考点19矩形、菱形、正方形（解析版）练习题

这是一份考点19矩形、菱形、正方形（解析版）练习题，共40页。试卷主要包含了矩形的概念，矩形的性质，矩形的判定，矩形的面积等内容，欢迎下载使用。

考点19矩形、菱形、正方形
考点总结
考点1 矩形
1、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等
（4）矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积
S矩形=长×宽=ab
考点2 菱形
1、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
考点3 正方形
1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定
（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
先证它是菱形，再证有一个角是直角。
（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：
先证明它是平行四边形；
再证明它是菱形（或矩形）；
最后证明它是正方形
4、正方形的面积
设正方形边长为a，对角线长为b
S正方形=

真题演练
一、单选题
1．（2021·浙江衢州·中考真题）如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形，．当AC平分时，与满足的数量关系是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据菱形的性质可得AB=AC，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=，根据旋转的性质可得∠CAC′=∠BAB′=，根据AC平分可得∠B′AC=∠CAC=，即可得出，可得答案．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，，
∴AB=AC，
∴∠BAC=∠BCA==，
∵将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形，
∴∠CAC′=∠BAB′=，
∵AC平分，
∴∠B′AC=∠CAC=，
∴∠BAC=∠B′AC+∠BAB′=2=，
∴，
故选；C．
2．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）


A．（36）cm2 B．（36）cm2 C．24 cm2 D．36 cm2
【答案】A
【分析】
过点C作，过点B作，根据折叠的性质求出，，分别解直角三角形求出AB和AC的长度，即可求解．
【详解】
解：如图，过点C作，过点B作，

∵长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
故选：A．
3．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）


A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】
连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解．
【详解】
解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB
∵在中，，点G是DE的中点，
∴AG=DG=EG
又∵AG=FG
∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径
∴∠DFE=90°
∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，
∴CF=BF=，FN=FM=
又∵FN⊥AC，FM⊥AB，
∴四边形NAMF是正方形
∴AN=AM=FN=
又∵，
∴
∴△NFD≌△MFE
∴ME=DN=AN-AD=
∴AE=AM+ME=3
∴在Rt△DAE中，DE=
故选：A．

4．（2021·浙江绍兴·中考真题）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（ ）

A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形
B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形
C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形
D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形
【答案】C
【分析】
根据平移和大菱形的位置得出菱形的个数进行判定即可
【详解】
如图所示，
用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；
用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，
用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，
用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形，
用6个相同的菱形放置，最多能得到40个菱形．
故选：C．
5．（2021·浙江宁波·中考真题）如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据△AED和△BCG是等腰直角三角形，四边形ABCD是平行四边形，四边形HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a， HE=GF，GH=EF，点O是矩形HEFG的中心，设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c，过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，可得出OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，从而可表示OP，OQ的长，再分别计算出，，进行判断即可
【详解】
解：由题意得，△AED和△BCG是等腰直角三角形，
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB
∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF，
∴△AED≌△CGB，△CDH≌ABF
∴AE=DE=BG=CG
∵四边形HEFG是矩形
∴GH=EF，HE=GF
设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c
过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，

∴OP//HE，OQ//EF
∵点O是矩形HEFG的对角线交点，即HF和EG的中点，
∴OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，
∴，
∵

∵
∴，即
而，

所以，，故选项A符合题意，

∴，故选项B不符合题意，
而于都不一定成立，故都不符合题意，
故选：A
6．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，菱形ABCD中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）


A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
【答案】C
【分析】
是特殊三角形，取决于点P的某些特殊位置，按其移动方向，逐一判断即可．
【详解】
解：连接AC，BD，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B．
∵∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°．
∴和都是等边三角形．
点P在移动过程中，依次共有四个特殊位置：

