考点07分式方程（解析版）练习题

考点07分式方程

考点总结

考点1   分式方程

1、分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：

（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母

（2）解所得的整式方程

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

3、分式方程的特殊解法

换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

4.分式方程的应用

考点2   分式方程的应用

1．由实际问题抽象出分式方程

由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．

（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．

（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．

2．分式方程的应用

（1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．

（2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间．

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．

真题演练

一、单选题

1．（2021·浙江嘉兴·中考真题）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

若设荧光棒的单价为元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”可列方程求解．

【详解】

解：设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，由题意可得：

故选：B．

2．（2021·浙江湖州·模拟预测）解分式方程时，去分母正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

方程两边同乘以(x-3)即可解答

【详解】

解：

方程两边同乘以(x-3)得，

故选：A．

3．（2021·浙江永嘉·一模）某童装店有几件不同款式的衣服，每件衣服的原价一样，6月1日儿童节那天，全场打7折，某宝妈在儿童节那天去购买该款式的衣服时发现：平时花350元购买到的衣服件数比现在少2件，设原价是x元，则根据题意可列出方程（　　）

A．＝ B．＝

C．﹣2＝ D．＝﹣2

【答案】D

【分析】

设原价是x元，则打折后的价格为0.7x元，利用数量＝总价÷单价，结合平时花350元购买到的衣服件数比现在少2件，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【详解】

解：设原价是x元，则打折后的价格为0.7x元，

依题意得：2．

故选：D．

4．（2021·浙江余杭·一模）在一个不透明的盒子中装有4个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为（    ）．

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】B

【分析】

结合题意，根据等可能事件概率的性质列方程并计算，即可得到答案．

【详解】

设黄球的个数为

根据题意得：

∴

∵

∴是的解

故选：B．

5．（2021·浙江宁波·二模）某种罐装凉茶一箱的价格为84元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜0.5元．设每箱凉茶有罐，则下列方程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

关键描述语是：“结果比用原价多买了4罐；等量关系为： 实际买每罐价格-促销每罐价格=0.5．

【详解】

解：原价每罐元，经过促销，每罐元，方程可表示为：，

故答案为：B．

6．（2021·浙江越城·一模）在一只不透明的口袋中放入红球5个，黑球1个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数n是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】

根据概率公式列出关于n的分式方程，解方程即可得．

【详解】

解：根据题意可得＝，

解得：n＝3，

经检验n＝3是分式方程的解，

即放入口袋中的黄球总数n＝3，

故选：A．

二、填空题

7．（2021·浙江宁波·中考真题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．

【答案】或

【分析】

根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可．

【详解】

解：根据题意，

∵点称为点的“倒数点”，

∴，，

∴点B不可能在坐标轴上；

∵点A在函数的图像上，

设点A为，则点B为，

∵点C为，

∴，

①当点B在边DE上时；

点A与点B都在边DE上，

∴点A与点B的纵坐标相同，

即，解得：，

经检验，是原分式方程的解；

∴点B为，

∴的面积为：；

②当点B在边CD上时；

点B与点C的横坐标相同，

∴，解得：，

经检验，是原分式方程的解；

∴点B为，

∴的面积为：；

故答案为：或．

8．（2020·浙江嘉兴·中考真题）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____．

【答案】

【分析】

根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论．

【详解】

解：根据题意得，，

故答案为：

9．（2020·浙江杭州·中考真题）若分式的值等于1，则x＝_____．

【答案】0

【分析】

根据分式的值，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．

【详解】

解：由分式的值等于1，得

＝1，

解得x＝0，

经检验x＝0是分式方程的解．

故答案为：0．

10．（2021·浙江临安·一模）到2020年末，我国高铁运营里程约为3.8万公里，超过世界高铁总里程的60%，现有某高铁平均速度提升50km/h后，行驶700km用时和提速前行驶600km用时相同，求提速后该高铁的平均速度_________km/h．

