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    考点22与圆有关的计算(解析版)-2022年数学中考一轮复习考点透析(苏科版)

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    这是一份考点22与圆有关的计算(解析版)-2022年数学中考一轮复习考点透析(苏科版),共15页。试卷主要包含了弧长公式,扇形面积公式,圆锥的侧面积等内容,欢迎下载使用。

    考点22与圆有关的计算

    考点总结

    弧长和扇形面积

    1、弧长公式

    n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为

    2、扇形面积公式

    其中n是扇形的圆心角度数,R是扇形的半径,l是扇形的弧长。

    3、圆锥的侧面积

    其中l是圆锥的母线长,r是圆锥的地面半径。

     

    真题演练

    一.选择题(共10小题)

    1.(2021•姑苏区校级一模)如图,ABO的直径,点CO上,若∠OCA55°,AB6,则的长为(  )

    Aπ Bπ Cπ D11π

    【分析】先利用等腰三角形的性质得出∠A的度数,再利用圆周角定理得出∠BOC的度数,再利用弧长公式求出答案.

    【解答】解:∵∠OCA55°,OAOC

    ∴∠A55°,

    ∴∠BOC2A110°,

    AB6

    BO3

    的长为:π

    故选:B

    2.(2021•余姚市一模)如图,四边形ABCD的顶点BCD都在A上,ADBC,∠BAD140°,AC3,则的弧长为(  )

    Aπ Bπ Cπ Dπ

    【分析】求出∠BAC,利用弧长公式计算即可.

    【解答】解:∵ADBC

    ∴∠ABC+BAD180°,

    ∵∠BAD140°,

    ∴∠ABC40°,

    ABAC

    ∴∠ABC=∠ACB40°,

    ∴∠BAC180°﹣80°=100°,

    的长π

    故选:A

    3.(2021•盐城一模)在半径为6cm的圆中,60°的圆心角所对弧的弧长是(  )

    Aπcm B2πcm C3πcm D6πcm

    【分析】弧长公式为,把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长.

    【解答】解:弧长为:2πcm).

    故选:B

    4.(2021•新吴区二模)如图,在半径为的圆形纸片中,剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分),则这个扇形的面积为(  )

    Aπ B C2π D

    【分析】由勾股定理求扇形的半径,再根据扇形面积公式求值.

    【解答】解:连接BC

    由∠BAC90°得BCO的直径,

    BC2

    RtABC中,由勾股定理可得:ABAC2

    S扇形ABCπ

    故选:A

    5.(2021•盐都区二模)如图,在扇形OAB中,OCAB于点DAB8,将△ODB绕点O点逆时针旋转60°,则线段DB扫过的图形面积为(  )

    A B2π C D

    【分析】由于△ODBO旋转60°到△ODB′,可见,阴影部分面积为扇形OBB′减扇形ODD′,分别计算两扇形面积,在计算其差即可.

    【解答】解:如图,在扇形OAB中,OCAB于点DAB8

    ADBDAB4

    RtOBD中,OB2OD2BD216

    ∵△ODBO旋转60°到△ODB′,

    ∴△ODB≌△ODB′,

    ∴∠DOD′=∠BOB′=60°,

    S扇形ODDπS扇形OBBπ

    S阴影S扇形OBBS扇形ODDππππ

    故选:C

    6.(2021•连云港二模)如图,一扇形纸扇完全打开后,两竹条外侧OAOB的夹角为120°,OA长为10cm,贴纸部分的CA长为5cm,则贴纸部分的面积为(  )

    Acm2 B25πcm2 C48πcm2 D75πcm2

    【分析】贴纸部分的面积实际是扇形OAB和扇形OCD的面积差,可根据扇形的面积公式分别表示出两部分的面积,进而可求出贴纸部分的面积.

    【解答】解:SS扇形OABS扇形OCD25πcm2),

    故选:B

    7.(2021•姜堰区一模)如图,OAO的半径,弦BCOA,垂足为M,连接OBAC,如果OBACOB2,那么图中阴影部分的面积是(  )

    A B Cπ D2π

    【分析】通过证得△ACM≌△OBM,则阴影部分的面积正好等于扇形OAB的面积.