（1）当点P移动到BC边的中点时，记作．
∵是等边三角形，是 BC的中点，
∴．
∴．
∴是直角三角形．
（2）当点P与点C重合时，记作．
此时，是等边三角形；
（3）当点P移动到CD边的中点时，记为．
∵和都是等边三角形，
∴．
∴是直角三角形．
（4）当点P与点D重合时，记作．
∵，
∴是等腰三角形．
综上，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：
直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形．
故选：C
7．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，，，，由于四边形EFGH为平行四边形且四边形ABCD是矩形，所以，，根据 ，化简后得，F为BC上一动点，x是变量，是x的系数，根据平不会随点F的位置改变而改变，为固定值，x的系数为0，bc为固定值，，进而可得点E是AB的中点，即可进行判断．
【详解】
解：∵四边形EFGH为平行四边形且四边形ABCD是矩形，
∴，，
设，，，，
∴




∵F为BC上一动点，
∴x是变量，是x的系数，
∵不会随点F的位置改变而改变，为固定值，
∴x的系数为0，bc为固定值，
∴，
∴，
∴E是AB的中点，
∴，
故选：C．
8．（2021·浙江桐乡·一模）如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一点，将沿直线折叠，得到，连接，．若四边形是菱形，则的长为（ ）．

A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
利用直角三角形中特殊的角度及勾股定理求出边长，再利用点是边的中点及菱形的性质算出菱形对角线的长度，最后通过等量代换求解可得．
【详解】
解：在直角三角形中，，，，
，
，
又是边的中点，
，
又四边形是菱形，
设交于点，
，
将沿直线折叠，得到，
，
在中，
，
由折叠知：
，
，
故选：A．

9．（2021·浙江兰溪·一模）如图，将一矩形纸片如图折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，连接，当四边形的面积是矩形面积的时，的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据矩形的性质及折叠的性质可证得，进而设出相应的辅助元，借助四边形的面积是矩形面积的列出等式，计算可得b＝4x，进而即可求得答案．
【详解】
解：∵在矩形ABCD中，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，ADBC，
∴∠AHJ＝∠CFK，
∵折叠，
∴，，，，
∴AH＝JH，BF＝JF，AE＝JE＝BE＝AB，CF＝KF，DH＝KH，CG＝KG＝DG＝CD，
∠EJK＝∠B＝90°，∠JKG＝∠D＝90°，∠AHE＝∠JHE＝∠AHJ，∠CFG＝∠KFG＝∠CFK，
∴∠AHE＝∠CFG，
∵AB＝CD，
∴AE＝CG，
∴（AAS），
∴AH＝JH＝CF＝KF，
∴DH＝KH＝BF＝JF，
设AB＝CD＝2a，AD＝BC＝b，AH＝JH＝CF＝KF＝x，
则AE＝JE＝BE＝CG＝KG＝DG＝a，DH＝KH＝BF＝JF＝b－x，
∴JK＝KH－JH＝b－2x，
∵∠EJK＝∠JKG＝90°，
∴JEKG，
又∵JE＝KG，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形的面积是矩形面积的，
∴JE·JK＝AB·BC，
∴a(b－2x)＝·2a·b，
解得b＝4x，
∴AH＝x，DH＝b－x＝3x，
∴，
故选：D．
10．（2021·浙江瓯海·三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点M，MN分别交BE，DG于点H，P，若NP＝HP，NF＝2，则四边形ABMN的面积为（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】
先证明，得CD=NF=2，AC=AN，设NG=GE=x，则BD=x，AD=FG=2+x，AB=FE=2+2x，在中，在中，在中，利用勾股定理，得到，结合，即可得到答案．
【详解】
解：∵CD⊥AB，四边形ABEF是矩形，

∴∠ADC=∠F=90°，
∴∠1+∠DAN=∠2+∠DAN，
∴∠1=∠2，
又∵AF＝AD，
∴，
∴CD=NF=2，AC=AN，
又∵∠ACB=∠CAN=∠ANM=90°，
∴四边形ANMC是正方形，
∵NP＝HP，PG∥HE，
∴NG=GE，
设NG=GE=x，则BD=x，AD=FG=2+x，AB=FE=2+2x，
∵在中，,
在中，，
∴在中，+=，即：，
∴，
∴=
==4+6=10．
故选C．

二、填空题
11．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．


【答案】
【分析】
先证明，得到，进而即可求解．
【详解】
∵在正方形ABCD中，AF⊥EG，
∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，
∴∠FAB =∠AGE，
又∵∠ABF=∠GAE=90°，
∴，
∴，即：，
∴BF=．
故答案是：．
12．（2021·浙江绍兴·中考真题）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若，则BC长为_______cm（结果保留根号）．

