考点17解直角三角形（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版）

这是一份考点17解直角三角形（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版），共19页。试卷主要包含了锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形，解直角三角形的应用常用知识等内容，欢迎下载使用。

考点17解直角三角形
考点总结
一、锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b

正弦：sinA＝＝
余弦：cosA＝＝
余切：tanA＝＝
二、特殊角的三角函数值
α
sinα
cosα
tanα
30°



45°


1
60°



三、解直角三角形
解直角三角形的常用关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：
(1)三边关系：a2＋b2＝c2；
(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边与角关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝；
(4)sin2A＋cos2A＝1
四、解直角三角形的应用常用知识
1. 仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角
2.坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα
坡度越大，α角越大，坡面________
3.方向角(或方位角)
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角


真题演练
一．选择题（共10小题）
1．（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC=12，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（　　）

A．25+34 B．25+1 C．25+32 D．25+2
【分析】如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT=5，证明△DAB∽△TAC，推出DBTC=ADAT=25，推出TC＝25，再根据CD≤DT+CT，可得CD≤1+25，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT=5，

∵ADDT=ABBC=2，
∴ADAB=DTBC，
∵∠ADT＝∠ABC＝90°，
∴△ADT∽△ABC，
∴∠DAT＝∠BAC，ADAB=ATAC
∴∠DAB＝∠TAC，
∵ADAT=ABAC，
∴△DAB∽△TAC，
∴DBTC=ADAT=25，
∴TC＝25，
∵CD≤DT+CT，
∴CD≤1+25，
∴CD的最大值为1+25，
故选：B．
2．（2021•海安市模拟）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则cos∠CAB的值是（　　）

A．55 B．255 C．2 D．12
【分析】取格点D，E，连接BD，可得∠ADB＝90°，利用勾股定理求得线段AD，AB，依据余弦的定义 可得结论．
【解答】解：取格点D，E，连接BD，如图，

∵∠CDE＝∠BDE＝45°，
∴∠CDB＝90°．
∵AD=22+22=22，AB=32+12=10，
∴在Rt△ADB中，cos∠CAB=ADAB=2210=255．
故选：B．
3．（2021•通州区模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AC和BD的端点都在网格线的交点上．若AC与BD相交于点E，则tan∠AEB的值为（　　）

A．33 B．12 C．3 D．2
【分析】解法一：由于BF是△AHC的中位线，BF=12CH＝1.5，AF＝FC=12AC＝2.5；利用△BFE∽△DEC，可得BFCD=FECE，设FE＝x，求得CE＝1，FE＝BF，可得∠BEF＝∠FBE，在Rt△BGD中，可求tan∠AEB＝tan∠GBD=24=12．
解法二：取格点F，连接FD，则FD∥AC，利用两直线平行，内错角相等可得∠AEB＝∠FDB，连接FB，利用勾股定理的逆定理可得△DFB为直角三角形，利用直角三角形的边角关系可得结论．
【解答】解法一：设BG与AC交于点F，如图，

∵AB＝BH＝2，BF∥CH，
∴BF是△AHC的中位线．
∴BF=12CH＝1.5，AF＝FC=12AC＝2.5．
∵BF∥CH，
∴△BFE∽△DCE．
∴BFCD=FECE．
设FE＝x，则CE＝2.5﹣x．
∴1.51=x2.5−x．
解得：x＝1.5．
∴BF＝FE＝1.5．
∴∠BEF＝∠FBE．
∴tan∠AEB＝tan∠GBD．
在Rt△BGD中，tan∠GBD=GDGB=24=12．
∴tan∠AEB＝tan∠GBD=12．
故选：B．
解法二：取格点F，连接DF，FB，如图，

∵CD＝AF＝1，CD∥AF，
∴四边形AFDC为平行四边形．
∴AC∥DF，
∴∠AEB＝∠FDB．
∵BF2＝12+22＝5，
BD2＝22+42＝20，
DF2＝32+42＝25，
∴BF2+BD2＝DF2．
∴△BFD为直角三角形，
∴tan∠AEB＝tan∠FDB=BFBD=525=12．
故选：B．
4．（2021•松北区三模）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架32米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（　　）

A．3米 B．3米 C．（3−2）米 D．（3−3）米
【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出EC、EB，根据正切的定义求出DE，结合图形计算得到答案．
【解答】解：在Rt△EBC中，∠BCE＝45°，
∴EC＝EB=22BC=22×32=3（米），
在Rt△BDE中，tan∠BDE=BEDE，
∴DE=BEtan∠BDE=33=3（米），
∴CD＝EC﹣DE＝（3−3）米，
故选：D．
5．（2021•宜兴市模拟）已知cosα=32，且α是锐角，则α＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：∵cosα=32，且α是锐角，
∴α＝30°．
故选：A．
6．（2021•苏州模拟）如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为（　　）

