高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算当堂检测题

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1. 对于任意两个向量和，下列命题正确的是（    ）A．若，满足，且与同向，则 B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的定义判断A，向量减法的三角形法则判断BD，向量数量积公式判断C.【详解】A.向量不能比较大小，所以A不正确；B.根据向量减法运算公式可知，当向量与不共线时，两边之和大于第三边，即，当与反向时，等号成立，不B正确；C.，故C不正确；D.当向量与不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即，故D不正确.故选：B2. 若·＞0，则与的夹角θ的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据数量积的定义可得，从而可得夹角的取值范围.【详解】因为，所以，而，所以，故选：A.3．（2019·山西大同市·大同一中高一月考）下列说法：①如果是第一象限的角，则角是第四象限的角；②函数在上的值域是；③已知角的终边上的点P的坐标为，则；④中，和的夹角等于A；其中正确的是（    ）A．①② B．①③ C．③④ D．②④【答案】B【解析】【分析】根据象限角的定义、正弦函数的单调性、任意角三角函数的定义和向量夹角的概念分别判断即可.【详解】若是第一象限角，，则，所以为第四象限角，故①正确；函数在单调递增，在上单调递减，所以函数在上的值域是，故②错误；根据三角函数的定义可知，故③正确；由向量夹角的概念可知中，和的夹角等于A的补角.故选：B.【点睛】本题考查了象限角的定义和表示、正弦函数的性质、任意角三角函数的定义、向量夹角的概念，属于基础题.5．下列命题中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的减法法则可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用平面向量数量积的定义可判断C选项；利用平面向量的加法法则可判断D选项.【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查平面向量线性运算以及平面向量数量积运算的判断，考查计算能力，属于基础题.8．下列命题正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平面向量数量积的定义及运算律一一判断即可；【详解】解：对于A：，故A错误；对于B：由可以得到，但是由得不到，当时，故B错误；对于C：若则或，故C错误；对于D：，故D正确；故选：D12．对于任意两个向量和，下列命题正确的是（    ）A．若，满足，且与同向，则 B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的定义判断A，向量减法的三角形法则判断BD，向量数量积公式判断C.【详解】A.向量不能比较大小，所以A不正确；B.根据向量减法运算公式可知，当向量与不共线时，两边之和大于第三边，即，当与反向时，等号成立，不B正确；C.，故C不正确；D.当向量与不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即，故D不正确.故选：B13．已知向量，，则“或”是“”的（    ）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分又非必要【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断.【详解】若“或”则，若，则“或”或，所以“或”是“”的充分不必要条件，故选：A15．对任意向量､，下列关系式中不恒成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量的平方即为模的平方．即可判断A；运用平方差公式和向量数量积的性质，即可判断 B；运用向量数量积的定义，即可判断C； 运用向量模的性质，即可判断D.【详解】A，由模的平方等于向量的平方知恒成立，故正确；B，由平方差公式知恒成立，故正确；C，恒成立，故正确；D，当不共线时，由三角形中两边之差小于第三边知，，故不恒成立，故D错误.故选：D17．以下命题：①存在，对任意的，使得；②已知为非零向量，若，则；③若，则的充要条件是；④对任意的，均有.其中，真命题的个数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过赋值，判断①③是否成立；根据向量的概念判断②④是否成立.【详解】①当时，对任意的，使得，所以①成立；②当时非零向量时，若，则，所以②成立；③当，，此时，当，所以③不成立；④，所以④不成立；故选：C4．已知、是单位向量，以下命题正确的是（    ）A． B．C． D．若，则【答案】C【分析】根据数量积的定义及运算律判断可得；【详解】解：因为、是单位向量，所以，，因为向量与向量的夹角未知，故A、B均错误，若，则向量或 ，故D错误；根据平面向量的运算律可知，故C正确；故选：C5．下列等式正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量的数量的性质，逐项分析判断即可得解.【详解】对A，，故A错误；对B，由于向量的数量积为数，所以向量不满足乘法的结合律，故B错误；对C，，故C错误，对D，向量的数量积为数，故正确.故选：D.6．若为单位向量，则下列各式中，正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的数量积的性质，以及模长的概念，逐项分析判断即可得解.【详解】对A，夹角未知，故A错误；对B，由于模长都为1，故B正确；对C，为向量，故C错误；对D，模长相减为数，故D错误.故选：B.在直角中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是A.