【答案】
【分析】
根据题意即可求得∠MOD=2∠NOD，即可求得∠NOD=30°，从而得出∠ADB=30°，再解直角三角形ABD即可．
【详解】
解：∵时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O，
∴∠MOD=2∠NOD，
∵∠MOD+∠NOD=90°，
∴∠NOD=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠A=90°，AD=BC，
∴∠ADB=∠NOD=30°，
∴

故答案为：．
13．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，点E是AD上一个动点，把△CDE沿CE向矩形内部折叠，当点D的对应点D′恰好落在矩形的内角平分线上时（∠DCD'为锐角），则cos∠DCD'＝__________________．

【答案】或或或
【分析】
根据D′恰好落在矩形的内角平分线上时，分四种情况，分别考虑，当D'落在∠BCD的平分线上，则∠DCD'=45°即可；当D'落在∠D的平分线上，则∠DCD'=90°，不符合题意；当D'落在∠ABC的平分线上，则∠D'BC=45°，当D'落在∠BAD的平分线上，则∠DAG=45°，都是在Rt△CD'H中，利用勾股定理列出方程，即可求出答案．
【详解】
解：如图1，当D'落在∠BCD的平分线上，则∠DCD'＝45°，cos∠DCD'＝；

当D'落在∠D的平分线上，则∠DCD'＝90°，不符合题意，舍去；
如图2，当D'落在∠ABC的平分线上，则∠D'BC＝45°，
连接BD'，作D'H⊥BC于H，

设D'H＝t，则BH＝t，CH＝8﹣t，
在Rt△CD'H中，由勾股定理得：
t2+（8﹣t）2＝62，
解得：t＝4±，
∵D'H⊥BC，CD⊥BC，
∴∠DCD'＝∠CD'H，
∴cos∠DCD'＝cos∠CD'H＝；
如图3，当D'落在∠BAD的平分线上，则∠DAG＝45°，
连接AD'，过D'作D'H⊥BC于H，延长HD'交AD于G，

设D'G＝t，则AG＝t，D'H＝6﹣t，HC＝8﹣t，
在Rt△CD'H中，由勾股定理得：
（6﹣t）2+（8﹣t）2＝62，
解得t1＝7+（不合题意，舍去），t2＝7﹣，
∴D'H＝6﹣t＝﹣1，
∵D'H⊥BC，CD⊥BC，
∴∠DCD'＝∠CD'H，
∴cos∠DCD'＝cos∠CD'H＝，
综上所述：cos∠DCD'＝或或或．
故答案为：或或或．
14．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）已知，在射线上取一点，在射线上取一点，连接，再作点关于直线的对称点，连接，，得到如下图形．移动点，当时，______；当时，的度数是______．

【答案】90° 30°或150°
【分析】
当AD=BC时,证明OA=OB=OC即可．分两种情况，取BC的中点E，连接AE，DE，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到△ADE是等边三角形，进而依据轴对称的性质得出∠ABD的度数．
【详解】
解：①如图1中，设AD交BC于点O．

∵A,D关于BC对称，
∴OA=OD,AD⊥BC,
∵∠MAN=∠AOC=∠AOB=90°,
∴∠CAO+∠OAB=90°,∠CAO+∠ACO=90°,
∴∠ACO=∠OAB,
∴△AOC∽△BOA,
∴OA2=OB•OC,
∵AD=BC,
∴（BC）2=OC•(BC-OC),
∴BC2-4OC•BC+4OC2=0,
∴(BC-2OC)2=0,
∴BC=2OC,
∴OB=OC=OA,
∴∠ABO=∠OCD=45°,
∴∠ABD=90°．
②分两种情况：
如图，当AB＞AC时，取BC的中点E，连接AE，DE，

则AE=DE=BC，
即BC=2AE=2DE，
又∵BC=2AD，
∴AD=AE=DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED=60°，
又∵BC垂直平分AD，
∴∠AEC=30°，
又∵BE=AE，
∴∠ABC=∠AEC=15°，
∴∠ABD=2∠ABC=30°；
如图，当AB＜AC时，同理可得∠ACD=30°，