A．35 B．225 C．25 D．55
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以sin∠APC＝sin∠EDC即可得答案．
【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC．
在△DCE中，有EC=22+1=5，DC=42+22=25，DE=32+42=5，
∵EC2+DC2＝DE2，
故△DCE为直角三角形，∠DCE＝90°．
∴sin∠APC＝sin∠EDC=ECDE=55．
故选：D．

7．（2021•滨湖区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，D从A出发沿AC方向以1cm/s向终点C匀速运动，过点D作DE∥AB交BC于点E，过点E作EF⊥BC交AB于点F，当四边形ADEF为菱形时，点D运动的时间为（　　）s．

A．32 B．52 C．127 D．158
【分析】由勾股定理可求AB的长，由锐角三角函数可得DCDE=ACAB，即可求解．
【解答】解：设经过t秒后，四边形ADEF是菱形，
∴AD＝DE＝t，DE∥AB，
∴CD＝（3﹣t）（cm），∠ABC＝DEC，
∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，
∴AB=AC2+BC2=9+16=5（cm），
∵sin∠DEC＝sin∠ABC=DCDE=ACAB，
∴3−tt=35，
∴t=158，
故选：D．
8．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：
（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　）

A．a+btanα B．a+bsinα C．a+btanα D．a+bsinα
【分析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，
∵∠ACF＝α，
∴tanα=AFCF=AFb，
∴AF＝b•tanα，
∴AB＝AF+BF＝a+btanα，
故选：A．

9．（2020•无锡）tan30°的值为（　　）
A．12 B．32 C．33 D．3
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：tan30°=33，
故选：C．
10．（2021•句容市模拟）在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【分析】根据正弦、正切的定义计算，判断即可．
【解答】解：A、sinB=bc，
则b＝csinB，本选项说法错误；
B、b＝csinB，本选项说法正确；
C、tanB=ba，
则b＝atanB，本选项说法错误；
D、b＝atanB，本选项说法错误；
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 　256　海里（结果保留根号）．

【分析】过点P作PC⊥AB，在Rt△APC中由锐角三角函数定义求出PC的长，再在Rt△BPC中由锐角三角函数定义求出PB的长即可．
【解答】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：
由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，
在Rt△APC中，cos∠APC=PCPA，
∴PC＝PA•cos∠APC＝50×32=253（海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC=PCPB，
∴PB=PCcos∠BPC=25322=256（海里），
故答案为：256．

12．（2021•无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 　102　米．
【分析】设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到水平距离为7x米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设上升的高度为x米，
∵上山直道的坡度为1：7，
∴水平距离为7x米，
由勾股定理得：x2+（7x）2＝1002，
解得：x1＝102，x2＝﹣102（舍去），
故答案为：102．
13．（2020•南通）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为　7.5　m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【分析】作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE=AEDE，
∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（m），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（m），
故答案为：7.5m．

14．（2021•镇江一模）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，若S△ACD：S△BCD＝3：2，则cos∠ACB＝　13　．

【分析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，DN⊥AC于N，DM⊥BC于M．欲求cos∠ACB，需求CD：AC．根据角平分线的性质，由CD平分∠ACB，DM⊥BC于M，DN⊥AC于点N，得DM＝DN．由S△BCD=12BC⋅DM，S△ACD=12AC⋅DN，得S△ACD：S△BCD＝AC：BC＝3：2．根据等腰三角形的性质，由AB＝AC，AD⊥BC，得BD＝CD=12BC，那么CD：AC＝1：3，从而解决此题．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，DN⊥AC于N，DM⊥BC于M．

∵CD平分∠ACB，DM⊥BC于M，DN⊥AC于点N，
∴DM＝DN．
∵S△BCD=12BC⋅DM，S△ACD=12AC⋅DN，
∴S△ACD：S△BCD＝AC：BC＝3：2．
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BE＝CE=12BC．
∴CE：AC＝1：3．
∴cos∠ACB=CEAC=13．
故答案为：13．
15．（2021•姑苏区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CD＝CB，sin∠BAD=35，∠BCD＝60°，连接AC，则tan∠ACD＝　6−332　．

【分析】延长AB到E，连接CE，使CE⊥BE，由AB∥CD得出∠BAC＝∠ACD，求出tan∠ACD即可得出答案．
【解答】解：如图，延长AB到E，连接CE，使CE⊥BE，作DF⊥AB于F，

