考点04整式运算（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

考点04整式运算

考点总结

一、单项式及多项式

1．单项式乘单项式

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；

2．单项式乘多项式

（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

（2）注意事项：

①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；

②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；

③注意确定积的符号。

二、整式混合运算

1．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似；

2．“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来。

三、幂的运算

（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

am•an＝am+n（m，n是正整数），拓展：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）

（2）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（am）n＝amn（m，n是正整数）

（3）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

（ab）n＝anbn（n是正整数）

（4）同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．

am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）

四、完全平方公式及其几何背景

1．完全平方公式

（1）（a±b）2＝a2±2ab+b2；

（2）特征：

①左边是两个数的和的平方；

②右边是三项式，其中首末两项分别是两项的平方，为正，中间一项是两项积的2倍；符号与左边的运算符号相同。

2．验证完全平方公式的几何图形

（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）

五、平方差公式及其几何背景

1．平方差公式

（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

（2）特征：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方；

2．验证平方差公式的几何图形

真题演练

一、单选题

1．下列式子中，运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据每个选项涉及到的计算原则去运算即可．

【详解】

A：，选项错误；

B：，选项错误；

C：，选项错误；

D：，选项正确．

故选：D

2．将一个长为，宽为的矩形纸片，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的小正方形的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，代入计算．

【详解】

解：中间空的部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，

=（a+b）2-4ab，

=a2+2ab+b2-4ab，

=（a-b）2

故选：D．

3．若＝2，＝3，则的值为（   ）

A．6 B．5 C．3 D．2

【答案】A

【分析】

根据同底数幂的乘法的逆用可直接进行求解．

【详解】

解：∵，

∴．

故选A．

4．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据幂的运算性质与非零数的0次幂的意义，即可作出正确判断．

【详解】

A、，故错误；

B、，故错误；

C、，故正确；

D、，故错误．

故选：C．

5．下列运算的结果为a6的是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

分别根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则进行计算作出判断：

【详解】

A．，故本选项错误；

B．，故本选项错误；

C．，故本选项正确；

D．，故本选项错误．

故选C．

6．下列运算正确的是（　　）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．2（2a﹣b）＝4a﹣b

C．2a+3b＝5ab D．（a+b）2＝a2+b2

【答案】A

【分析】

原式各项计算得到结果，即可做出判断．

【详解】

A、原式＝a2﹣b2，正确；

B、原式＝4a﹣2b，错误；

C、原式不能合并，错误；

D、原式＝a2+b2+2ab，错误，

故选A．

7．若单项式﹣2x6y与5x2myn是同类项，则（　　）

A．m＝2，n＝1 B．m＝3，n＝1 C．m＝3，n＝0 D．m＝1，n＝3

【答案】B

【分析】

根据同类项的定义“含有的字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”即可求得答案．

【详解】

解：因为﹣2x6y与5x2myn是同类项，

所以2m＝6，n＝1，

解得m＝3，n＝1，

故选：B．

8．二维码是一种编码方式，它是用某种特定的几何图形按一定规律在平面（二维方向上）分布，采用黑白相间的图形记录数据符号信息的．某社区为方便管理，仿照二维码编码的方式为居民设计了一个身份识别图案系统：在的正方形网格中，白色正方形表示数字0，黑色正方形表示数字1，将第行第列表示的数记为（其中，都是不大于4的正整数），例如，图中，．对第行使用公式进行计算，所得结果，，，分别表示居民楼号，单元号，楼层和房间号．例如，图中，，，说明该居民住在9层，2号房间，即902号．有下面结论：①；②图中代表的居民居住在11号楼；③，其中正确的是（    ）

A．③ B．①② C．①③ D．①②③

【答案】B

【分析】

①表示的是将第2行第3列是白色正方形，所以表示的数是0；②根据题意，求楼号，把代入公式即可；③根据题意，把代入公式即可．

【详解】

解：①表示的是将第2行第3列是白色正方形，所以表示的数是0，即，故①正确；

②图中代表的居民的楼号

，

图中代表的居民居住在11号楼；故②正确；

③，

故③错误，

综上，①②是正确的．

故选：B．

9．单项式﹣xy2的系数是（ ）

A．1 B．﹣1 C．2 D．3

【答案】B

【详解】

利用单项式系数的定义求解即可．

解：单项式﹣xy2的系数是﹣1，

故选B．

10．如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据大正方形面积S的两种求法：方法一，S等于边长的平方；方法二，S等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和，由此即可得出答案．

【详解】

由图可知，大正方形面积S的两种求法如下：

方法一，

方法二，

则有

故选：A．

二、填空题

11．从四个数中任取两个不同的数（记作）构成一个数组（其中且将与视为同一个数组），若满足：对于任意的和都有则的最大值______________．

【答案】5

【分析】

找出ai+bi的值，结合对于任意的Mi={ai，bi}和Mj={aj，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，即可得出S的最大值．

【详解】

解：∵-1+1=0，-1+2=1，-1+4=3，1+2=3，1+4=5，2+4=6，

∴ai+bi共有5个不同的值．

又∵对于任意的Mi={ai，bi}和Mj={aj，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，

∴S的最大值为5，

故答案为：5．

12．如图1，小长方形纸片的长为2，宽为1，将4张这样的小长方形纸片按图2所示的方式不重叠的放在大长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形Ⅰ和Ⅱ，设长方形Ⅰ和Ⅱ的周长分别为C1和C2，则C1_____C2（填“＞”、“＝”或“＜”）．

【答案】=

【分析】

设图2中大长方形长为x，宽为y，再表示出长方形Ⅰ和Ⅱ的长和宽，进而可得周长，然后可得答案．

【详解】

解：设图2中大长方形长为x，宽为y，

则长方形Ⅰ的长为x﹣1，宽为y﹣3，周长C1＝2（x﹣1+y﹣3）＝2x+2y﹣8，

长方形Ⅱ的长为x﹣2，宽为y﹣2，周长C2＝2（x﹣2+y﹣2）＝2x+2y﹣8，

则C1＝C2，

故填：＝．

13．若，则可以用含的代数式表示为________．

【答案】4mn+m+n

【分析】

直接利用多项式乘以多项式计算进而得出答案．

【详解】

解：∵(4m+1)(4n+1)=4K+1，

∴16mn+4m+4n+1=4K+1，

∴4K=16mn+4m+4n，

∴K=4mn+m+n．

故答案为：4mn+m+n．

14．下图是从一个正方形中剪下一个小正方形后，拼成一个矩形的过程．根据下图，写出一个正确的等式：__________．

【答案】

【分析】

裁剪前，第二图的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，裁剪拼凑后面积等于长×宽，它们面积相等，据此可列出等式．

【详解】

解：如下图的面积在裁剪前＝，

裁剪拼凑后＝，

裁剪前后面积相等，故：

故答案为：．

15．若的小数部分为，整数部分为，则的值为_____________．

【答案】

【分析】

根据，可得a、b的值，代入代数式中利用平方差公式计算即可得答案．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，，

∴

三、解答题

16．已知，求代数式的值．

【答案】1

【分析】

先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可．

【详解】

解：

=

=，

∵，

∴，

代入原式得：原式=．

17．已知，求代数式的值．

【答案】；3

【分析】

利用平方差公式和单项式乘以多项式法则展开，合并同类项，整体代入，计算即可．

【详解】

解：，

，

，

∵，

∴．

∴原式．

18．先化简，再求值：，其中.

【答案】，22

【分析】

原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．

【详解】

原式

.

因为，

所以，.

把，代入原式，

原式

.