又∵∠BAC=∠BDC=90°，
∴∠ABD=150°，
故答案为：90°，30°或150°．
15．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF，MN对折，得到五边形GEFNM．其中，顶点A与D重合于点G，重叠部分GHIJ为正方形，顶点I在EM上，若FN=8cm，EM=10cm，则BC长为______cm．

【答案】
【分析】
先根据折叠图形的性质找对应角和对应边相等，然后根据矩形的性质得到AD//BC，由平行的性质可证角相等，继而可证等腰三角性质，由等腰三角形可证线段相等，再根据勾股定理和解直角三角形进行求解.
【详解】
解：由折叠可得：∠EFB=∠EFI，∠CNM=∠INM，CN=NH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠BFE=∠IEF，∠IMN=∠CNM，
∴∠EFI=∠IEF，∠IMN=∠INM，
∴EI=FI，IM=IN，
∵四边形GHIJ是正方形，
∴HI=JI，∠HIJ=90°，
∴BC=BF+FN+CN=FJ+FN+NH=FI+IJ+FN+IN+IH=2IJ+EM+FN，
∵∠FIN=∠HIJ=90°，
∴FI2+IN2=FN2，
∵FI+IN=IE+IM=EM，
∴FI2+（EM-FI）2=FN2,
由图可知：FI ∴FI=，
∴IM=IN=EM-FI=，
∵AD//BC，
∴∠JIM=∠IFN，
∴IJ=IM×cos∠JIM=IM×cos∠IFN=IM×,
∴BC=10+8+=.
故答案为：.

三、解答题
16．（2021·浙江衢州·中考真题）（推理）
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：．
（运用）
（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．
（拓展）
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．


【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【分析】
（1）根据ASA证明；
（2）由（1）得，由折叠得，进一步证明，由勾股定理得，代入相关数据求解即可；
（3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点在点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得，代入相关数据求解即可．
【详解】
（1）如图，由折叠得到，
，
．
又四边形ABCD是正方形，
，
，
，
又 正方形
，
．

（2）如图，连接，

由（1）得，
，
由折叠得，，
．
四边形是正方形，
，
，
又，
，
．
，，
，．

，
，
（舍去）．
（3）如图，连结HE，

由已知可设，，可令，
①当点H在D点左边时，如图，
同（2）可得，，
，
由折叠得，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
（舍去）．

②当点在点右边时，如图，

同理得，，
同理可得，
可得，，
，
，
（舍去）．

17．（2021·浙江台州·中考真题）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD．


（1）如图2，若点A是劣弧的中点．
①求证：平行四边形ABCD是菱形；
②求平行四边形ABCD的面积．
（2）若点A运动到优弧上，且平行四边形ABCD有一边与⊙O相切．
①求AB的长；
②直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值．
【答案】①证明见解析；②；（2）①AB的长为或；②
【分析】
（1）①利用等弧所对的弦相等可得，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得证；②连接AO，交BD于点E，连接OD，根据垂径定理可得，利用勾股定理求出OE的长，即可求解；
（2）①分情况讨论当CD与相切时、当BC与相切时，利用垂径定理即可求解；②根据等面积法求出AH的长度，利用勾股定理求出DH的长度，根据正切的定义即可求解．
【详解】
解：（1）①∵点A是劣弧的中点，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②连接AO，交BD于点E，连接OD，
，
∵点A是劣弧的中点，OA为半径，
∴，OA平分BD，
∴，
∵平行四边形ABCD是菱形，
∴E为两对角线的交点，
在中，,
∴，
∴；
（2）①如图，当CD与相切时，连接DO并延长，交AB于点F，


∵CD与相切，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，解得，
∴，
∴；
如图，当BC与相切时，连接BO并延长，交AD于点G，


同理可得，，
所以,
综上所述，AB的长为或；
②过点A作，
，
由（2）得：
根据等面积法可得，
解得，
在在中，，
∴，
∴．
18．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形ABCD中，，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，．连结EF，作点D关于直线EF的对称点P．


