考点24 概率（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版）

考点24 概率

考点总结

一、事件的分类

1．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1．

2．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0．

3．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间．

二、概率的计算

1．公式法：P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．

2．列举法

1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．

2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．

三、利用频率估计概率

1．定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．

2．适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．

3．方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．

四、概率的应用：概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策．

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•河北模拟）下列说法不正确的是（　　）

A．“长度分别是4，6，9的三条线段能围成一个三角形”属于必然事件 

B．“旭日东升”属于随机事件 

C．一枚质地均匀的正方体骰子，任意掷一次，1～6点数朝上的可能性相同 

D．在只装有3个白球和2个黑球的布袋中，摸到白球的可能性比摸到黑球的大

【分析】根据必然事件、随机事件及可能性的大小逐一判断即可．

【解答】解：A．“长度分别是4，6，9的三条线段能围成一个三角形”属于必然事件，正确，不符合题意；

B．“旭日东升”属于必然事件，原叙述错误，符合题意；

C．一枚质地均匀的正方体骰子，任意掷一次，1～6点数朝上的可能性相同，正确，不符合题意；

D．在只装有3个白球和2个黑球的布袋中，白球个数比黑球个数多，所以摸到白球的可能性比摸到黑球的大，正确，不符合题意；

故选：B．

2．（2021•河北一模）育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基本情况相同的条件下，得到如下数据：

则a的值最有可能是（　　）

A．3680 B．3720 C．3880 D．3960

【分析】根据5次测试从100粒增加到3000粒时，测试某品种小麦发芽情况的频率趋近于0.97，从而求得答案．

【解答】解：∵95÷100＝0.95，486÷500＝0.972，968÷1000＝0.968，1940÷2000＝0.97，2907÷3000＝0.969，

∴可估计某品种小麦发芽情况的概率为0.97，

而3680÷4000＝0.92，3720÷4000＝0.93，3880÷4000＝0.97，3960÷4000＝0.99．

故选：C．

3．（2021•路南区一模）下列说法正确的是（　　）

A．调查某班学生的身高情况，适宜采用抽样调查 

B．“若m，n互为倒数，则mn＝1”，这一事件是必然事件 

C．小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1 

D．“1、3、2、1的众数一定是2”，这一事件是随机事件

【分析】利用调查的方式、随机事件、概率公式等知识分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查，故错误；

B、“若m、n互为倒数，则mn＝1”，这一事件是必然事件，故正确；

C、小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是，故错误；

D、“1，3，2，1的众数一定是1”，这一事件是必然事件，故错误，

故选：B．

4．（2021•滦南县二模）下列说法正确的是（　　）

A．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝0.1，S乙2＝0.04，则甲组数据较稳定 

B．明天降雨的概率是“80%”表示明天有80%的时间降雨 

C．一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3 

D．小明买体育彩票中一等奖是必然事件

【分析】利用概率的意义，全面调查与抽样调查，中位数，众数，以及方差的定义判断即可．

【解答】解：A、若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝0.1，S乙2＝0.04，则乙组数据较稳定，故本选项不符合题意；

B、“明天降雨的概率是80%”表示明天降雨的可能性大，但不一定是明天有80%的时间降雨，故本选项不符合题意；

C、一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3，正确，故本选项符合题意；

D、小明买体育彩票中一等奖是随机事件，故本选项不符合题意；

故选：C．

5．（2021•海港区模拟）如图，是两个圆形转盘，同时旋转两个转盘，两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率是（　　）

A． B． C． D．

【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，再从中找出两个转盘的指针都不落在“1”区域的结果情况，进而求出相应的概率．

