考点18多边形与平行四边形（解析版）练习题

考点18多边形与平行四边形

考点总结

考点1  四边形的相关概念   

1、四边形

在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。

2、凸四边形

把四边形的任一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。

3、对角线

在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。

4、四边形的不稳定性

三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。

5、四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；

      多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

6、多边形的对角线条数的计算公式

设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为。

考点2  平行四边形   

1、平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、平行四边形的面积

S平行四边形=底边长×高=ah

真题演练

一、单选题

1．（2021·浙江衢州·中考真题）如图，在中，，，，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（ ）

A．6 B．9 C．12 D．15

【答案】B

【分析】

根据中点的定义可得AD、AF的长，根据三角形中位线的性质可得DE、EF的长，即可求出四边形ADEF的周长．

【详解】

∵，，，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，

∴AD=2，AF=，DE、EF为△ABC的中位线，

∴EF=2，DE==，

∴四边形ADEF的周长=2+2+=9，

故选：B．

2．（2021·浙江宁波·中考真题）如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据△AED和△BCG是等腰直角三角形，四边形ABCD是平行四边形，四边形HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a， HE=GF，GH=EF，点O是矩形HEFG的中心，设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c，过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，可得出OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，从而可表示OP，OQ的长，再分别计算出，，进行判断即可

【详解】

解：由题意得，△AED和△BCG是等腰直角三角形，

∴

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB

∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF，

∴△AED≌△CGB，△CDH≌ABF

∴AE=DE=BG=CG

∵四边形HEFG是矩形

∴GH=EF，HE=GF

设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c

过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，

∴OP//HE，OQ//EF

∵点O是矩形HEFG的对角线交点，即HF和EG的中点，

∴OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，

∴，

∵

∵

∴，即

而，

所以，，故选项A符合题意，

∴，故选项B不符合题意，

而于都不一定成立，故都不符合题意，

故选：A

3．（2021·浙江金华·二模）如图，将一副直角三角板按如图所示位置摆放，，，，点D在边上，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先根据平行的性质得到，再根据四边形的内角角和等于360°计算即可

【详解】

解：

∵EF∥BC

∴

∴

∴

∴

=75°

故选：C

4．（2021·浙江吴兴·一模）正六边形的每个内角的度数是（    ）

A． B． C． D．以上都不正确

【答案】A

【分析】

正六边形的每个内角相等、每个外角相等，正六边形的外角和360°，据此解题．

【详解】

解：正六边形的外角和为360°，则正六边形的每个外角为：，

因此正六边形的每个内角的度数是：，

故选：A．

5．（2021·浙江温岭·一模）正n边形的一个外角为，则（    ）

A．9 B．10 C．12 D．14

【答案】C

【分析】

利用多边形的外角和即可求出答案．

【详解】

解：n=360°÷30°=12．

故选：C．

6．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，锐角△ABC中，点D是边AB的中点，点E在边AC上，有如下两个命题：①如果DE//BC，那么DE＝BC；②如果DE＝BC，那么DE//BC．下列判断正确的是（    ）

A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题

C．①②都是真命题 D．①②都是假命题

【答案】A

【分析】

根据三角形中位线定理判定①即可；如图当E恰好是AC的中点时，过点D作DF⊥AC于F，由△ABC是锐角三角形，则三角形中位线定理可知三角形ADE也必定是锐角三角形，

∴DE＞DF，那么在AF上还可以找到一点P，使得，即E在P点位置时满足，但是DE与BC不平行，故②是假命题．

【详解】

解：∵DE//BC，且点D是边AB的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴故①是真命题；

如图：当E恰好是AC的中点时，过点D作DF⊥AC于F，

∵△ABC是锐角三角形，

∴由三角形中位线定理可知三角形ADE也必定是锐角三角形，

∴DE＞DF，

∴在AF上还可以找到一点P，使得，即E在P点位置时满足，但是DE与BC不平行，故②是假命题，

故选A．

7．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）二模）如图，已知中，，，分别为，的中点，连结，过作的平行线与的角平分线交于点，连结，若，，则的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据题意延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，设DF=x，运用三角形中位线定理、全等三角形的性质以及锐角三角函数定义构建方程，求出x即可得出答案．

