考点21与圆有关的计算（解析版）练习题

考点21与圆有关的计算

考点总结

1、如果弧长为l，圆心角的度数为n，弧所在的圆的半径为r，那么弧长的计算公式为 ；

2、设扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，扇形的面积为s，则扇形的面积的计算公式为

    （其中l表示扇形的弧长）；

3、圆柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展开图是扇形；

4、设圆柱的底面半径为R，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积为S＝2πRh，圆柱的全面积为S＝2πR2＋2πRh；

5、设圆锥的底面半径为r，母线长为a，则圆锥的侧面积为S＝πar，圆锥的全面积为

S＝πr2＋πar．

真题演练

一、单选题

1．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

连接OB，OC，由正方形ABCD的性质得，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．

【详解】

解：连接OB，OC，如图，

∵正方形ABCD内接于，

∴

∴

故选：B．

2．（2021·浙江·中考真题）如图，已知点是的外心，∠，连结，，则的度数是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

结合题意，根据三角形外接圆的性质，作；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．

【详解】

的外接圆如下图

∵∠

∴

故选：C．

3．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ）

A． B． C． D．4

【答案】A

【分析】

连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解．

【详解】

解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB

∵在中，，点G是DE的中点，

∴AG=DG=EG

又∵AG=FG

∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径

∴∠DFE=90°

∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，

∴CF=BF=，FN=FM=

又∵FN⊥AC，FM⊥AB，

∴四边形NAMF是正方形

∴AN=AM=FN=

又∵，

∴

∴△NFD≌△MFE

∴ME=DN=AN-AD=

∴AE=AM+ME=3

∴在Rt△DAE中，DE=

故选：A．

4．（2021·浙江衢州·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式直接计算即可．

【详解】

解：．

故选：D

5．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形中，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先判断出点Q在以BC为直径的圆弧上运动，再判断出点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，找到当点P与点A重合时，点P与点D重合时，点C1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．

【详解】

解：设BP与CC1相交于Q，则∠BQC=90°，

∴当点P在线段AD运动时，点Q在以BC为直径的圆弧上运动，

延长CB到E，使BE=BC，连接EC，

∵C、C1关于PB对称，

∴∠EC1C=∠BQC=90°，

∴点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，

当点P与点A重合时，点C1与点E重合，

当点P与点D重合时，点C1与点F重合，

此时，，

∴∠PBC=30°，

∴∠FBP=∠PBC=30°，CQ=，BQ=，

∴∠FBE=180°-30°-30°=120°，，

线段扫过的区域的面积是．

故选：B．

6．（2021·浙江南湖·二模）量角器圆心为，直径，一把宽为3的直尺的一边过点且与量角器交于、两点，如图所示，则弧的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据直角三角形的边角关系求出弧CD所对应的圆心角的度数，再根据弧长公式进行计算即可．

【详解】

解：如图，过点D作DE⊥OC，垂足为E，

∵直尺的宽度为3，即DE=3，

又∵直径AB =12,

∴半径OC=OD = 6，

∴DE=OD，

∴∠COD=30°，

∴，

故选：D．

7．（2021·浙江·温州外国语学校三模）若某圆锥的侧面展开图是一个半圆，已知圆锥的底面半径为r，那么圆锥的高为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设圆锥母线长为R，由题意易得圆锥的母线长为，然后根据勾股定理可求解．

【详解】

解：设圆锥母线长为R，由题意得：

∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，已知圆锥的底面半径为r，

∴根据圆锥侧面展开图的弧长和圆锥底面圆的周长相等可得：，

∴，

∴圆锥的高为；

故选C．

8．（2021·浙江海曙·一模）《九章算术》第一章“方田”中讲述了扇形面积的计算方法：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积为（    ）

A．平方步 B．平方步 C．120平方步 D．240平方步

【答案】C

【分析】

利用扇形面积计算公式即可得出答案．

【详解】

∵弧长30步，其所在圆的直径是16步，

∴这块田面积=××16×30=120（平方步），

故选：C．

9．（2021·浙江杭州·模拟预测）如图，是一张矩形纸片，，按如图方式剪出一张扇形纸片，为中点，弧与相切，把这张扇形纸片围成一个无底圆锥，则这个圆锥的底面半径为（　　）

A． B．2 C． D．4

【答案】D

【分析】

设与切于点 连接如图，根据切线的性质得OH=OE=OF=AB=12，再利用三角函数求出∠BOE=∠COF=30°，则∠EOF=180°-30°-30°=120°，设这个圆锥的底面半径为r，利用弧长公式得到，然后解方程即可．