【解答】解：用列表法表示所有空白出现的结果情况如下：

共有8种能可能出现的结果，其中两个转盘的指针都不落在“1”区域的有3种，

所以两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率为，

故选：C．

6．（2021•迁西县模拟）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白砖上的概率（　　）

A． B． C． D．1

【分析】根据几何概率的求法：最终停留在白色的方砖上的概率就是白色区域的面积与总面积的比值．

【解答】解：观察这个图可知：白色区域（5块）的面积占总面积（9块）的，

则它最终停留在黑砖上的概率是．

故选：C．

7．（2021•衡水模拟）如图，转盘中点A，B，C在圆上，∠CAB＝40°，∠ABC＝60°，让转盘绕圆心O自由转动，连接OA，OB，OC，△ABC把转盘分成三个区域，当转盘停止时指针指向区域Ⅲ的概率是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据三角形内角和求出∠ACB＝80°，根据圆周角定理可求∠AOB＝160°，再根据概率公式即可求解求解．

【解答】解：∵∠CAB＝40°，∠ABC＝60°，

∴∠ACB＝180°﹣40°﹣60°＝80°，

∴∠AOB＝160°，

∴当转盘停止时指针指向区域Ⅲ的概率是＝．

故选：C．

8．（2021•衡水模拟）一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个红球和m个黄球，随机从袋中摸出个球记录下颜色，再放回袋中摇匀大量重复试验后，发现摸出红球的频率稳定在0.2附近，则m的值为（　　）

A．8 B．10 C．6 D．4

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【解答】解：依题意有：＝0.2，

解得：m＝8，

经检验m＝8是原方程的解．

故选：A．

9．（2021•衡水模拟）下列事件属于确定事件的为（　　）

A．氧化物中一定含有氧元素 

B．弦相等，则所对的圆周角也相等 

C．戴了口罩一定不会感染新冠肺炎 

D．物体不受任何力的时候保持静止状态

【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．

【解答】解：A、氧化物中一定含有氧元素是确定事件，故本选项正确；

B、在同圆或等圆中，弦相等所对的圆周角相等或互补，属于不确定事件，故本选项错误；

C、戴了口罩不一定不会感染新冠肺炎，属于不确定事件，故本选项错误；

D，物体不受任何力的作用时，物体可以处于静止也可以做匀速直线运动，属于不确定事件，故本选项错误

.故选：A．

10．（2021•石家庄模拟）下列事件中，属于不可能事件的是（　　）

A．射击运动员射击一次，命中9环 

B．某种彩票中奖率为10%，买10张有1张中奖 

C．今天是星期六，明天就是星期一 

D．在只装有10个红球的布袋中摸出1个球，这个球一定是红球

【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分析得出答案．

【解答】解：A、射击运动员射击一次，命中9环，是随机事件，不合题意；

B、某种彩票中奖率为10%，买10张有1张中奖，是随机事件，不合题意；

C、今天是星期六，明天就是星期一，是不可能事件，符合题意；

D、在只装有10个红球的布袋中摸出1个球，这个球一定是红球，是必然事件，不合题意．

故选：C．

二．填空题（共4小题）

11．（2020•河北区二模）在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是　　．

【分析】由在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，直接利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：∵在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，

∴现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是：＝．

故答案为：．

12．（2019•娄底）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是　　．

【分析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率．

【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：

∴能让灯泡发光的概率：P＝，

故答案为：．

13．（2007•嘉兴）三名同学同一天生日，她们做了一个游戏：买来3张相同的贺卡，各自在其中一张内写上祝福的话，然后放在一起，每人随机拿一张．则她们拿到的贺卡都不是自己所写的概率是　　．

【分析】三个人抽贺卡的情况有6种，抽到不是自己的情况有两种，用2除以6即可得出概率的值．

【解答】解：第一个同学的贺卡为A，第二个同学的贺卡为B，第三个同学的贺卡为C，

共有（A，B，C）、（A，C，B）、（B，A，C）、（B，C，A）、（C，A，B）、（C，B，A），6种情况，

她们拿到的贺卡都不是自己的有：（B，C，A）、（C，A，B），共2种，

故她们拿到的贺卡都不是自己所写的概率＝＝

故答案为：．

14．（2007•河北）图中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为　　．

【分析】根据题意分析可得：共6个数字，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为＝．

【解答】解：P（中奖）＝＝．

故本题答案为：．

三．解答题（共3小题）

15．（2021•龙港区一模）我市各学校积极响应上级“停课不停教、停课不停学”的要求，开展了空中在线教学．某校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常满意；B．很满意；C．一般；D．不满意．将收集到的信息进行了统计，绘制成如下不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题．