【详解】

解：延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，

设DF=x，
∵DH∥AC，D为BC的中点，
∴H为AB的中点，
∴BH=AH，
∴DH是△ABC的中位线，
∴DH=AC=1，
∴FH=1-x，
∵FA平分∠CAB，FE⊥AC，FT⊥AB，
∴FE=FT，
∵E为AC的中点，FE⊥AC，
∴CF=AF，
在Rt△CFE和Rt△AFT中，
，
∴Rt△CFE≌Rt△AFT（HL），
∴AE=AT=1，
∵∠FAE=∠AFH=∠FAH，
∴FH=AH=BH=1-x，
∴TH=1-（1-x）=x，
∵∠C=∠BDH=∠TFH，
∴sin∠C=sin∠TFH，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∵DE=，
∴.

故选：A．

8．（2021·浙江定海·一模）如图，六边形是正六边形，点是边的中点，，分别与交于点，，则的值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

设正六边形的边长为a，MN是△PCD的中位线，求出△PBM和△PCD的面积即可．

【详解】

解：设正六边形的边长为a，连接AC交BE于H点，如下图所示：

正六边形六边均相等，且每个内角为120°，

∴△ABC为30°，30°，120°等腰三角形，

∴BE⊥AC，且，且，

∵AF∥CD，P为AF上一点，

∴，

MN为△PCD的中位线，

∴，

由正六边形的对称性可知：，

∴，

∴，

∴，

故选：D．

9．（2021·浙江义乌·一模）如图，已知的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，若，则S四边形EFGH÷S四边形ABCD四边形的值（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由角平分线的性质、两直线平行同旁内角互补性质解得，继而证明四边形EFGH是矩形，设，求得，，，

，作于，最后根据平行四边形与矩形的面积解题．

【详解】

解：在中，

平分平分，

同理可证

∴四边形EFGH是矩形，

，

设，则

中，

作于，

中，

S四边形EFGH÷S四边形ABCD，

故选：A．

10．（2021·浙江开化·一模）如图，在平行四边形中，平分交边于点，若平行四边形的周长是24，，则AB的长为（    ）

A．4 B．5 C．5.5 D．6

【答案】B

【分析】

由角平分线的性质得到，再由平行四边形对边平行的性质得到，继而由等角对等边得到，结合已知条件解题即可．

【详解】

解：平分，

在平行四边形中，

平行四边形的周长是24，

故选：B．

二、填空题

11．（2021·浙江丽水·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．

【答案】6或7

【分析】

求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．

【详解】

解：由多边形内角和，可得

（n-2）×180°=720°，

∴n=6，

∴新的多边形为6边形，

∵过顶点剪去一个角，

∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，

故答案为6或7．

12．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，对角线，BD交于点O,，于点，若AB=2，，则的长为__________________．

【答案】

【分析】

根据勾股定理求得AC的长，结合平行四边形的性质求得AO的长，然后利用相似三角形的判定和性质求解．

【详解】

解：∵，，AB=2

∴在Rt△ABC中，AC=

∴在中，AO=

在Rt△ABO中，BO=

∵，

∴

又∵

∴

∴，

解得：AH=

故答案为：．

13．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是___________．

【答案】

【分析】

设大正方形的边长为2a，则大等腰直角三角形的腰长为，中等腰直角三角形的腰长为a，小等腰直角三角形的腰长为，小正方形的边长为，平行四边形的长边为a，短边为，用含有a的代数式表示点A的横坐标，表示点F的坐标，确定a值即可.

