考点18多边形与平行四边形（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版）

考点18多边形与平行四边形

考点总结

一、四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）×180°

多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

二、平行四边形

1、平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•扬州）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD＝100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（　　）

A．220° B．240° C．260° D．280°

【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．

【解答】解：连接BD，

∵∠BCD＝100°，

∴∠CBD+∠CDB＝180°﹣100°＝80°，

∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE＝360°﹣∠CBD﹣∠CDB＝360°﹣80°＝280°，

故选：D．

2．（2021•连云港）正五边形的内角和是（　　）

A．360° B．540° C．720° D．900°

【分析】根据多边形内角和为（n﹣2）×180°，然后将n＝5代入计算即可．

【解答】解：正五边形的内角和是：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°，

故选：B．

3．（2021•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC，则B′D的长是（　　）

A．1 B． C． D．

【分析】首先根据平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，可证出∠CAE＝45°，∠ADC＝60°，根据翻折可得∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，进而可得∠AEC＝90°，从而可得AE＝CE，再根据含30°角的直角三角形的性质求出B′E＝DE＝1，根据勾股定理即可得B′D的长．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，

∴∠CAE＝∠ACB＝45°，

∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，

∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，

∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，

∴AE＝CEAC，

∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，

∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，

∴B′E＝DE＝1，

∴B′D．

故选：B．

4．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（　　）

A．100米 B．80米 C．60米 D．40米

【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．

【解答】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，

∴他走过的图形是正多边形，

∴边数n＝360°÷45°＝8，

∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．

故选：B．

5．（2020•无锡）正十边形的每一个外角的度数为（　　）

A．36° B．30° C．144° D．150°

【分析】根据多边形的外角和为360°，再由正十边形的每一个外角都相等，进而求出每一个外角的度数．

【解答】解：正十边形的每一个外角都相等，

因此每一个外角为：360°÷10＝36°，

故选：A．

6．（2020•淮安）六边形的内角和为（　　）

A．360° B．540° C．720° D．1080°

【分析】利用多边形的内角和＝（n﹣2）•180°即可解决问题．

【解答】解：根据多边形的内角和可得：

（6﹣2）×180°＝720°．

故选：C．

7．（2021•绿园区一模）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（　　）

A．135° B．140° C．144° D．150°

【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．

【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，

则每个内角的度数＝1260°÷9＝140°．

故选：B．

8．（2021•无锡模拟）一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形的边数是（　　）

A．八 B．九 C．十 D．十二

【分析】根据正多边形的内角和外角的关系，求出外角的度数，再根据外角和为360°可求出正多边形的边数．

【解答】解：设多边形的一个外角为x，则它的一个内角为4x，

4x+x＝180°，

∴x＝36°

∴这个正n边形的边数为：360°÷36°＝10，

故选：C．

9．（2021•杭州模拟）正五边形的每个内角度数为（　　）

A．36° B．72° C．108° D．120°

【分析】求出正五边形的每个外角即可解决问题．

【解答】解：正五边形的每个外角72°，

∴正五边形的每个内角＝180°﹣72°＝108°，

故选：C．

10．（2021•鼓楼区二模）如果一个正多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13

【分析】根据正多边形的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数．

【解答】解：∵一个多边形的每个外角都是36°，

∴n＝360°÷36°＝10，

故选：A．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•镇江）如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是 　120°　．

【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x，列方程可求解．

【解答】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x，

则6x＝（6﹣2）×180°，

解得x＝120°．

故答案为：120°．

12．（2021•盐城）若一个多边形的每个外角均为40°，则这个多边形的边数为 　9　．

【分析】一个多边形的外角和为360°，而每个外角为40°，进而求出外角的个数，即为多边形的边数．

【解答】解：360°÷40°＝9，

故答案为：9．

13．（2021•南通）正五边形每个内角的度数为 　108°　．

【分析】方法一：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出内角和，然后除以5即可；

方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．

【解答】解：方法一：（5﹣2）•180°＝540°，

540°÷5＝108°；

方法二：360°÷5＝72°，

180°﹣72°＝108°，

所以，正五边形每个内角的度数为108°．

故答案为：108°．

14．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若BC＝3，则点A的坐标是 　（3，0）　．

【分析】根据平行四边形的性质得到OA＝BC，然后根据BC的长求得OA的长，从而确定点A的坐标即可．

【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，BC＝3，

∴OA＝BC＝3，

∵点A在x轴上，

∴点A的坐标为（3，0），

故答案为：（3，0）．

15．（2021•扬州）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则▱ABCD的面积为 　50　．

【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE＝∠BEC，可得BE＝BC＝10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．

【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，

∵∠EBC＝30°，BE＝10，

∴EFBE＝5，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DEC＝∠BCE，

又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC，

∴∠BCE＝∠BEC，

∴BE＝BC＝10，

∴平行四边形ABCD的面积＝BC×EF＝10×5＝50，

故答案为：50．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•宿迁）在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．

已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，　②　（填写序号）．

求证：BE＝DF．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形得BO＝DO，加上条件OE＝OF，从而得出四边形BEDF为平行四边形，从而有BE＝DF．

【解答】解：选②，如图，连接BF，DE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO＝DO，

∵OE＝OF，

∴四边形BEDF为平行四边形，

∴BE＝DF．

故选择：②（答案不唯一）．

17．（2021•扬州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．

（1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；

（2）若∠BAC＝90°，且AD＝2，求四边形AFDE的面积．

【分析】（1）根据DE∥AB，DF∥AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA＝∠EAD，可得AE＝DE，即可证明；

（2）根据∠BAC＝90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．

【解答】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AFDE是平行四边形，

∵AD平分∠BAC，

∴∠FAD＝∠EAD，

∵DE∥AB，

∴∠EDA＝∠FAD，

∴∠EDA＝∠EAD，

∴AE＝DE，

∴平行四边形AFDE是菱形；

（2）∵∠BAC＝90°，

∴四边形AFDE是正方形，

∵AD，

∴AF＝DF＝DE＝AE2，

∴四边形AFDE的面积为2×2＝4．

18．（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．

（1）若OE，求EF的长；

（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．

【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF，进而得出EF的长；

（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AO＝CO，

∴∠FCO＝∠EAO，

又∵∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE＝OF，

∴EF＝2OE＝3；

（2）四边形AECF是菱形，

理由：∵△AOE≌△COF，

∴AE＝CF，

又∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形．