考点14反比例函数（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

考点14反比例函数

考点总结

一、反比例函数的概念

1.定义:形如为常数)的函数叫做反比例函数,其中是自变量,是的函数.

2.变式:或.

二、反比例函数的图象与性质

1.图象:反比例函数的图象是双曲线，且关于直线和成轴对称,关于原点成中心对称.

2.性质:

当时,图象的两个分支在第一、三象限,在每一个象限内,随增大而减小；

当时,图象的两个分支在第二、四象限,在每一个象限内,随增大而增大；

的意义:在反比例函数的图象上任取一点,过这点分别作轴、轴的平行线,两平行线与坐标轴围成的矩形的面积等于

三、求反比例函数的解析式

待定系数法:设,由已知条件求出的值,从而确定解析式.

注意:因为反比例函数只有一个待定的末知数,所以只需要一个条件即可确定反比例函数,这个条件可以是图象上的一个点的坐标,也可以是x、y的一组对应的值.

真题演练

一、单选题

1．反比例函数（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为，则k的值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】

首先假设点A在该反比例函数图象上，即可求出此时k的值．再根据实际，即可判断k的取值范围，即可选择．

【详解】

假设点A在该反比例函数图象上，

∴，

∵点A实际在该反比例函数图象上方，

∴．

选项中只有A选项的值小于2．

故选A．

2．在平面直角坐标系中，点A，B是直线与双曲线的交点，点B在第一象限，点C的坐标为（6，-2）．若直线BC交x轴于点D，则点D的横坐标为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】

想根据题意求出点B坐标，再根据点B和点C坐标求出直线BC函数表达式即可求出与x轴交点D横坐标．

【详解】

∵点A，B是直线与双曲线 的交点，

∴联立方程得：，

经检验解得：，

∵点B在第一象限，

∴代入x=2得：点B坐标为（2，2），

设直线BC解析式为y=kx+b，代入点B和点C坐标，得，

解得：，

故直线BC函数表达式为：y=-x+4，

∵y=-x+4与x轴相交，故y=0，

即-x+4=0，

解得：x=4，

故选：C

3．在平面直角坐标系中，若函数图象上任意两点，均满足．下列四个函数图象中，

所有正确的函数图象的序号是（    ）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

【答案】D

【分析】

根据二次函数、一次函数及反比例函数的性质可直接进行排除选项．

【详解】

解：由①的函数图象可得一次函数的k＜0，则有y随x的增大而减小，当时，，所以，故不符合题意；

由②的函数图象可得一次函数的k＞0，则有y随x的增大而增大，即当时，，所以，故符合题意；

由③的函数图象可得二次函数的开口向上，对称轴为y轴，则有当x≤0时，y随x的增大而减小，当x≥0时，y随x的增大而增大，所以当，，则，当，，则，当时，则或，则或，故不符合题意；

由④的图象可得反比例函数的k＜0，则有y随x的增大而增大，即当时，，所以，故符合题意；

∴符合函数图象上任意两点，均满足的函数图象为②④；

故选D．

4．设，，，是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论，其中正确的是（    ）．

①四边形可以是平行四边形；②四边形可以是菱形；③四边形不可能是矩形；④四边形不可能是正方形．

A．①② B．①③ C．①④ D．③④

【答案】C

【分析】

过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．

【详解】

解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．

由对称性可知，OA=OC，OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．

∵反比例函数的图象在一，三象限，

∴直线AC与直线BD不可能垂直，

∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，

同理，当反比例函数的图象在二，四象限时，

直线AC与直线BD不可能垂直，

∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，

故选项①④正确，

故答案为：①④，

5．已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：

对于y与x的函数关系有以下4个描述①可能是正比例函数关系；②可能是一次函数关系；③可能是反比例函数关系；④可能是二次函数关系．所有正确的描述是（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【答案】C