（1）若，求DF的长．
（2）若，求DF的长．
（3）直线PE交BD于点Q，若是锐角三角形，求DF长的取值范围．
【答案】（1）3；（2）2或6；（3）或
【分析】
（1）根据已知条件可求出，在Rt△EFD中即可求出DF
（2）作点D关于直线EF的对称点P，P分两种情况当P在BD下方时根据等腰三角形的性质即可求出DF，P在BD上方时根据等腰三角形的性质即可求出DF；
（3）作点D关于直线EF的对称点P，P分两种情况①P在BD下方时根据等腰三角形的性质可求出DF，当PE⊥BD时DF最小，当PE⊥AD时，DF最大，②P在BD上方时根据等腰三角形的性质可求出DF，当PE⊥BD时DF最小，当PE⊥AD时，DF最大，；
【详解】
解：（1）如图1，矩形ABCD中，

，
，，
，
点E是AD中点，
，
，
∴△EFD为直角三角形，
∵，
∴
．
（2）第一种情况，如图2，

，
由对称性可得，EF平分，
，

∴是等腰三角形，过点F作FM⊥ED
DM=EM= ，
∵在Rt△DMF中，，
∴．
第二种情况，如图3，

延长PE交BD于M
∵
∴∠EMD=90°
∵
∴
∴，
∵点D关于直线EF的对称点P
∴FE垂直平分PD交PD于H
∴∠HED=60°，∠HDE=30°
∴∠HDF=60°
∴∠EFD=30°
∴是等腰三角形，
∴FE垂直平分DF
∵在Rt△DME中，，
∴
∵．
∴．
综上：DF的长为2或6.
（3）∵是锐角三角形
∴当PE⊥BD时DF最小，当PE⊥AD时，DF最大
由（2）可得当时，
（如图2）或6（如图3）．
当时，
第①种情况，如图4，
EF平分，，
过点F作于点M，
设，则，，
，
，，
．

第②种情况，如图5，

EF平分，，
过点F作于点M，
设，则，，
，
，，
，DF最大值为8，
．
综上：或．
19．（2021·浙江嘉兴·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形
[探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求BC的长．


[探究2]如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明理由．


[探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图3），，存在一定的数量关系，并加以证明．


【答案】[探究1]；[探究2]，证明见解析；[探究3]，证明见解析
【分析】
[探究1] 设，根据旋转和矩形的性质得出，从而得出，得出比例式，列出方程解方程即可；
[探究2] 先利用SAS得出，得出，，再结合已知条件得出，即可得出；
[探究3] 连结，先利用SSS得出，从而证得，再利用两角对应相等得出，得出即可得出结论．
【详解】
[探究1]如图1，

设．
∵矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
∴点，，在同一直线上．
∴，，
∴．
∵，
∴．
又∵点在延长线上，
∴，
∴，∴．
解得，（不合题意，舍去）
∴．
[探究2] ．
证明：如图2，连结．

∵，
∴．
∵，，，
∴．
∴，，
∵，，
∴，
∴．
[探究3]关系式为．
证明：如图3，连结．

∵，，，
∴．
∴，
∵，
，
∴，
∴．
在与中，
，，
∴，
∴，
∴．
∴．
20．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F．

（1）当时，
①求证：；
②连结，若，求的值；
（2）当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连结，若，则当为何值时，是等腰三角形．
【答案】（1）①见解析；②；（2）当或2或时，是等腰三角形．
【分析】
（1）根据菱形的性质得到边相等，对角相等，根据已知条件证明出，得到，由，，得到AC是EF的垂直平分线，得到，，再根据已知条件证明出，算出面积之比；
（2）等腰三角形的存在性问题，分为三种情况：当时，，得到CE= ；当时，，得到CE=2；当时，，得到CE= ．
【详解】
（1）①证明：在菱形中，
，
，
，
，
∴（ASA），
∴．
②解：如图1，连结．
由①知，，
．
在菱形中，，
∴，
设，则．
，
∴，
∴．


（2）解：在菱形中，，
，
，
同理，，
∴．
是等腰三角形有三种情况：
①如图2，当时，，
，
，
，
．
②如图3，当时，
，
，
，
∴．
③如图4，当时，
，
，
，
．
综上所述，当或2或时，是等腰三角形．