频数分布统计表

（1）接受问卷调查的学生共有　300　人；m＝　120　，n＝　0.2　；

（2）补全条形统计图；

（3）若该学校共有学生3000人，请你根据上述调查结果，估计该校对“网络直播课”满意度为A类和B类的学生共有多少人；

（4）为改进教学，学校决定从选填结果是D类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名学生参与网络座谈会，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率．

【分析】（1）用C类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用总人数乘以0.4得到m的值，由A类的人数即可求出n的值；

（2）由（1）可知m的值，进而补全条形统计图即可；

（3）求出满意度为A类和B类的共占的百分比即可估计该校对“网络直播课”满意度为A类和B类的学生数；

（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出甲、乙两名学生同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有90÷0.3＝300（人），m＝300×0.4＝120（人），60÷300＝0.2，

故答案为：300，120，0.2；

（2）补全条形统计图如下：

（3）3000×（0.2+0.4）＝1800（人），

答：估计该校对“网络直播课”满意度为A类和B类的学生共有1800人；

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中甲、乙两名学生同时被选中的结果数为2，

所以甲、乙两名学生同时被选中的概率＝＝．

16．（2021•饶平县校级模拟）我市要开展“不忘初心，牢记使命”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的50名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数）分成五组，并绘制了不完整的统计图表．

（1）表中n＝　0.32　，并在图中补全频数分布直方图．

（2）甲同学的比赛成绩是50位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在　81.5～87.5　分数段内；

（3）选拔赛时，成绩在93.5～99.5的三位选手中，男生2人，女生1人，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．

【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求出m、n的值，从而补全图形；

（2）根据中位数的概念求解可得；

（3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．

【解答】解：（1）n＝16÷50＝0.32，m＝50×0.16＝8，

补全图形如下：

（2）由于共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，

而第20、21个数据都落在81.5～87.5内，

∴推测他的成绩落在81.5～87.5分数段内，

故答案为：81.5～87.5．

（3）画树状图：

共有6种结果，其中一男一女的结果有4种，

∴恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．

17．（2021•克什克腾旗二模）文具店有三种品牌的6个笔记本，价格是4，5，7（单位：元）三种，从中随机拿出一个本，已知P（一次拿到7元本）＝．

（1）求这6个本价格的众数．

（2）若琪琪已拿走一个7元本，嘉嘉准备从剩余5个本中随机拿一个本．

①所剩的5个本价格的中位数与原来6个本价格的中位数是否相同？并简要说明理由；

②嘉嘉先随机拿出一个本后不放回，之后又随机从剩余的本中拿一个本，用列表法求嘉嘉两次都拿到7元本的概率．

【分析】（1）根据6个笔记本，价格是4，5，7（单位：元）三种，从中随机拿出一个本，P（一次拿到7元本）＝．可求出单价为7元的笔记本的本数，进而得出众数；

（2）①求出原来6本价格、后来5本价格的中位数，进行判断即可；

②用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．

【解答】解：（1）6×＝4本，因此单价为7元有4本，

这6本的价格为4元、5元、7元、7元、7元、7元、7元，

因此这6个本价格的众数是7元．

（2）①相同；

原来6本价格为：4元、5元、7元、7元、7元、7元，价格的中位数是＝7元，

后来5本价格为：4元、5元、7元、7元、7元价格的中位数是7元，

因此相同；

②用列表法列举出所有等可能出现的情况如下：

共有20种等可能的情况，其中两次都是7的有6种，

∴P（两次都为7）＝＝．