108°﹣36°＝72°，

∵DG平分正五边形的外角∠EDF，

∴∠EDG36°，

∴∠BDG＝∠BDE+∠EDG＝72°+36°＝108°，

故选：D．

6．（2021•迁西县模拟）下面的多边形中，内角和与外角和相等的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．

【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得

（n﹣2）•180°＝360°，

解得n＝4．

故选：B．

7．（2021•路北区二模）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（　　）个五边形．

A．6 B．7 C．8 D．9

【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．

【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，

所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，

如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，

360°÷36°＝10，

∵已经有3个五边形，

∴10﹣3＝7，

即完成这一圆环还需7个五边形．

故选：B．

8．（2020•宜昌）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（　　）

A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 

B．每段直路要短 

C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 

D．每段直路要长

【分析】根据题意可得行走路线是正五边形，再根据正五边形的每个外角等于72度即可判断．

【解答】解：∵从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，

∴72°，

∴每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走．

故选：A．

9．（2020•北京）正五边形的外角和为（　　）

A．180° B．360° C．540° D．720°

【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．

【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，

故正五边形的外角和的度数为360°．

故选：B．

10．（2021•遵化市一模）平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（　　）

A．（﹣2，l ） B．（﹣2，﹣l ） C．（﹣1，﹣2 ） D．（﹣1，2 ）

【分析】由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．

【解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），

∴点A和点C关于原点对称，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴D和B关于原点对称，

∵B（2，﹣1），

∴点D的坐标是（﹣2，1）．

故选：A．

二．填空题（共5小题）

11．（2018•高碑店市一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝5，∠B＝30°，点P，Q分别是边AB，AC上的点．BP＝2AQ，PD⊥BC于点D．当PQ⊥DQ时，AQ＝　4　．

【分析】设AQ＝x，依据PDBP＝AQ，PD∥AQ，判定四边形PAQD是平行四边形，再根据∠AQP＝30°，即可得出AQ＝2AP，进而得到方程x＝2（10﹣2x），解方程即可得出结论．

【解答】解：设AQ＝x，

∵PD⊥BC，∠B＝30°，BP＝2AQ＝2x，

∴Rt△BDP中，PDBP＝AQ，

∵∠C＝∠BDP＝90°，

∴PD∥AQ，

∴四边形PAQD是平行四边形，

当PQ⊥DQ时，∠APQ＝90°，

又∵∠A＝60°，

∴∠AQP＝30°，

∴AQ＝2AP，

即x＝2（10﹣2x），

解得x＝4，

∴AQ＝4，

故答案为：4．

12．（2021•顺平县二模）如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则α的最大值为 　36°　．

【分析】根据图中的信息可知机器人走过的路线是正多边形，要使机器人行走的路程不小于10m，则正多边形的边数最少为10，再用外角和的度数除以10即可得出α的范围．

【解答】解：根据题意得，机器人走过的路线是正多边形，每个外角都等于α，

∵要使机器人行走的路程不小于10m，

∴正多边形边数最少为10，

360°÷10＝36°，

则a≤36°，

13．（2021•古冶区一模）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠CAB＝　117　°．

【分析】根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义可得结论．

【解答】解：由题意得：正八边形的每个内角都为：135°，正五边形的每个内角都为：108°，

故∠CAB＝360°﹣135°﹣108°＝117°，

故答案为：117．

14．（2021•新华区校级模拟）如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠1的度数是　84°　．

【分析】利用正多边形的外角公式可得∠3，∠4，再根据三角形内角和为180°，求出∠2，即可求出∠1解决问题．

【解答】解：如图，

由题意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°，

则∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°，

所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°

故答案为84°．

15．（2021•河北模拟）如图，已知正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝　54　度．

【分析】根据正五边形的轴对称性以及多边形的外角和等于360度解答即可．

【解答】解：如图：

由正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，可得∠DPG＝90°，

∴∠G+∠EDG＝90°，

∵∠EDF72°，DG平分正五边形的外角∠EDF，

∴∠EDG∠EDF＝36°，

∴∠G＝90°﹣∠EDG＝54°．

故答案为：54．

三．解答题（共3小题）

16．（2020•曲阳县模拟）如图，平行四边形ABCD内一点E，满足ED⊥AD于D，延长DE交BC于F，且∠EBC＝∠EDC，∠ECB＝45°，找出图中一条与EB相等的线段，并加以证明．

【分析】延长DE，交BC于F，由平行四边形的性质可得到∠BFE＝∠DFC＝90°，由已知可推EF＝FC，已知∠EBC＝∠EDC，则可以利用AAS来判定△BEF≌△DCF，从而得到CD＝BE．

【解答】解：CD＝BE．

证明：如图，延长DE交BC于F，

∵AD∥BC，ED⊥AD，

∴DF⊥BC，

∴∠BFE＝∠DFC＝90°，

又∵∠ECB＝45°，

∴∠FEC＝∠ECB＝45°，

∴FE＝FC，

∵∠EBC＝∠EDC，

∴△BEF≌△DCF（AAS），

∴CD＝BE．

17．（2020•邢台模拟）已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于M，连接BM．

（1）求证：△BAD≌△CAE；

（2）若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数；

（3）求证：四边形MBDE是平行四边形．

【分析】（1）证明∠BAC＝∠DAE，得出∠BAD＝∠CAE，由SAS即可得出结论；

（2）求出∠ACB＝∠ACE＝30°，由平行线的性质得出∠MEC+∠ECD＝180°，即可得出结果；

（3）由△BAD≌△CAE，得出DB＝CE，再证明∠ACE＝∠EMC，得出ME＝EC，推出DB＝ME，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，

∵以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，

∴AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED，

∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE，

∵∠ADE＝∠ABC，

∴∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE（SAS）；

（2）解：∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC＝30°，

∵△BAD≌△CAE，

∴∠ABD＝∠ACE＝30°，

∴∠ACB＝∠ACE＝30°，

∴∠ECB＝∠ACB+∠ACE＝60°，

∵EM∥BC，

∴∠MEC+∠ECD＝180°，

∴∠MEC＝180°﹣60°＝120°；

（3）证明：∵△BAD≌△CAE，

∴DB＝CE，∠ABD＝∠ACE，

∵AB＝AC，

∴∠ABD＝∠ACB，

∴∠ACB＝∠ACE，

∵EM∥BC，

∴∠EMC＝∠ACB，

∴∠ACE＝∠EMC，

∴ME＝EC，

∴DB＝ME，

又∵EM∥BD，

∴四边形MBDE是平行四边形．

18．（2007•泉州）已知正n边形的周长为60，边长为a

（1）当n＝3时，请直接写出a的值；

（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．

【分析】（1）边长＝周长÷边数；

（2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值．

【解答】解：（1）a＝20；

（2）此说法不正确．

理由如下：尽管当n＝3、20、120时，a＞b或a＜b，

但可令a＝b，得，即．

∴60n+420＝67n，

解得n＝60，

经检验n＝60是方程的根．

∴当n＝60时，a＝b，即不符合这一说法的n的值为60．