【答案】350

【分析】

设这次列车提速后的平均速度为，利用行驶700km用时和提速前行驶600km用时相同，列方程即可求出答案．

【详解】

解：设这次列车提速后的平均速度为，则列车提速前的平均速度为，．

由题意列方程得

，

解得，

经检验得是原方程的解．

∴这次列车提速后的平均速度为km/h．

故答案为：350．

11．（2021·浙江·温州市教育教学研究院一模）2021年1月12日世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥主体成功合拢．如图2所示，已知桥底呈抛物线，主桥底部跨度米，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，桥面，抛物线最高点离路面距离米，米，，O，D，B三点恰好在同一直线上，则________米．

【答案】18

【分析】

根据题意设表达式为，得到E、F、B、D的坐标，可得CD，证明△BCD∽△OAB，得到，求出a值，可得CD．

【详解】

解：设抛物线，

则，，

∴，，

∴，

∵B，D，O共线，

∴∠CBD=∠AOB，又∠BCD=∠BAO=90°，

∴△BCD∽△OAB，

∴，

∴，

解得：，

经检验：是原方程的解，

∴．

故答案为：18．

三、解答题

12．（2021·浙江·中考真题）解分式方程：．

【答案】

【分析】

先将分式方程化成整式方程，然后求解，最后检验即可．

【详解】

解：

．   

．

经检验，是原方程的解．

13．（2021·浙江温州·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．

（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？

（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．

①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？

②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？

【答案】（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元

【分析】

（1）设乙食材每千克进价为元，根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克列分式方程即可求解；

（2）①设每日购进甲食材千克，乙食材千克．根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求解；

②设为包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m的函数关系式，再根据A的数量不低于B的数量，可以得到m的取值范围，从而可以求得总利润的最大值．

【详解】

解：（1）设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，

由题意得，解得．

经检验，是所列方程的根，且符合题意．

（元）．

答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元．

（2）①设每日购进甲食材千克，乙食材千克．

由题意得，解得

答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克．

②设为包，则为包．

记总利润为元，则

．

的数量不低于的数量，

，．

，随的增大而减小。

当时，的最大值为2800元．

答：当为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元．

14．（2020·浙江·中考真题）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．

（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产?

（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：

方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．

方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．

设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．

①求乙车间需临时招聘的工人数；

②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．

【答案】（1）甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产；（2）①乙车间需临时招聘5名工人；②选择方案一能更节省开支．

【分析】

（1）设甲、乙两车间各有x、y人，根据甲、乙两车间共有50人和甲、乙两车间20天共生产零件总数之和为2700个列方程组，解方程组即可解决问题；

（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，根据“完成生产任务的时间相同”列分式方程求解即可；

②先求得企业完成生产任务所需的时间，分别求得需增加的费用，再比较即可解答．

【详解】

（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得：

，

解得．

∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产；

（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：

=，

解得m=5．

经检验，m=5是原方程的解，且符合题意，

∴乙车间需临时招聘5名工人；

②企业完成生产任务所需的时间为：

=18（天）．

∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500=17700（元）．

选择方案二需增加的费用为5×18×200=18000（元）．

∵17700＜18000，

∴选择方案一能更节省开支．

15．（2020·浙江温州·中考真题）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．

（1）4月份进了这批T恤衫多少件？

（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．

①用含a的代数式表示b；

②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．

【答案】（1）300件；（2）①；②3900元；

【分析】

（1）设3月份购进T恤x件，则该单价为元，4月份购进T恤2x件，根据等量关系，4月份数量是3月份的2倍可得方程，解得方程即可求得；

（2）①甲乙两家各150件T恤，甲店总收入为，乙店总收入为，甲乙利润相等，根据等量关系可求得ab关系式；②根据题意可列出乙店利润关于a的函数式，由以及①中的关系式可得到a的取值范围，进而可求得最大利润.

【详解】

（1）设3月份购进T恤x件，

由题意得：，解得x=150，

经检验x=150是分式方程的解，符合题意，

∵4月份是3月份数量的2倍，

∴4月份购进T恤300件；

（2）①由题意得，甲店总收入为，

乙店总收入为，

∵甲乙两店利润相等，成本相等，

∴总收入也相等，

∴=，

化简可得，

∴用含a的代数式表示b为：；

②乙店利润函数式为，

结合①可得，

因为，，

∴，∴=3900，

即最大利润为3900元.