    【解答】解:∵弦BCOA,垂足为M

    BMCM

    OBAC

    ∴∠OBM=∠ACM

    在△ACM和△OBM

    ∴△ACM≌△OBMASA),

    OMAMOA

    cosAOB

    ∴∠AOB60°,

    S阴影S

    故选:B

    8.(2021•无锡模拟)小明同学在计算某扇形的面积和弧长时,分别写出如下式子:Sl,经核对,两个结果均正确,则下列说法正确的(  )

    A.该扇形的圆心角为3°,直径是4 

    B.该扇形的圆心角为4°,直径是3 

    C.该扇形的圆心角为4°,直径是6 

    D.该扇形的圆心角为9°,直径是4

    【分析】根据Sl,可以写出Sl的形式,然后即可判断哪个选项是正确的,本题得以解决.

    【解答】解:∵Sl

    Sl

    ∴该扇形的圆心角为9°,直径是4

    故选:D

    9.(2021•如皋市二模)将一个圆锥展开后,其侧面是一个圆心角为108°,半径为12cm的扇形,则该圆锥的底面半径是(  )

    A1.8cm B3.6cm C4cm D6cm

    【分析】根据弧长公式求出扇形弧长,根据圆的面积公式计算,得到答案.

    【解答】解:∵扇形的圆心角为108°,半径为12cm

    ∴扇形弧长7.2πcm),

    ∴圆锥的底面周长为7.2πcm

    ∴圆锥的底面半径3.6cm),

    故选:B

    10.(2021•江阴市模拟)圆锥的高是4cm,其底面圆半径为3cm,则它的侧面展开图的面积为(  )

    A12πcm2 B24πcm2 C15πcm2 D30πcm2

    【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长,然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积.

    【解答】解:这个圆锥的母线长5

    所以这个圆锥的侧面积2π3515πcm2).

    故选:C

    二.填空题(共5小题)

    11.(2021•淮安)若圆锥的侧面积为18π,底面半径为3,则该圆锥的母线长是  6 

    【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2

    【解答】解:底面半径为3,则底面周长=6π

    设圆锥的母线长为x

    圆锥的侧面积6πx18π

    解得:x6

    故答案为:6

    12.(2021•南通)圆锥的母线长为2cm,底面圆的半径长为1cm,则该圆锥的侧面积为  2π cm2

    【分析】直接用圆锥的侧面积公式计算即可.

    【解答】解:圆锥的侧面积为:πrl2×1π2πcm2

    故答案为:2π

    13.(2021•徐州)如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形.若母线长l8cm,扇形的圆心角θ90°,则圆锥的底面圆半径r 2 cm

    【分析】利用扇形的弧长公式求得弧长,然后利用底面周长等于弧长列式求得底面半径即可.

    【解答】解:∵扇形的圆心角为90°,母线长为8cm

    ∴扇形的弧长为4π

    设圆锥的底面半径为rcm

    2πr4π

    解得:r2

    故答案为2

    14.(2021•无锡)用半径为50,圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为   

    【分析】圆锥的底面圆半径为r,根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长,列方程求解.

    【解答】解:设圆锥的底面圆半径为r,依题意,得

    2πr

    解得r

    故答案为:

    15.(2021•盐城)设圆锥的底面半径为2,母线长为3,该圆锥的侧面积为  6π 

    【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解.

    【解答】解:该圆锥的侧面积=π×2×36π

    故答案为6π

    三.解答题(共3小题)

    16.(2021•扬州)如图,四边形ABCD中,ADBC,∠BAD90°,CBCD,连接BD,以点B为圆心,BA长为半径作B,交BD于点E

    1)试判断CDB的位置关系,并说明理由;

    2)若AB2,∠BCD60°,求图中阴影部分的面积.

    【分析】1)过点BBFCD,证明△ABD≌△FBD,得到BFBA,即可证明CD与圆B相切;

    2)先证明△BCD是等边三角形,根据三线合一得到∠ABD30°,求出AD,再利用SABDS扇形ABE求出阴影部分面积.

    【解答】解:(1)过点BBFCD,垂足为F

    ADBC

    ∴∠ADB=∠CBD

    CBCD

    ∴∠CBD=∠CDB

    ∴∠ADB=∠CDB

    在△ABD和△FBD中,

    ∴△ABD≌△FBDAAS),

    BFBA,则点F在圆B上,

    CDB相切;

     

    2)∵∠BCD60°,CBCD

    ∴△BCD是等边三角形,

    ∴∠CBD60°

    BFCD

    ∴∠ABD=∠DBF=∠CBF30°,

    ∴∠ABF60°,

    ABBF

    ADDFAB·tan30°=2

    ∴阴影部分的面积=SABDS扇形ABE

    17.(2021•泰州)如图,在O中,AB为直径,PAB上一点,PA1PBmm为常数,且m0).过点P的弦CDABQ上一动点(与点B不重合),AHQD,垂足为H.连接ADBQ

    1)若m3

    求证:∠OAD60°;

    的值;

    2)用含m的代数式表示,请直接写出结果;

    3)存在一个大小确定的O,对于点Q的任意位置,都有BQ22DH2+PB2的值是一个定值,求此时∠Q的度数.

