考点23图形的轴对称与尺规作图（解析版）练习题

考点23图形的轴对称与尺规作图

考点总结

考点1  轴对称   

1、定义

把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。

2、性质

（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。

（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

3、判定

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4、轴对称图形

把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

真题演练

一、单选题

1．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）二模）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C．D．

【答案】B

【分析】

根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：B．

2．（2021·浙江桐乡·一模）如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一点，将沿直线折叠，得到，连接，．若四边形是菱形，则的长为（    ）．

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】

利用直角三角形中特殊的角度及勾股定理求出边长，再利用点是边的中点及菱形的性质算出菱形对角线的长度，最后通过等量代换求解可得．

【详解】

解：在直角三角形中，，，，

，

，

又是边的中点，

，

又四边形是菱形，

设交于点，

，

将沿直线折叠，得到，

，

在中，

，

由折叠知：

，

，

故选：A．

3．（2021·浙江庆元·一模）如图，己知图形X和直线l．以直线l为对称轴，图形X的轴对称图形是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据轴对称图形的概念解答．

【详解】

解：已知图形的轴对称图形是

故选：C．

4．（2021·浙江诸暨·一模）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断选项，即可求解．

【详解】

解：A．不是中心对称图形,是轴对称图形，不符合题意；

B．是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；

C．既是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意；

D．是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意．

故选B．

5．（2021·浙江余杭·三模）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】

根据关于轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数即可求得m与n的值．

【详解】

根据关于轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数可知

，，

故选：A．

6．（2021·浙江永康·一模）下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（    ）

A．   （笛卡尔爱心曲线） B． （蝴蝶曲线）C． （费马螺线曲线） D．（科赫曲线）

【答案】C

【分析】

根据轴对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；

D、是轴对称图形，故此选项不符合题意．

故选：C．

7．（2021·浙江余杭·一模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【详解】

．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：．

8．（2021·浙江·模拟预测）如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（     ）

A．60° B．30° C．45° D．90°

【答案】C

【分析】

根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到答案．

【详解】

解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，剪下的直角三角形是由两条对角线分割成的4个直角三角形中的一个，若该直角三角形是等腰直角三角形，则剪出的菱形为正方形，

所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．

故选C．

9．（2021·浙江上城·一模）下列图形属于轴对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，故此选项符合题意；

C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：B．

10．（2021·浙江温州·二模）某燕尾槽示意图如图所示，它是一个轴对称图形，，则燕尾槽的里口宽BC的长为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

连接，过点作，由正切的定义解得，，继而证明四边形是矩形，解得，据此解题．

【详解】

解：连接，过点作，如图，

该图是个轴对称图形，

且

四边形是矩形

．

故选择：D

二、填空题

11．（2021·浙江金华·中考真题）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．

（1）ED的长为____________．

（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．

【答案】13       

【分析】

（1）由题意，证明△ABP∽△EDP，根据相似三角形的性质，即可求出ED的长度；

（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,在Rt△BDN中，由勾股定理D′B，可证△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．△AHP′∽△E′FP′，，解得x=1.5．

【详解】

解：（1）由题意，

∵，

∴，

∵从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．

∴，

∴△ABP∽△EDP，

∴，

即，

∴；

故答案为：13．

（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,

在Rt△BDN中，

∵BD=12，DD′=5，

由勾股定理D′B=，

∵∠AHB=∠ABD=∠E′FN=∠BDD′=90°，

∴∠ABH+∠DBD′=∠DBD′+∠DD′B=+∠E′D′F,

∴∠ABH=∠BD′D=∠E′D′F,

∴△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,

∴，，

∴,，

∴，

∵从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．

∴，

∴△AHP′∽△E′FP′，HP′=HB+BP=2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，

P′F= P′D′-FD′=9-，

∴即，

解得x=1.5，

经检验x=1.5是方程的解，

EE′=DE-DE′=13-1.5=11.5=．

故答案为．

12．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）三模）如图，点D是等边△ABC边BC上一点，将等边△ABC折叠，使点A与点D重合，折痕为EF（点E在边AB上）．

（1）当点D为BC的中点时，AE：EB＝________；

（2）当点D为BC的三等分点时，AE：EB＝________．

【答案】1：1    7：5或7：8   

【分析】

（1）连接AD，然后根据折叠的性质和等边三角形的性质求解即可；

（2）分当DC：BD＝1：2时，当DC：BD＝2：1时两种情况，利用相似三角形进行求解即可.

