考点16相似三角形（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版）

这是一份考点16相似三角形（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版），共21页。试卷主要包含了比和比例的有关概念等内容，欢迎下载使用。

考点16相似三角形
考点总结
1、比和比例的有关概念：
（1）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.
（2）第四比例项：若或a:b=c:d，那么d叫作a、b、c的第四比例项.
（3）比例中项：若或a:b=b:c，b叫作a，c的比例中项.
（4）黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）是原线段AB与较短线段（BC）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即AC2=AB·BC，AC=；一条线段的黄金分割点有两个.
2.比例的基本性质及定理
（1）
（2）
（3）
3.平行线分线段成比例定理
(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；
(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；
(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．
4.相似三角形.
相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形
相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．
5．相似三角形的判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；
(2)两角对应相等，两三角形相似；
(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
(4)三边对应成比例，两三角形相似；
(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；
(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．
6．相似三角形性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
7．相似多边形的性质
(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
8．位似图形
(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．
(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

真题演练
一．选择题（共10小题）
1．（2021•连云港）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD=47AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（　　）

A．3314 B．9314 C．337 D．637
【分析】过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，可得△ABD∽△CED，可得ADCD=ABCE=BDDE，由AD=47AC，AB＝2，可求出CE的长，又∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，则∠CBD＝60°，解直角△BCE，可分别求出BE和BD的长，进而可求出△BCD的面积．
【解答】解：如图，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，

则∠E＝90°，
∵BD⊥AB，CE⊥BD，
∴AB∥CE，∠ABD＝90°，
∴△ABD∽△CED，
∴ADCD=ABCE=BDDE，
∵AD=47AC，
∴ADCD=43，
∴ABCE=2CE=43=BDDE，则CE=32，
∵∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，
∴∠CBE＝60°，
∴BE=33CE=32，
∴BD=47BE=237，
∴S△BCD=12•BD•CE=12×32×237=3314．
故选：A．
2．（2021•邗江区一模）△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则四边形DECB与△ABC的面积之比是（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．3：4
【分析】由已知得△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，可得S△ADES△ABC=14，即知S四边形DECBS△ABC=34．
【解答】解：如图：

∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴ADAB=AEAC=12，
又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=（ADAB）2=14，
∴S四边形DECBS△ABC=34，
故选：D．
3．（2021•武进区校级模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，ADAB=13，则下列结论中正确的是（　　）

A．AEBC=13 B．DEBC=12
C．C△ADEC△ABC=13 D．S△ADES△ABC=13
【分析】根据ADAB=13，求得ADBD=12，由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得到AECE=ADBD=12，根据相似三角形的性质得到结论．
【解答】解：∵ADAB=13，
∴ADBD=12，
∵DE∥BC，
∴AECE=ADBD=12，△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=13，故B错误；
C△ADEC△ABC=ADAB=13，故C正确；
S△ADES△ABC=(ADAB)2=19，故D错误；
已有的条件不能说明AEBC=13，故A错误．
故选：C．
4．（2021•句容市模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣12，0），点B（0，4），点D（﹣4，0），以点A为圆心，4个单位长度为半径作圆，点C是⊙A上的一个动点，则BC+12CD的最小值为（　　）

A．229 B．429 C．25 D．45
【分析】在AD截取AE＝2，连接CE，可证△ACE∽△ADC，进而得BC+12CD＝BC+CE，进而求得．
【解答】解：如图，

在AD截取AE＝2，连接CE，
∵AEAC=ACAD=12，
又∠CAD为公共角，
∴△ACE∽△ADC，
∴CECD=ACAD=12，
∴CE=12CD，
∴BC+12CD＝BC+CE，
∴当B、C、E共线时，BC+12CD最小＝BE，
∵OB＝4，OE＝10，
∴BE=OB2+OE2=229，
∴BC+12CD的最小值＝229，
故选：A．
5．（2021•江阴市模拟）如图是由一些边长为1的等边三角形组成的网格，其中A、B、D、E均是等边三角形的顶点，延长AB交DE于点C，则DCCE的值为（　　）