∵∠BCD＝60°，
∴∠EBC＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∵sin∠BAD=35，
∴设AD＝5k，则DF＝CE＝3k，AF＝4k，
又∵∠CBE＝60°，
∴CB=23CE=23k，
∵CD＝CB，
∴CD＝23k，
∴tan∠ACD＝tan∠CAE=CEAE=3k4k+23k=6−332，
故答案为：6−332．
三．解答题（共5小题）
16．（2021•淮安）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

【分析】过A作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，由锐角三角函数定义求出CE和DE的长，然后相加即可．
【解答】解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E．

则AE＝50m，
在Rt△AEC中，CE＝AE•tan28°≈50×0.53＝26.5（m），
在Rt△AED中，DE＝AE•tan40°≈50×0.84＝42（m），
∴CD＝CE+DE≈26.5+42＝68.5（m）．
答：铁塔CD的高度约为68.5m．
17．（2021•泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）

【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系分别求出DE，FG即可．
【解答】解：如图，过点C、B分别作CE⊥DG，BF⊥DG垂足为E、F，延长CB交AG于点H，
由题意可知，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，BC＝EF＝30m，
在Rt△ABH中，∠α＝30°，AB＝50m，
∴BH=12AB＝25（m）＝FG，
在Rt△DCE中，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，
∴DE＝sin∠DCE•CD≈0.33×180＝59.4（m），
∴DG＝DE+EF+FG＝59.4+30+25＝114.4≈114（m），
答：山顶D的高度约为114m．

18．（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．
（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）

【分析】过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，由已知△BCE是等腰直角三角形，设CE＝x，则BE＝x，DE＝（80﹣x）m，在Rt△BDE中，可得x80−x=1.5，解得BE＝CE＝48m，在Rt△ACD中，解得AC＝28m，根据四边形ACEF是矩形，可得AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，BF＝20m，即可在Rt△ABF中，求出AB=482+202=52（m）
【解答】解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，如图：

∵∠BCD＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
设CE＝x，则BE＝x，
∵CD＝80m，
∴DE＝（80﹣x）m，
Rt△BDE中，∠BDC＝56°19'，
∴tan56°19'=BEDE，即x80−x=1.5，
解得x＝48（m），
∴BE＝CE＝48m，
Rt△ACD中，∠ADC＝19°17′，CD＝80m，
∴tan19°17'=ACCD，即AC80=0.35，
解得AC＝28m，
∵∠ACD＝90°，BE⊥CD于E，AF⊥BE，
∴四边形ACEF是矩形，
∴AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，
∴BF＝BE﹣EF＝20m，
Rt△ABF中，AB=AF2+BF2=482+202=52（m），
答：A，B两点之间的距离是52m．
19．（2021•盐城）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．
（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

【分析】（1）利用锐角三角函数可求CF的长，即可求解；
（2）由锐角三角函数可求CN的长，由线段和差关系可求MN的长，CM的长，由锐角三角函数可求CD的长．
【解答】解：（1）过点D作DF⊥BC于F，

∵∠FCD＝60°，∠CFD＝90°，
∴FC＝CD×cos60°＝50×12=25（cm），
∴FA＝AB+BC﹣CF＝84+54﹣25＝113（cm），
答：灯泡悬挂点D距离地面的高度为113cm；
（2）如图3，过点C作CG垂直于地面于点G，过点B作BN⊥CG于N，过点D作DM⊥CG于M，

∵BC＝54cm，
∴CN＝BC×cos20°＝54×0.94＝50.76（cm），
∴MN＝CN+MG﹣CG＝50.76+90﹣50.76﹣84＝6（cm），
∴CM＝CN﹣MN＝44.76（cm），
∴CD=CMcos40°=44.760.77≈58（cm），
答：CD的长为58cm．
20．（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）．

【分析】过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，设AC＝x米，由锐角三角函数定义求出PC=3AC=3x（米），QC＝BC＝（x+3）米，再由PC﹣QC＝PQ＝5米得出方程，求解即可．
【解答】解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如图所示：
设AC＝x米，
由题意得：PQ＝5米，∠APC＝30°，∠BQC＝45°，
在Rt△APC中，tan∠APC=ACPC=tan30°=33，
∴PC=3AC=3x（米），
在Rt△BCQ中，tan∠BQC=BCQC=tan45°＝1，
∴QC＝BC＝AC+AB＝（x+3）米，
∵PC﹣QC＝PQ＝5米，
∴3x﹣（x+3）＝5，
解得：x＝4（3+1），
∴BC＝4（3+1）+3＝43+7≈14（米），
答：无人机飞行的高度约为14米．