【详解】

解：设与切于点 连接如图，

∵弧EF与AD相切，

∴OH=OE=OF=AB=12，

∵O为BC中点，

∴OB=OC=AD=6，

在Rt△OBE中，∵，

∴∠BOE=30°，

同理可得∠COF=30°，

∴∠EOF=180°-30°-30°=120°，

设这个圆锥的底面半径为r，

根据题意得，解得r=4，

即这个圆锥的底面半径为4．

故选：D．

10．（2021·浙江杭州·二模）已知圆心角为60°的扇形面积为，则扇形的弧长为（    ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】

根据扇形面积计算公式可先求出半径为，然后再根据弧长计算公式可进行求解．

【详解】

解：由题意得：

，即，

解得：，

∴该扇形的弧长为；

故选D．

二、填空题

11．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，，，点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，连结，点关于直线的对称点为，连接A′C，．在运动过程中，点到直线距离的最大值是_______；点到达点时，线段扫过的面积为___________．

【答案】       

【分析】

（1）通过分析点A′的运动轨迹，是以点C为圆心，CA为半径的圆上，从而求解；

（2）画出相应的图形，从而利用扇形面积和三角形面积公式计算求解

【详解】

解：（1）由题意可得点A′的运动轨迹是以点C为圆心，CA为半径的圆上，

∵点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，，点关于直线的对称点为，

∴∠ACA′最大为90°

当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，如图

过点B作BE⊥AC

∵，，，

∴在Rt△ABE中，BE=1，AE=，

在Rt△BCE中，BE=CE=1

∴CA′=CA=

又∵CA′⊥AB

∴在Rt△ACF中，CF=

∴A′F=A′C-CF=

即点到直线距离的最大值是；

点到达点时，线段扫过的面积为：

==

故答案为：；

12．（2021·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为17，则扇形的弧长为______．

【答案】

【分析】

根据弧长公式l=求解即可．

【详解】

∵扇形的圆心角为，半径为17，

∴扇形的弧长==．

故答案为：

13．（2021·浙江鹿城·二模）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为____________cm2．

【答案】

【分析】

圆锥的侧面积＝×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．

【详解】

∵圆锥的底面半径长为4cm，母线长为5cm，

∴圆锥的侧面积＝×4×5＝20cm2，

故答案为：．

14．（2021·浙江拱墅·二模）已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，则这个圆锥的侧面积为_______．

【答案】240π．

【分析】

根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．

【详解】

解：圆锥的侧面积＝2π×12×20÷2＝240π．

故答案为：240π．

15．（2021·浙江兰溪·一模）如图，在⊙中，圆周角，半径为2，的长________．

【答案】

【分析】

由题意易得∠AOB=90°，然后根据弧长计算公式可求解．

【详解】

解：∵，

∴∠AOB=90°，

∵OA=2，

∴的长；

故答案为．

三、解答题

16．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，在中，，以为直径的半圆O交于点D，过点D作半圆O的切线，交于点E．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）连结，利用圆的切线性质，间接证明：，再根据条件中：且，即能证明：；

（2）由（1）可以证明：为直角三角形，由勾股定求出的长，求出，可得到的度数，从而说明为等边三角形，再根据边之间的关系及弦长所对应的圆周角及圆心角之间的关系，求出，半径,最后根据弧长公式即可求解．

【详解】

解：（1）证明：如图，连结．

与相切，．

是圆的直径，．

．

．

．

．

（2）由（1）可知，，

，

，，

是等边三角形．

,

，

．

17．（2021·浙江·中考真题）如图，已知是⊙的直径，是所对的圆周角，．

（1）求的度数；

（2）过点作，垂足为，的延长线交⊙于点．若，求的长．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）连结，根据圆周角性质，得；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；

（2）根据含角的直角三角形性质，得；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．

【详解】

（1）连结，

是的直径，

，

（2），，

∴

，，且是直径

．

18．（2021·浙江开化·一模）如图，在中，以AC为直径的⊙O交AB边于点D，在AB边上取一点E，使得，连结CE，交⊙O于点F，且．

（1）求证：BC是⊙O的切线．

（2）若⊙O的直径为4，，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）因为AC是直径，所以只需证明BC⊥AC即可；

（2）求弧长，需已知半径和该弧所对的圆心角的度数，而半径已知，所以只需求出圆心角的度数即可，为此，连接OD，设法求∠AOD的度数即可．

【详解】

（1）证明：∵，

∴．

∵，

∴．

∴BC⊥AC．

∴为的切线．

（2）解：如图所示，连结，OD．

∵为的直径，

∴．

∴，

∴．

∵∠ADC=∠ACB=90°，

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

设，则BE=2x，AB=BE+AE=2x+4．

∴，解得，x1=2，x2=-4（不合题意，舍去）．

∴．

在中，

∵，

∴．

∵，

∴∠AOD=2∠ACD=60°．

∴．