【详解】

设大正方形的边长为2a，则大等腰直角三角形的腰长为，中等腰直角三角形的腰长为a，小等腰直角三角形的腰长为，小正方形的边长为，平行四边形的长边为a，短边为，如图，过点F作FG⊥x轴，垂足为G, 点F作FH⊥y轴，垂足为H, 过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q,延长大等腰直角三角形的斜边交x轴于点N，交FH于点M，

根据题意，得OC==，CD=a,DQ=，

∵点A的横坐标为1,

∴+a+=1，

∴a=；

根据题意，得FM=PM=，MH=，

∴FH==；

∴MT=2a-，BT=2a-,

∴TN=-a，

∴MN=MT+TN=2a-+-a==，

∵点F在第二象限，

∴点F的坐标为（-，）

故答案为：（-，）．

14．（2021·浙江丽水·中考真题）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是__________．

【答案】

【分析】

先根据图1求EQ与CD之间的距离，再求出BQ，即可得到之间的距离= EQ与CD之间的距离+BQ．

【详解】

解：过点E作EQ⊥BM，则

根据图1图形EQ与CD之间的距离=

由勾股定理得：，解得：；

，解得：

∵

∴

∵EQ⊥BM，

∴

∴

∴之间的距离= EQ与CD之间的距离+BQ

故答案为．

15．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，在中，，，点在边上，以、为边作平行四边形，则的度数为____________．

【答案】70°

【分析】

根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．

【详解】

解：∵在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，
∴∠C=（180°-40°）÷2=70°，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴∠E=70°．
故答案为：70°．

三、解答题

16．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请按要求画图．

（1）如图1，画出一条线段，使在格点上；

（2）如图2，画出一条线段，使互相平分，均在格点上；

（3）如图3，以为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】

（1）根据“矩形对角线相等”画出图形即可；

（2）根据“平行四边形对角线互相平分”，找出以AB对角线的平行四边形即可画出另一条对角线EF；

（3）画出平行四边形ABPQ即可．

【详解】

解：（1）如图1，线段AC即为所作；

（2）如图2，线段EF即为所作；

（3）四边形ABPQ为所作；

17．（2021·浙江瓯海·三模）如图，在五边形ABCDE中，AB＝CD，∠ABC＝∠BCD，BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线．

（1）求证：△ABE≌△DCE；

（2）当∠A＝80°，∠ABC＝140°时，求∠AED的度数．

【答案】（1）见解析；（2）100°

【分析】

（1）由角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE，∠BCE=∠DCE，可证明△ABE≌△DCE（SAS）；

（2）由全等三角形的性质得出∠A=∠D=80°，根据五边形的内角和可求出答案．

【详解】

解：（1）证明：∵BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线．

∴∠ABE=∠CBE，∠BCE=∠DCE，

∵∠ABC=∠BCD，

∴∠ABE=∠DCE，∠EBC=∠ECB，

∴BE=CE，

在△ABE和△DCE中，

，

∴△ABE≌△DCE（SAS）；

（2）解：∵△ABE≌△DCE，

∴∠A=∠D=80°，

∵∠ABC=140°，

∴∠ABC=∠BCD=140°，

∵五边形ABCDE的内角和是540°，

∴∠AED=540°-∠A-∠D-∠ABC-∠BCD=540°-80°-80°-140°-140°=100°．

18．（2021·浙江舟山·一模）发现：如图1，在有一个“凹角”边形 …中（为大于3的整数），．

验证：

（1）如图2，在有一个“凹角”的四边形中，证明：．

（2）如图3，有一个“凹角”的六边形中，证明；．

延伸：

（3）如图4，在有两个连续“凹角和”的四边形 ……中（为大于4的整数），．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6．

【分析】

（1）如图2，延长交于，根据三角形的外角的性质即可得到结论；

（2）如图3，延长交于，则，根据多边形的内角和和外角的性质即可得到结论；

（3）如图4，延长交于 ，延长交于 ，根据三角形的外角的性质得到，根据多边形的内角和得到 ，于是得到结论．

【详解】

解：（1）如图2，延长交于，

则，，

；

（2）如图3，延长交于，

则，

，，

；

（3）如图4，延长交于，延长交于，

则，

，

而，

．

故答案为：6．