【分析】

根据表格中x和y值得变化规律判断即可．

【详解】

解：根据表格数据判断xy=6，故有可能为反比例函数；x从-3到3，y的值在增加，然后x从3到6，y值在减小，所以也有可能是二次函数．

故选：C

6．下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（    ）

A．圆的周长与其半径的关系

B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系

C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系

D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系

【答案】B

【分析】

判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．

【详解】

A. 圆的周长与其半径是正比例关系，不符合题意，

B. 平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高成反比例关系，符合题意，

C. 销售单价一定时，销售总价与销售数量成正比例关系，不符合题意，

D. 汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间成正比例关系，不符合题意，

故选B．

7．在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是（    ）

A．正比例函数关系 B．反比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系

【答案】B

【分析】

根据杠杆平衡条件：F1L1=F2L2，并结合题意可得左侧F1L1是定值，从而进行判断．

【详解】

解：由杠杆平衡条件：F1L1=F2L2，

∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，

∴力F与力臂L的乘积是定值，即力F与力臂L满足反比例函数关系

故选：B．

8．已知某函数的图象过，两点，下面有四个推断：

①若此函数的图象为直线，则此函数的图象和直线平行

②若此函数的图象为双曲线，则此函数的图象分布在第一、三象限

③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与轴的负半轴相交

④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线左侧

所有合理推断的序号是（   ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】D

【分析】

①利用待定系数法求出一次函数解析式，根据一次函数平移的性质解答；②待定系数法求出函数解析式，根据设反比例函数的图象性质解答；

③根据题意画出图象，由此得到结论；④根据二次函数的对称性解答．

【详解】

①设一次函数解析式为：y=kx+b

∵一次函数的图像过点A（2,1）,B（-1,-2），将两点坐标代入解析式，得：

，解得，

所以该一次函数的解析式为：y=x-1，

∴此函数的图象和直线不平行，故①错误；

②设反比例函数解析式为，将点A坐标代入，得，

∴反比例函数解析式为，

∵k=2>0，

∴函数的图象的两个分子分布在第一、三象限，故②正确；

③∵函数的图象为抛物线，且开口向下，过，，

当对称轴在直线左侧时，抛物线不与y轴的负半轴相交，如图1，故③错误；

④函数的图象为抛物线，且开口向上，过，，

∵点A在第一象限，点B在第三象限，

∴点A与点B不是抛物线上关于对称轴对称的两个点，

∴此函数图象对称轴在直线左侧，故④正确；

故选：D．

．

9．设A（ x1  ， y1）、B （x2  ， y2）是反比例函数 图象上的两点．若x1＜x2＜0，则y1与y2之间的关系是（   ）

A．y1＜y2＜0                         B．y2＜y1＜0                                      C．y2＞y1＞0                                      D．y1＞y2＞0

【答案】B

【分析】

先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0即可得出结论．

【详解】

∵反比例函数中，k=2>0，

∴函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，

∵x1＜x2＜0，
∴0>y1＞y2．

故选：B

10．在平面直角坐标系中，函数的图象与直线：交于点，与直线：交于点，直线与交于点，记函数的图象在点、之间的部分与线段，线段围城的区域（不含边界）为，当时，区域的整点个数为（    ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．没有

【答案】D

【分析】

根据解析式画出函数图象，根据图形W得到整点个数进行选择.

【详解】

∵，过整点（-1，-2），（-2，-1），

当b=时，如图：区域W内没有整点，

当b=时，区域W内没有整点，

∴时图形W增大过程中，图形内没有整点，

故选：D.

二、填空题

11．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为_______．

【答案】0

【分析】

根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.

【详解】

解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，

∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，

∴，

故答案为：0.

12．如图，正比例函数的图象和反比例函数的图象交于，两点，分别过点，作轴的垂线，垂足为点，，则△与的面积之和为________．

【答案】1

【分析】

由关于原点成中心对称，反比例函数的系数的几何意义可得答案．

【详解】

解： 正比例函数的图象和反比例函数的图象交于，两点，

关于原点成中心对称，

，垂足分别为

故答案为1．

13．“单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值．如图描述了某次单词复习中M，N，S，T四位同学的单词记忆效率y与复习的单词个数x的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是 ___．