    【分析】1连接OD,由m3可得OAOD2,从而CDOA的垂直平分线,可得△AOD是等边三角形,故∠OAD60°;

    连接AQ,证明△ADH∽△ABQ,可得,即得2

    2)连接AQBD,证明△APD∽△ADB,得,由AP1PBm,即得AD,而,故

    3)由BQDH,得BQ22DH2+PB2=(m1)•DH2+m2BQ22DH2+PB2是定值,需(m1)•DH2+m2的值与DH无关,即当m1时,BQ22DH2+PB2的定值为1,此时PO重合,即可得∠BQD45°.

    【解答】解:(1连接OD,如图:

    m3PB3AP1

    ABAP+PB4

    OAODAB2

    OPOAAP1AP

    POA中点,

    CDAB

    CDOA的垂直平分线,

    ADODOA2,即△AOD是等边三角形,

    ∴∠OAD60°;

    连接AQ,如图:

    ABO直径,

    ∴∠AQB90°,

    AHDQ

    ∴∠AHD90°,

    ∴∠AQB=∠AHD

    ∴∠ADH=∠ABQ

    ∴△ADH∽△ABQ

    知:AB4AD2

    2

    2)连接AQBD,如图:

    ABO直径,

    ∴∠ADB90°,

    ∴∠ADB=∠APD

    又∠PAD=∠DAB

    ∴△APD∽△ADB

    AP1PBm

    AB1+m

    AD

    与(1)中同理,可得:

    3)由(2)得

    BQDH,即BQ2=(1+m)•DH2

    BQ22DH2+PB2=(1+m)•DH22DH2+m2=(m1)•DH2+m2

    BQ22DH2+PB2是定值,则(m1)•DH2+m2的值与DH无关,

    ∴当m1时,BQ22DH2+PB2的定值为1,此时PO重合,如图:

    ABCDOAOD1

    ∴△AOD是等腰直角三角形,

    ∴∠OAD45°,

    ∴∠BQD45°,

    故存在半径为1O,对Q的任意位置,都有BQ22DH2+PB2是定值1,此时∠BQD45°.

    18.(2021•南京)在几何体表面上,蚂蚁怎样爬行路径最短?

    1)如图,圆锥的母线长为12cmB为母线OC的中点,点A在底面圆周上,的长为4πcm.在图所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径,并标出它的长(结果保留根号).

    2)图中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.O是圆锥的顶点,点A在圆柱的底面圆周上,设圆锥的母线长为l,圆柱的高为h

    蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为  l+h (用含lh的代数式表示).

    的长为a,点B在母线OC上,OBb.圆柱的侧面展开图如图所示,在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图,并写出求最短路径的长的思路.

    【分析】1)先判断出△OAC为等边三角形,进而得出AB上等边三角形的高,即可得出结论;

    2蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高,即可得出结论;

    根据题意画出示意图,设CGx,则的长为x,进而求出∠COG,用勾股定理建立AB为关于x的函数,求解即可得出结论.

    【解答】解:(1)如图中连接AOACAB.设∠AOCn

    的长=4π

    4π

    n60°,

    ∴∠COA60°,

    OAOC

    ∴△AOC是等边三角形,

    OBBC6

    ABOC

    AB6

    最短的路径是线段AB,最短路径的长为6

     

    2蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高,即为h+l

    故答案为:h+l

     

    蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如图,最短路径为AB

    思路:

    Ⅰ、过点OOFADF,交ABG,此时,点G在扇形的弧上,

    Ⅱ、设CGx,则的长为x,进而求出∠BOG的度数,

    Ⅲ、再过点BBEOFE,用三角函数求出OEBE,得出FH,即可求出AH

    Ⅳ、求出EF,进而求出BH

    Ⅶ、在RtABH中,利用勾股定理建立AB关于x的方程,求解最小值.

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