【详解】

解：（1）如图，连接AD，

∵D为BC的中点，△ABC为等边三角形，折叠，

∴AD⊥BC，∠DAB＝∠DAC＝30°，∠B＝60°，

∴∠EDB＝90°﹣30°＝60°＝∠B，

∴△BED为等边三角形，

∴AE＝ED＝BE，即AE：EB＝1：1，

故答案为：1：1；

（2）当DC：BD＝1：2时，

设CD＝k，BD＝2k，

∴AB＝AC＝3k，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠EDF＝∠A＝60°，

∴∠EDB+∠FDC＝∠BED+∠EDB＝120°，

∴∠BED＝∠FDC，

∵∠B＝∠C＝60°，

∴△BED∽△CDF，

∴，

∴，

∴BE＝，

∴AE＝，

∴AE：BE＝7：5，

当DC：BD＝2：1时，

设CD＝2k，BD＝k，

同上一种情况得：，

∴

∴BE＝，

∴AE＝，

∴AE：BE＝7：8，

故答案为：7：5或7：8．

13．（2021·浙江诸暨·一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C在上，且的长为2π，点D在OA上，连接BD，CD，BC，若点C，O关于直线BD对称，则BC长=____________．

【答案】6

【分析】

连结OC，根据点C，O关于直线BD对称，可证△COB为等边三角形，可求∠COB=60°，根据弧长公式可求即可．

【详解】

解：连结OC，

∵点C，O关于直线BD对称，

∴OB=CB，

∵OC=OB，

∴OC=OB=BC，

∴△COB为等边三角形，

∴∠COB=60°，

∵的长为2π，

∴，

∴，

∴BC=6．

故答案为：6．

14．（2021·浙江金华·二模）如图，在中，，点D是的中点，点E在上，将沿折叠，若点B的落点在射线上，则与所夹锐角的度数是________．

【答案】．

【分析】

根据折叠可得三角形全等，根据全等三角形的性质以及中点的性质可得， ，由等腰三角形性质以及三角形外角定理求得度数，在中根据内角和即可求得与所夹锐角的度数．

【详解】

如下图，连接DE，与相交于点O，

将 △BDE 沿 DE 折叠，

，

,

又∵D为BC的中点，，

，

,

,

,

即与所夹锐角的度数是．

故答案为：．

15．（2021·浙江萧山·一模）如图，点是等边边上一点，将等边折叠，使点与点重合，折痕为（点在边上）．

（1）当点为的中点时，__；

（2）当点为的三等分点时，__．

【答案】1:1    或   

【分析】

（1）连接，根据三线合一和折叠得到，进而得到，再证明为等边三角形即可得到即可求出结果；

（2）分两种情况，和，用表示和，然后利用相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，即可求出，然后用表示即可得到结果．

【详解】

解：（1）如图，连接，

∵为的中点，为等边三角形，折得到△DEF，

∴，

∴，

∴为等边三角形，

∴，即，

故答案为：；

（2）当时，

设，

∴，

∵为等边三角形，

∴，

∴，

∴

∵，

∴，

，

∴，

∴，

∴;

当时，

设，

同上一种情况得： ，

∴，

∴，

∴，

故答案为：或．

三、解答题

16．（2020·浙江宁波·中考真题）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：

（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．

（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据轴对称图形的定义画出图形构成一个大的等边三角形即可（答案不唯一）．
（2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）．

【详解】

解：（1）轴对称图形如图1所示．

（2）中心对称图形如图2所示．

17．（2020·浙江金华·中考真题）如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．

（1）求BC边上的高线长．

（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．

①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．

②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．

【答案】（1）4;（2）①90°；②

【分析】

（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．
（2）①证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．
②如图3中，由（1）可知：AC=，证明△AEF∽△ACB，推出，由此求出AF即可解决问题．

【详解】

解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC于点D，

在Rt△ABD中，==4.

（2）①如图2，∵△AEF≌△PEF，

∴AE＝EP.     

又∵AE＝BE ，

∴BE＝EP，

∴∠EPB＝∠B＝45°，

∴∠AEP＝90°.   

②如图3，由（1）可知：在Rt△ADC中，.

∵PF⊥AC，

∴∠PFA＝90°.

∵△AEF≌△PEF，

∴∠AFE＝∠PFE＝45°，则∠AFE＝∠B.

又∵∠EAF＝∠CAB，   

∴△EAF∽△CAB，

∴＝，即＝，

∴AF＝,

在Rt△AFP中，AF＝PF，则AP＝＝.

18．（2021·浙江衢江·一模）如图，在4×4方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上请按要求完成作图，仅用无刻度直尺．画出一个与△ABC全等的且有公共边的格点三角形，并给出证明．

【答案】见解析

【分析】

作点A关于BC的对称点D，连接CD，BD，即可．

【详解】

如图所示，

理由如下：

∵点D与点A关于直线BC对称，

∴AC=DC，AB=DB，

又∵BC=BC，

∴．