考点22图形的对称、平移、旋转（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

考点22图形的对称、平移、旋转

考点总结

一、图形的轴对称

1．定义：

(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线对折后，如果能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点．

(2)轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．

2．性质：

(1)对称点的连线被对称轴垂直平分；

(2)对应线段相等，对应角相等；

(3)成轴对称的两个图形是全等图形．[来

二、图形的中心对称

1．定义：[来源:学&科&网Z&X&X&K]

(1)中心对称：把一个图形绕着一点旋转180°后，如果与另一个图形重合，那么这两个图形叫做关于这一点成中心对称，这个点叫做对称中心，旋转前后的点叫做对称点．

(2)中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

2．性质：

(1)关于某点成中心对称的两个图形是全等图形；

(2)关于某点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．

3．图形折叠问题

折叠问题是轴对称变换，折痕所在直线就是轴对称问题中的对称轴；应用时注意折叠所对应的图形，抓住它们之间的不变关系及其性质，寻找相等的量．

三、图形的平移

1．定义：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种变换，叫做平移变换，简称平移．确定一个平移变换的条件是平移的方向和距离．[来源:Z§xx§k.Com]

2．性质：

(1)平移不改变图形的形状与大小，即平移前后的两个图形是全等图形；

(2)连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等；

(3)对应线段平行(或共线)且相等；

(4)对应角相等．

四、图形的旋转

1．定义：

在平面内，把一个平面图形绕着一个定点沿着某个方向旋转一定的角度，图形的这种变换，叫做旋转变换．这个定点叫做旋转中心，这个角度叫旋转角．图形的旋转由旋转方向和旋转角所决定．

2．性质：

(1)图形上的每一点都绕着旋转中心沿着相同的方向旋转了同样大小的角度；

(2)旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化，即它们是全等的；[来源:]

(3)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；

(4)对应点到旋转中心的连线所成的角相等，并且等于旋转角．

五、简单的平移作图与旋转作图

1．平移作图的步骤：

(1)首先找出原图形中的关键点，如多边形的顶点，圆的圆心；

(2)根据平移的距离与方向，画出特殊点的对应点；[来源:ZXXK]

(3)顺次连接各对应点，就得到原图形平移后的图形．

2．旋转作图的步骤：

(1)找出旋转中心与旋转角；

(2)找出构成图形的关键点；

(3)作出这些关键点旋转后的对应点；

(4)顺次连接各对应点．

真题演练

一、单选题

1．在数轴上，点A，B分别表示实数a，b，将点A向左平移1个单位长度得到点C，若点C，B关于原点O对称，则下列结论正确的是（    ）

A．a+b＝1 B．a+b＝﹣1 C．a﹣b＝1 D．a﹣b＝﹣1

【答案】A

【分析】

先由点A向左平移1个单位长度得到点C知，再根据点C，B关于原点O对称可知，据此可得答案．

【详解】

由题意知

因为点C，B关于原点O对称

∴

则

故选：A．

2．下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据平移的性质，再结合图形逐项排查即可解答．

【详解】

解：在选项中的各组图形中，只有选项A中的图形是一个图形经过平移能得到另一个图形．

故答案为A．

3．如图，直线m⊥n．在平面直角坐标系xOy中，x轴∥m，y轴∥n．如果以O1为原点，点A 的坐标为（1，1）．将点O1平移2个单位长度到点O2，点A的位置不变，如果以O2为原点，那么点A的坐标可能是（　　）

A．（3，﹣1） B．（1，﹣3） 

C．（﹣2，﹣1） D．（2+1，2+1）

【答案】A

【分析】

根据题意画出图形，利用平移的特征结合图形即可求解．

【详解】

如图，由题意，可得O1M=O1N=1．

∵将点O1平移2个单位长度到点O2，

∴O1O2=2，O1P=O2P=2，

∴PM=3，

∴点A的坐标是（3，﹣1），

故选A．

4．在直角坐标系中，点A（2，1）向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为（ ）

A．（4，3） B．（﹣2，﹣1） C．（4，﹣1） D．（﹣2，3）

【答案】B

【解析】

让点A的横坐标减4，纵坐标减2即可得到平移后的坐标．

解：点A（2，1）向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后点的横坐标为2﹣4=﹣2；纵坐标为1﹣2=﹣1；即新点的坐标为（﹣2，﹣1），故选B．

5．冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（    ）

A．                    B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据轴对称图形的特征直接判断即可．

【详解】

解：观察图形可发现是轴对称图形，

故选：D．

6．七巧板是我国的一种传统智力玩具．下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据轴对称图形的定义去逐一判断即可．

【详解】

解：A是轴对称图形，符合题意，

不是轴对称图形，不符合题意，

不是轴对称图形，不符合题意，

不是轴对称图形，不符合题意，

故选A．

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1），如果将线段OA绕点O逆时针方向旋转90°，那么点A的对应点的坐标为（　　）

A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）

【答案】A

【分析】

作OB⊥OA，且OA=OB，则B点即为A 点的对应点.作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，通过证明△AOC≌△BOD即可求出B点坐标.