【答案】S

【分析】

画出过点N的反比例函数图像，根据题意得到正确默写出的单词个数即为 “单词的记忆效率”对应点所在的矩形的面积大小，通过反比例函数的几何性质即可判断．

【详解】

解：如图，

设M，N，S，T四个同学的“单词的记忆效率”对应点所在的长方形的面积分别记作SM，SN，SS，ST，

则ST＜SN＜SM＜SS，

∴这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是S．

故答案为：S．

14．设函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则_____．

【答案】2

【分析】

首先根据k与x的取值分析函数，的增减性，根据增减性确定最值，进而求解．

【详解】

解：∵k＞0，2≤x≤3，

∴y1 随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，

∴当x＝2时，y1取最大值，最大值为=a①；

当x＝2时，y2 取最小值，最小值为−＝a−4②；

由①②得a＝2，k＝4，

故答案为：2．

15．写出一个反比例函数表达式，使它的图象与直线有公共点，这个函数的表达式为_______．

【答案】（符合且k≠0即可）

【分析】

设这个反比例函数表达式为：（k≠0），联立两函数整理为一元二次方程，根据函数有交点可得，从而求得k的取值范围，写出符合条件的一个即可（注意k≠0）．

【详解】

解：设这个反比例函数表达式为：（k≠0）与联立得：

，整理得：，

当时，方程有解，此时两函数图象有公共解，

解得且k≠0，

故这个函数的表达式为：（符合且k≠0即可）．

三、解答题

16．如图，A、B两点在函数的图象上．

（1）求的值及直线AB的解析式；

（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出函数的图象与直线AB围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．

【答案】（1）m=5，y=－x＋6；（2）（2，3），（3，2）

【分析】

（1）利用待定系数法即可求得答案；

（2）分别将x=2或3或4，代入y=-x+6和y=两个函数解析式中，求出对应的纵坐标，再根据围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．

【详解】

解：（1）由图可知，A（1，5），B（5，1），

将A（1，5）代入y=中，得m=5，

∴y=，

设直线AB的解析式为y=kx+b，得：

，

解得，，

∴直线AB的解析式为y=-x+6；

（2）由题意，得：1＜x＜5，

∴x=2或3或4，

分别代入y=-x+6和y=两个函数解析式中，满足条件的格点坐标是（2，3），（3，2）．

17．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，两点．

（1）求的值；

（2）已知点，过点作轴的垂线，分别交直线 和反比例函数的图象于点，若线段的长随的增大而增大，直接写出的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）由点，在反比例函数的图象上，代入反比例函数的方程组，解方程组即可；

（2）由A（-1，2）B（2，-1）可求直线与反比例函数，当x=a时两交点M（a，-a+1），N（a，）利用两点距离公式可求MN=，当时化简MN=设x1，x2是上任意两个数且，对应的MN值分别y1，y2，，可得，MN在随着a的增大而减小，当时化简得MN=，设x1，x2是上任意两个数且，对应的MN值分别y1，y2，，可得，，MN=随着a的增大而增大即可．

【详解】

解：（1）∵点，在反比例函数的图象上，

∴，

解得：；

（2）∵A（-1，2）B（2，-1）在直线上，

∴，

解得，

直线，

反比例函数，

当x=a时M（a，-a+1），N（a，），

MN=，

当时MN=，

设x1，x2是上任意两个数且，x1，x2对应的MN值分别y1，y2，

，

，

∵，

，

∴，MN=随着a的增大而减小，

∴MN在随着a的增大而减小，

当时MN=，

设x1，x2是上任意两个数且，x1，x2对应的MN值分别y1，y2，

，

，

∵，

，

∴，MN=随着a的增大而增大，

∴的取值范围是．

18．如图，在平面直角坐标系中，是直线与函数的图象G的交点．

（1）①求a的值；

②求函数的解析式．

（2）过点且垂直于x轴的直线与直线和图象G的交点分别为，当时，直接写出n的取值范围．

【答案】（1）①；②；（2）

【分析】

（1）①把点A代入一次函数的解析式，即可确定a值；②把确定后的点A的坐标代入反比例函数的解析式即可确定解析式．

（2）根据函数的解析式，得方程，解方程，得x=3或x=-2，不符合题意，舍去，根据题意，画示意图解答即可．

【详解】

解：（1）①∵点在直线上，

∴．

②∵点在函数的图象上，

∴．

∴．

（2）如图，根据题意，得方程，解方程，得x=3或x=-2，

经检验：它们都是原方程的根，

结合图像可得：点A（3，2），

∵，

∴点M在点N的上方，

故．