A．33 B．32 C．22 D．12
【分析】证明△CBE∽△BAF，根据相似三角形的性质求得CE=23，即可求得CD=13，即比值可求．
【解答】解：如图，由题意知，BE∥AF，
∴∠CBE＝∠BAF，
∵∠CEB＝∠BFA＝60°，
∴△CBE∽△BAF，
∴CEBF=BEAF，
即CE1=23，
∴CE=23，
∴CD＝DE﹣CE＝1−23=13，
∴DCCE=1323=12，
故选：D．

6．（2021•滨湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由旋转性质证明△ABD∽△ACE即可判断①；由△ABD∽△ACE，可得∠DBA＝∠ECA，∠OGB＝∠CGA，进而∠BOC＝∠BAC＝45°即可判断②；证明△ABD为等腰三角形即可判断③；通过A、C、B、F四点共圆，当O、G、C三点一线且垂直AC通过圆心的时候，可得△AOC的高最大，从而△AOC的面积最大，进而判断④．
【解答】解：由旋转性质可知，AC＝BC＝AE＝DE＝4，AB＝AD＝42，
∴ABAC=ADAE=2．
∵∠DAE＝∠CAB＝45°，
∴∠DAE+∠EAB＝∠CAB+∠EAB，即∠DAB＝∠EAC．
故△ABD∽△ACE，故①正确；
设AB、CE交于点G，如图．

由△ABD∽△ACE，可得∠DBA＝∠ECA，
又∠EGB＝∠CGA，
∴∠BOC＝∠BAC＝45°，
∴∠COD＝135°，故②正确；
由∠BOC＝∠BAC＝45°，可知A、C、B、O四点共圆，
由圆内接四边形性质知∠BOA+∠BCA＝180°，
则∠BOA＝90°，即AO⊥BD．
故③正确；
以AC作△AOC底边，则O到AC距离为高，设高为h，
当h最大时，△AOC面积才最大．
∵A、C、B、O四点共圆，且∠BCA＝90°，
故AB为此圆直径，当h垂直AC通过圆心的时候，h最大，
此时h＝22+2，
故△AOC的面积最大值为12×4×h＝42+4，
故④错误．
故正确的一共有3个，
故选：C．
7．（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，BDCD=13，F是AD的中点，连接BF并延长交AC于E，则AEEC的值是（　　）

A．14 B．15 C．25 D．13
【分析】过D点作DH∥BE交AC于H，如图，根据平行线分线段成比例定理，先利用FE∥DH得到AEEH=AFFD=1，即AE＝EH，再由DH∥BE，EHHC=BDDC=13，则CE＝4AE，从而得到AEEC的值．
【解答】解：过D点作DH∥BE交AC于H，如图，
∵F点为AD的中点，
∴AF＝FD，
∵FE∥DH，
∴AEEH=AFFD=1，即AE＝EH，
∵DH∥BE，
∴EHHC=BDDC=13，CH＝3EH，
∴AEEC=14．
故选：A．

8．（2021•罗湖区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD上，且∠BEF＝90°，EF=12BE，DF=345，则tan∠DEF的值为（　　）