【详解】

如图：作OB⊥OA，且OA=OB，则B点即为A 点的对应点.作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，

∵OB⊥OA，且OA=OB，

∴点B即为A点的对应点，

∵∠AOC+∠BOD=90°，∠DBO+∠BOD=90°，

∴∠AOC=∠BOD，

∵OA=OB，∠BDO=∠ACO=90°，

∴△BOD≌△AOC，

∴OD=AC=1，BD=OC=2，

∴点B坐标为（-1，2），

故选A.

8．将△ABC平移得到△，若，则的度数是（    ）

A．10° B．80° C．100° D．160°

【答案】B

【分析】

利用平移的性质证明四边形为平行四边形，根据对角相等即可解答．

【详解】

解：由题意作下图：

由平移的性质知，

，

四边形为平行四边形，

，

，

，

故选：B．

9．如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ）

A．4.5 B．4 C．3 D．5

【答案】B

【分析】

连接、，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长．

【详解】

解：连接、，

点为的内心，

平分，

，

由平移得：，

，

，

，

同理可得：，

的周长，

即图中阴影部分的周长为4，

故选：B．

10．如图在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1），将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2），则点C对应的点C1的坐标是（    ）

A．C1（2，2） B．C1（2，1） C．C1（2，3） D．C1（3，2）

【答案】D

【分析】

根据图形中点B平移前后的坐标得到平移的规律解答．

【详解】

解：∵B（﹣4，1），将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2），

∴点B向右平移5个单位，再向上平移了1个单位，即点B的横坐标加5，纵坐标加1，

∵C（﹣2，1），

∴点C对应的点C1的坐标是(3，2)，

故选：D．

二、填空题

11．在平面直角坐标系中，点绕坐标原点顺时针旋转90°后，恰好落在如图中阴影区域（包括边界）内，则的取值范围是____________．

【答案】

【分析】

由题意，将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线交于C，D两点，则点A在线段CD上，据此可得m的取值范围．

【详解】

解：如图，将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线交于C，D两点，则点A（，m）在线段CD上，

又∵点D的纵坐标为2，点C的纵坐标为3，

∴m的取值范围是2≤m≤3，

故答案为：．

12．请写出一个是中心对称图形而不是轴对称图形的多边形，它的名字可以是_____________．

【答案】平行四边形

【分析】

根据中心对称图形和轴对称图形的定义即可得．

【详解】

由平行四边形的性质可知，平行四边形是中心对称图形而不是轴对称图形

故答案为：平行四边形．（答案不唯一）

13．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接．若，则________．

【答案】

【分析】

先根据旋转的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得．

【详解】

由旋转的性质得：，

，即，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：50．

14．对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12 、宽为6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数．

甲：如图2，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n=14．

乙：如图3，思路是当为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n=14．

丙：如图4，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n=13．

甲、乙、丙的思路和结果均正确的是___________ ．

【答案】甲、乙

【分析】

根据矩形长为12宽为6，可得矩形的对角线长为，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于，进而可得正方形边长的最小整数n的值．

【详解】

∵矩形长为12宽为6，
∴矩形的对角线长为：，

∵矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，
∴该正方形的边长不小于，

∵，

∴该正方形边长的最小整数n为14．
故甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，结果也正确；

乙的思路正确，长方形对角线就是圆的直径最长，只要圆能通过就可以，结果也正确；
丙的思路错误，长方形对角线最长，只要对角线能通过才可以，故丙的思路与结果都错误；

故答案为：甲、乙．

15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，将关于直线对称，得到，则点C的对应点的坐标为___________；再将向上平移一个单位长度，得到，则点的对应点的坐标为_________．

【答案】       

【分析】

根据对称点的性质可知，对应点的纵坐标与点C的纵坐标相同，然后利用中点坐标公式计算出点C的横坐标即可解决；点是由点向上平移一个单位长度得到，根据平移规律解决即可.

【详解】

解：根据对称的性质可知，点的纵坐标为2，

设点的横坐标为m，

∵两点关于直线x=4对称

∴，

∴m=5，

∴的坐标为（5,2）

根据平移的规律可知，

点是由点向上平移一个单位长度得到，

故的横坐标不变为5，

的纵坐标为：2+1=3.

故点的坐标.

