考点01实数及其运算（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版）

考点01实数及其运算

考点总结

一．实数的分类：

注意：在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如，等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数，如sin60o等

二．绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。

三．相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）.从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

四、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

五、平方根

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

六、立方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

七．实数大小的比较

1、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，     

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，

（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。

（5）平方法：设a、b是两负实数，则。

八、科学记数法和近似数

1、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法

把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。

九、实数的运算

1、加法交换律 

2、加法结合律 

3、乘法交换律 

4、乘法结合律 

5、乘法对加法的分配律

6、实数的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•淮安）第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数约为218360000，将218360000用科学记数法表示为（　　）

A．0.21836×109 B．2.1836×107 

C．21.836×107 D．2.1836×108

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【解答】解：218360000＝2.1836×108，

故选：D．

2．（2021•镇江）2021年1﹣4月份，全国规模以上工业企业利润总额超25900亿元，其中25900用科学记数法表示为（　　）

A．25.9×103 B．2.59×104 C．0.259×105 D．2.59×105

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【解答】解：25900＝2.59×104，

故选：B．

3．（2021•南通）计算1﹣2，结果正确的是（　　）

A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3

【分析】根据有理数的减法，即可解答．

【解答】解：1﹣2＝1+（﹣2）＝﹣1，

故选：C．

4．（2021•南通）据报道：今年“五一”期间，苏通大桥、崇启大桥、沪苏通大桥三座跨江大桥车流量约1370000辆次．将1370000用科学记数法表示为（　　）

A．0.137×107 B．1.37×107 C．0.137×106 D．1.37×106

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【解答】解：将1370000用科学记数法表示为：1.37×106．

故选：D．

5．（2021•盐城）2020年12月30日盐城至南通高速铁路开通运营，盐通高铁总投资约2628000万元，将数据2628000用科学记数法表示为（　　）

A．0.2628×107 B．2.628×106 C．26.28×105 D．2628×103

【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，n的值等于原来数的整数位数减1．

【解答】解：2628000＝2.628×106，

故选：B．

6．（2021•徐州）下列无理数，与3最接近的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】用逼近法估算无理数大小即可解答问题．

【解答】解：∵（）2＝6，（）2＝7，（）2＝10，（）2＝11，32＝9，

∴与3最接近的是．

故选：C．

7．（2021•南京）一般地，如果xn＝a（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根．下列结论中正确的是（　　）

A．16的4次方根是2 

B．32的5次方根是±2 

C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 

D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大

【分析】根据n次方根的定义判定即可．

【解答】解：A、∵（±2）4＝16，

∴16的4次方根是±2，故A不正确；

B、32的5次方根是2，故B不正确；

C、设x，y，则x15＝25＝32，y15＝23＝8，

∵x15＞y15且x＞1，y＞1，

∴x＞y，

∴当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故C选项正确；

D、当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故D不选项正确；

故选：C．

8．（2021•南京）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00～17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（　　）

A．10：00 B．12：00 C．15：00 D．18：00

【分析】根据北京时间比莫斯科时间早5小时解答即可．

【解答】解：由题意得，北京时间应该比莫斯科时间早5小时，

当莫斯科时间为9：00，则北京时间为14：00；当北京时间为17：00，则莫斯科时间为12：00；

所以这个时刻可以是14：00到17：00之间，

所以这个时刻可以是北京时间15：00．

故选：C．

9．（2021•南京）截至2021年6月8日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过800000000剂次．用科学记数法表示800000000是（　　）

A．8×108 B．0.8×109 C．8×109 D．0.8×1010

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将800000000用科学记数法表示为：8×108．

故选：A．

10．（2021•扬州）实数100的倒数是（　　）

A．100 B．﹣100 C． D．

【分析】直接根据倒数的定义求解．

【解答】解：100的倒数为，

故选：C．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•泰州）2021年5月，中国首个火星车“祝融号”成功降落在火星上直径为3200km的乌托邦平原．把数据3200用科学记数法表示为 　3.2×103　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【解答】解：3200＝3.2×103．

故答案为：3.2×103．

12．（2021•徐州）我市2020年常住人口约9080000人，该人口数用科学记数法可表示为 　9.08×106　人．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：9080000人用科学记数法可表示为9.08×106人．

故答案为：9.08×106．

13．（2021•常州）数轴上的点A、B分别表示﹣3、2，则点 　B　离原点的距离较近（填“A”或“B”）．

【分析】利用数轴，我们把数和点对应起来，根据绝对值越小离原点越近解题即可．

【解答】解：数轴上的点A、B分别表示﹣3、2，

∵|﹣3|＝3，|2|＝2，3＞2，

∴则点B离原点的距离较近．

故答案为：B．

14．（2021•徐州）49的平方根是　±7　．

【分析】根据平方根的定义解答．

【解答】解：49的平方根是±7．

故答案为：±7．

15．（2021•常州）化简：　3　．

【分析】33＝27，根据立方根的定义即可求出结果．

【解答】解：∵33＝27，

∴；

故答案为：3．

三．解答题（共5小题）

16．（2021•常州）计算：（﹣1）2﹣（π﹣1）0+2﹣1．

【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、算术平方根、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝2﹣1﹣1

．

17．（2021•盐城）如图，点A是数轴上表示实数a的点．

（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的点P；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）利用数轴比较和a的大小，并说明理由．

【分析】（1）以数轴上1所在的位置为圆心，单位长度为半径作圆，运用线段的垂直平分线作出数轴的垂线，利用勾股定理，斜边即为，再以点O为圆心，为半径作弧，交数轴的正半轴于点P，点P即为所求；

（2）根据在数轴上，右边的数总比左边的大比较大小．

【解答】解：（1）如图所示，点P即为所求；

（2）a，理由如下：

∵如图所示，点A在点P右侧，

∴a．

18．（2021•盐城）计算：（）﹣1+（1）0．

【分析】利用负整数指数幂，零指数幂和算术平方根计算．

【解答】解：原式＝3+1﹣2

＝2．

19．（2021•扬州）计算或化简：

（1）（）0+|3|+tan60°．

（2）（a+b）÷（）．

【分析】（1）分别化简各数，再作加减法；

（2）先通分，计算加法，再将除法转化为乘法，最后约分计算．

【解答】解：（1）原式

＝4；

（2）原式

＝ab．

20．（2021•苏州）计算：|﹣2|﹣32．

【分析】直接利用算术平方根、绝对值、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝2+2﹣9

＝﹣5