A．38 B．916 C．34 D．55
【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，由已知可得△BCE∽△EGF，FG=12EC，GE＝2＝CD，设EC＝x，Rt△FDG中用勾股定理列方程求出x，即可得到答案．
【解答】解：过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，如图：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，
∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，
∴△BCE∽△EGF，
∴FGEC=GECB=EFBE，∠EBC＝∠DEF，
∵EF=12BE，
∴FGEC=GE4=12，
∴FG=12EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，
设EC＝x，则DG＝x，FG=12x，
Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，DF=345，
∴（12x）2+x2＝（345）2，
解得x=32或x=−32（舍去），
∴EC=32，
Rt△ECB中，tan∠EBC=ECBC=38，
∴tan∠DEF=38，
故选：A．
9．（2021•天宁区校级一模）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB=∠GAD；②△AFC∽△AGD；③2AE2＝AH•AC；④DG⊥AC．其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由正方形ABCD与正方形AEFG，得到∠EAG＝∠BAD＝90°，根据等式的基本性质确定出∠EAB＝∠GAD；
②再根据正方形的对角线等于边长的2倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断；
③根据两角相等的两个三角形相似得到三角形HAF与三角形ACF相似，相似得比例，根据AF=2AE，代换即可作出判断；
④由相似三角形对应角相等得到∠ADG＝∠ACF＝45°，可得出DG在正方形ABCD对角线BD上，根据正方形对角线垂直即可作出判断．
【解答】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°，
又∵∠EAB＝90°﹣∠BAG，∠GAD＝90°﹣∠BAG，
∴∠EAB＝∠GAD，
∴选项①正确；
②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，
∴AD＝DC，AG＝FG，
∴AC=2AD，AF=2AG，
∴ACAD=2，AFAG=2，即ACAD=AFAG，
又∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△AFC∽△AGD，
∴选项②正确；
③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线，
∴∠AFH＝∠ACF＝45°，
又∵∠FAH＝∠CAF，
∴△HAF∽△FAC，
∴AFAH=ACAF，即AF2＝AC•AH，
又∵AF=2AE，
∴2AE2＝AH•AC，
∴选项③正确；
④由②知△AFC∽△AGD，
又∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，
∴∠ADG＝∠ACF＝45°，
∴DG在正方形另外一条对角线上，
∴DG⊥AC，
∴④正确，
故选：D．
10．（2021•玄武区一模）如图，在△ABC中，P是AB边上一点，在AC边上求作一点Q，使得△AQP∽△ABC．
甲的作法：过点P作PQ∥BC，交AC于点Q，则点Q即为所求．
乙的作法：经过点P，B，C作⊙O，交AC于点Q，则点Q即为所求．
对于甲、乙的作法，下列判断正确的是（　　）

A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误
C．甲、乙都错误 D．甲、乙都正确
【分析】根据相似三角形的判定解决问题即可．
【解答】解：乙的作法正确．

理由：∵B，C，Q，P四点共圆，
∴∠B+∠CQP＝180°，
∵∠AQP+∠CQP＝180°，
∴∠AQP＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△AQP∽△ABC．
甲的作法，无法证明∠AQP＝∠B，故甲的作法错误．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•镇江）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若AMAN=12，则S△ADES△ABC=　14　．

【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出DEBC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AMAN=12，
∴S△ADES△ABC=（DEBC）2=14，
故答案为：14．
12．（2021•徐州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且ADDB=CEEB=32，△DBE与四边形ADEC的面积的比 　421　．

【分析】先由ADDB=CEEB=32，设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，证明BDAB=EBBC=25，又∠B＝∠B，可证明△DBE∽△ABC．进而可得相似比为25，面积比S△DBES△ABC=(25)2=425，从而可得S△DBE：S四边形ADEC＝4：21．
【解答】解：∵ADDB=CEEB=32，则设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，
∴BDAB=2m2m+3m=25，EBBC=2k2k+3k=25，
∴BDAB=EBBC=25，
又∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ABC．
相似比为25，面积比S△DBES△ABC=(25)2=425，
设S△DBE＝4a，则S△ABC＝25a，
∴S四边形ADEC＝25a﹣4a＝21a，
∴S△DBE：S四边形ADEC=421．
故答案为：421．
13．（2021•常州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝　1010　．

【分析】连接AF，过点F作FG⊥AB于G，由四边形CDFE是边长为1的正方形可得AD＝2，BE＝3，根据勾股定理求出AB＝5，AF=5，BF=10，设BG＝x，利用勾股定理求出x＝3，可得FG＝1，即可得sin∠FBA的值．
【解答】解：连接AF，过点F作FG⊥AB于G，

∵四边形CDFE是边长为1的正方形，
∴CD＝CE＝DF＝EF＝1，∠C＝∠ADF＝90°，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AD＝2，BE＝3，
∴AB=AC2+BC2=5，AF=AD2+DF2=5，BF=BE2+EF2=10，
设BG＝x，
∵FG2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，
∴5﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，解得：x＝3，
∴FG=BF2−BG2=1，
∴sin∠FBA=FGBF=1010．
故答案为：1010．
14．（2021•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 　43　．

【分析】连接DE．首先证明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S△AEF=25S△ABD，求出△ABD面积的最大值即可解决问题．
【解答】解：连接DE．

∵CD＝2BD，CE＝2AE，
∴CDBD=CEAE=2，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴DEBA=CDCB=23，
∴DFAF=DEBA=23，
∵DE∥AB，
∴S△ABE＝S△ABD，
∴S△AEF＝S△BDF，
∴S△AEF=25S△ABD，
∵BD=13BC=53，
∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值=12×53×4=103，
∴△AEF的面积的最大值=25×103=43，
故答案为：43
15．（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则BDDC=　32　．

【分析】过点E作EG∥DC交AD于G，可得△AGE∽△ADC，所以GEDC=AEAC=12，得到DC＝2GE；再根据△GFE∽△DFB，得GEDB=EFBF=13，所以DCDB=23，即BDDC=32．
【解答】解：如图，∵BE是△ABC的中线，
∴点E是AC的中点，
∴AEAC=12，
过点E作EG∥DC交AD于G，
∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，
∴△AGE∽△ADC，
∴GEDC=AEAC=12，
∴DC＝2GE，
∵BF＝3FE，
∴EFBF=13，
∵GE∥BD，
∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，
∴△GFE∽△DFB，
∴GEDB=EFBF=13，
∴DCDB=23，
∴BDDC=32，
故答案为：32．

三．解答题（共3小题）
16．（2021•南通）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？

【分析】根据平行线的判定得到DE∥BC，然后，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=DEBC，
∴11+5=1.5BC，
∴BC＝9（m），
答：楼高BC是9m．
17．（2021•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．

【分析】（1）根据圆周角定理和切线的性质，结合等腰三角形的性质即可证得结论；
（2）由三角形外角的性质求出∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝40°，得到∠AOB＝∠ACD，由圆周角的性质得到∠CDE＝∠BAO，根据相似三角形的判定即可证得△OAB∽△CDE．
【解答】证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBO＝90°，
∴∠PBO﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，
即∠PBA＝∠OBC；
（2）由（1）知，∠PBA＝∠OBC＝∠ACB，
∵∠PBA＝20°，
∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝20°+20°＝40°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠AOB＝∠ACD，
∵BC=BC，
∴∠CDE＝∠CDB＝∠BAC＝∠BAO，
∴△OAB∽△CDE．

18．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝3PA，求ACBC的值．

【分析】（1）由PC2＝PA•PB得PAPC=PCPB，可证得△PAC∽△PCB，根据相似三角形的性质得∠PCA＝∠B，根据圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠CAB+∠B＝90°，由OA＝OC得∠CAB＝∠OCA，等量代换可得∠PCA+∠OCA＝90°，即OC⊥PC，即可得出结论；
（2）由AB＝3PA可得PB＝4PA，OA＝OC＝1.5PA，根据勾股定理求出PC＝2PA，根据相似三角形的性质即可得出ACBC的值．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵PC2＝PA•PB，
∴PAPC=PCPB，
∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴∠PCA＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝3PA，
∴PB＝4PA，OA＝OC＝1.5PA，PO＝2.5PA，
∵OC⊥PC，
∴PC=PO2−OC2=2PA，
∵△PAC∽△PCB，
∴ACBC=PCPB=2PA4PA=12．