故答案是：；

三、解答题

16．如图， 在中，，为上一点且，于点，点关于点的对称点为点，交于点．

（1）依题意补全图形

（2）求的度数

（3）写出、、之间的等量关系，并证明

【答案】（1）见解析；（2）60°；（3），见解析

【分析】

（1）根据轴对称的特征补全图形；
（2）由三角形外角的性质及等腰三角形的性质得出答案；
（3）在CD是取点P，使FP=FD，连接FP，证明△CPF≌△ADB（AAS），得出AD=PC，BD=PF，则可得出答案．

【详解】

解：（1）根据题意画出图形如图1，

（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵点A关于点E的对称点为点F，CE⊥AD，
∴AC=CF，∠ACE=∠ECF，
∴∠AGC=∠B+∠BCG=∠B+∠ACB-∠ACF=2∠B-2∠ECF，
∵∠ECF=90°-∠EFC，∠EFC=60°+∠BCG，
∴∠AGC=2∠B-180°+120°+2∠BCG，
∴∠AGC=60°；
（3）CD=AD+BD．
证明：如图2，在CD是取点P，使FP=FD，连接FP，

∵∠ADC=60°，
∴△PDF为等边三角形，
∴∠DPF=60°，
∴∠FPC=120°，
∴∠ADB=∠FPC，
又∵AC=CF，AB=AC，
∴AB=CF，

由（2）知，∠AGC=60°

∴∠AGC=∠B+∠BCG=60°，∠ADC=∠B+∠BAD=60°
∴∠BAD=∠BCG，
∴△CPF≌△ADB（AAS），
∴AD=PC，BD=PF，
∴CD=DP+PC=AD+BD．

17．已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．

（1）依题意补全图形；

（2）AE与DF的位置关系是           ；

（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D 在运动变化的过程中，∠DAF的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF=     °，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：

想法1：过点A作AG⊥CF于点G，构造正方形ABCG，然后可证△AFG≌△AFE……

想法2：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，构造□ABGF，然后可证△AFE≌△BGC……

请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．

【答案】（1）详见解析；（2）互相垂直；（3）45°，证明详见解析

【分析】

（1）根据题意正确画图；
（2）证明△ABD≌△AED（SSS），可得∠AED=∠B=90°，从而得结论；
（3）想法1：如图2，过点A做AG⊥CF于点G，先证明四边形ABCG是正方形，得AG=AB，∠BAG=90°，再证明Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），得∠GAF=∠EAF，根据∠BAG=90°及角的和可得结论；
想法2：如图3，过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，证明四边形ABGF是平行四边形，得AF=BG，∠BGC=∠BAF，再证明Rt△AEF≌Rt△BCG （HL），同理根据∠BCG=90°及等量代换，角的和可得结论．

【详解】

（1）补全图形如下：  

（2）AE与DF的位置关系是：AE⊥DF，
理由是：∵点B关于直线AD的对称点为E，
∴AB=AE，BD=DE，
∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED（SSS），
∴∠AED=∠B=90°，
∴AE⊥DF；
故答案为：AE⊥DF；
（3）猜想∠DAF=45°；
想法1：
证明如下：如图2，过点A做AG⊥CF于点G，

依题意可知：∠B=∠BCG=∠CGA=90°，
∵AB=BC，
∴四边形ABCG是正方形，
∴AG=AB，∠BAG=90°，
∵点B关于直线AD的对称点为E，
∴AB=AE，∠B=∠AED=∠AEF=90°，∠BAD=∠EAD，
∴AG=AE，
∵AF=AF，
∴Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），
∴∠GAF=∠EAF，
∵∠BAG=90°，
∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠GAF=90°，
∴∠EAD+∠EAF=45°．
即∠DAF=45°．
想法2：
证明如下：如图3，过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，

依题意可知：∠ABC=∠BCF=90°，
∴AB∥FG，
∵AF∥BG，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴AF=BG，∠BGC=∠BAF，
∵点B关于直线AD的对称点为E，
∴AB=AE，∠ABC=∠AED=90°，∠BAD=∠EAD，
∵AB=BC，
∴AE=BC，
∴Rt△AEF≌Rt△BCG （HL），
∴∠EAF=∠CBG，
∵∠BCG=90°，
∴∠BGC+∠CBG=90°，
∴∠BAF+∠EAF=90°，
∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠EAF=90°，
∵∠BAD=∠EAD，
∴∠EAD+∠EAF=45°，
即∠DAF=45°．
故答案为：45．

18．如图，在等边中，D为边AC的延长线上一点（），平移线段BC，使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC于点G．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：；

（3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明．

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）线段AH与CG的数量关系：．证明见解析.

【分析】

（1）补全的图形如图1所示；

（2）根据直角三角形含角的性质得：，得，即可证出；

（3）作辅助线，证明四边形是平行四边形和，即可证出．

【详解】

(1)补全的图形如图1所示,

(2)证明：∵是等边三角形，

∴．

．

由平移可知 ，．

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∴ ．

(3)线段AH与CG的数量关系： ．

证明：如图2，连接BE，EF．

∵，，

∴四边形是平行四边形．

∴，．

∵垂直平分，

∴ ．

∴．

∵，

∴ ，．

∴ ．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴．