18.1.3 三角形的中位线定理 （课件+教案+学案+练习）

18.1.3 三角形的中位线定理 练习

一、选择——基础知识运用

1．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（　　）

A．8 B．10 C．12 D．14

2．如图，在△ABC中，AC=8，BC=12，AF交BC于F，E为AB的中点，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足为D，连接DE，则DE的长为（　　）

A．2 B．    C．3 D．4

3．如图，△ABC的中线BE与CD交于点G，连接DE，下列结论不正确的是（　　）

A．点G是△ABC的重心

B．DE∥BC

C．△ABC的面积=2△ADE的面积

D．BG=2GE

4．如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（　　）

A．线段EF的长逐渐增长

B．线段EF的长逐渐减小

C．线段EF的长始终不变

D．线段EF的长与点P的位置有关

5．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为6m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（　　）

A．AB=12m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2

二、解答——知识提高运用

6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证：AN= AC。

7．如图，已知：四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H．求证：∠AHF=∠BGF。

8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．则四边形AEFD是什么特殊的四边形？请说明理由。

9．如图，在△ABC中，E，F分别为AB，BC边上的中点，G，H是AC的三等分点，EG，FH的延长线交于点D．求证：①DG：EG=2：1；②四边形ABCD是平行四边形。

10．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的中线，延长AB到点E，使BE=AB，连接CE．求证：CD= CE。

11．如图，△ABC的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线组成第三个三角形，依此类推。

（1）若△ABC的周长为1，则第2014个三角形的周长是多少？第n个三角形的周长呢？

（2）若S△ABC=1，则第2014个三角形的面积是多少？第n个三角形的面积呢？

参考答案

一、选择——基础知识运用

1．【答案】C

【解析】∵点D、E分别是边AB，BC的中点，

∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，

∴DE∥BC且DE= AC，

又∵AB=2BD，BC=2BE，

∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），

即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，

∵△DBE的周长是6，

∴△ABC的周长是：6×2=12。

故选：C。

2．【答案】A

【解析】∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠FCD，

在△ACD和△FCD中，

∠ACD＝∠FCD；CD＝CD；∠ADC＝∠FDC，

∴△ACD≌△FCD，

∴FC=AC=8，AD=DF，

∴BF=BC-CF=4，

∵E为AB的中点，AD=DF，

∴DE是△ABF的中位线，

∴DE= BF=2，

故选：A。

3．【答案】C

【解析】∵△ABC的中线BE与CD交于点G，

∴点G是△ABC的重心，

∴DE∥BC且DE= BC，所以选项A、B正确；

∵点G是△ABC的重心，根据重心性质或利用三角形相似可得BG=2GE，

∴选项D正确；

由△ADE∽△ABC，可知△ABC的面积=4△ADE的面积，

所以选项C错误。

故选C。

4．【答案】C

【解析】连接AR，

∵矩形ABCD固定不变，R在CD的位置不变，

∴AD和DR不变，

∵由勾股定理得：AR2= AD2+DR2，

∴AR的长不变，

∵E、F分别为AP、RP的中点，

∴EF=AR，

即线段EF的长始终不变，

故选C。

5．【答案】D

【解析】∵M、N分别是AC、BC的中点，

∴MN是△ABC的中位线，CM=AM，

∴MN∥AB，MN= AB，AB=2MN=12m，CM：MA=1：1，

∴△CMN∽△CAB；

故选：D。

二、解答——知识提高运用

6．【答案】作DM∥BN交AC于M，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC，又DM∥BN，

∴NM=MC，

∵点P是AD的中点，DM∥BN，

∴AN=NM，

∴AN=NM=MC，即AN= AC。

7．【答案】连接AC，作EM∥AD交AC于M，连接MF。如下图：

∵E是CD的中点，且EM∥AD，

∴EM= AD，M是AC的中点，又因为F是AB的中点

∴MF∥BC，且MF= BC。

∵AD=BC，

∴EM=MF，三角形MEF为等腰三角形，即∠MEF=∠MFE。

∵EM∥AH，∴∠MEF=∠AHF

∵FM∥BG，∴∠MFE=∠BGF

∴∠AHF=∠BGF。

8．【答案】四边形AEFD是平行四边形；理由如下：

∵AB=DC，

∴梯形ABCD是等腰梯形，

∴∠BAD=∠ADC，

∵∠C=60°，

∴∠BAD=∠ADC=120°，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=30°，

∴∠DBC=∠ADB=30°，

∴∠BDC=90°，

∴BD⊥DC，

∵AE⊥BD，

∴AE∥DC，

又∵AE为等腰三角形ABD的高，

∴E是BD的中点，

∴EF是△BDC的中位线，

∴EF∥BC，

∴EF∥AD，

∴四边形AEFD是平行四边形。

9．【答案】②连接BD交AC于O，连结BG，BH，如图所示：

∵E是AB中点，AG=GH

∴AE=BE，EG是△ABH的一条中位线，

∴EG∥BH，即GD∥BH，

同理可证BG∥DH，

∴四边形BHDG是平行四边形．

∴BO=OD，GO=OH，

又∵AG=HC，

∴AG+GO=HC+OH，

即AO=OC，

又∵BO=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形；

①∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=2AE，AB∥CD，

∴△CDG∽△AEG，

∴DG：EG=CD：AE=2：1。

10．【答案】作BF∥AC交EC于F，

∴∠FBC=∠ACB，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

∴∠FBC=∠ABC，

∵BF∥AC，BE=AB，

∴BF= AC，CF= CE，

∵CD是AB边上的中线，∴BD= AB，

∴BF=BD，

在△FBC和△DBC中，

BF＝BD；∠FBC＝∠DBC；BC＝BC，

∴△FBC≌△DBC，

∴CD=CF，

∴CD= CE。

11．【答案】（1）∵△ABC的三条中位线组成第二个三角形，

∴第二个三角形与△ABC的周长之比是1：2，

则第二个三角形的周长为，

第三个三角形的周长为，

则第2014个三角形的周长是，第n个三角形的周长；

（2）∵△ABC的三条中位线组成第二个三角形，

∴第二个三角形与△ABC的面积之比是1：4，

则第二个三角形的面积为，

第三个三角形的面积为，

则第2014个三角形的面积是，第n个三角形的面积。