B.
C.
D. 【答案】C【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的数量积的定义．要会巧妙变形和等积变换．
根据，是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案．
【解答】
解：，是正确的，同理B也正确，
对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确
故选C．  下列命题中正确命题的个数为 若，则；若，则；对任意向量都成立；对任意向量，有A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积，根据数量积的运算性质求解即可．
【解答】
解：向量的数量积不满足消去律，错误；
，，
，故正确；
向量的数量积不满足结合律，错误；
，正确，
故选C．   1．已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（    ）A．B．若且则C．，则D．若，则与共线且反向【答案】AD【分析】对于A，由向量的夹角公式判断即可；对于B，举反例即可；对于C，若，则不一定共线；对于D，对两边平方化简即可【详解】解：对于A，若中有零向量，则显然成立，若均不为零向量，则因为，所以，所以A正确；对于B，若所在的直线在所在直线夹角的平分线上，且，则有，而不成立，所以B错误；对于C，若，则，而不一定共线，所以C错误；对于D，因为，所以，所以，所以与共线且反向，所以D正确，故选：AD3．下列关于向量，，的运算，一定成立的有（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据数量积的运算律和定义可判断ABC的正确，从而可判断D的正误.【详解】选项B中左边为的共线向量，右边为的共线向量不正确，根据数量积的分配律可知A正确，根据数量积的定义可知，关于C正确；而，根据C判断可知，故，故D正确.故选：ACD.9．下列说法错误的是（    ）A．若，，则B．若，则存在唯一实数使得C．若，且，则D．两个非零向量，，若，则与共线且反向【答案】ABC【分析】对于ABC，通过举例判断，对于D，对两边平方化简可得结论【详解】解：对于A，当时，因为零向量与任何向量都共线，所以当有，时，不一定共线，所以A错误，对于B，当时，不唯一，所以B错误,对于C，当时， 成立，但不一定有，所以C错误，对于D，由，得，所以，因为，为非零向量，所以与共线且反向，所以D正确，故选：ABC 下列说法正确的是______将所有正确项的写在横线上
；      ；
；          
若；         若，则【答案】【解析】解：在中，由数乘向量运算法则得正确，故正确；
在中，由向量数量积公式得，，
不正确，故错误；
在中，由向量乘法的分配很得，故正确；
在中，由向量的数量积不满足分配律，得不成立，故错误；
在中，由向量的数量积公式得不一定成立，故错误；
在中，若，则由向量相等的定义得，故正确．
故答案为：．
在中，由数乘向量运算法则得；在中，由向量数量积公式得不正确；在中，由向量乘法的分配很得；在中，向量的数量积不满足分配律；在中，由向量的数量积公式得不一定成立；在中，由向量相等的定义得
本题考查命题真假的判断，考查数乘向量运算法则、向量的数量积、向量乘法分配律、向量相等等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
 设是平面内互不平行的三个向量，，有下列命题：
方程不可能有两个不同的实数解；
方程有实数解的充要条件是；
方程有唯一的实数解；
方程没有实数解．
其中真命题有______ 写出所有真命题的序号【答案】【解析】解：对于：
对方程变形可得，
由平面向量基本定理分析可得最多有一解，
故正确；
对于：
方程是关于向量的方程，不能按实数方程有解的条件来判断，
故正确；
对于、，方程中，
，
又由、不平行，必有，
则方程没有实数解，
故不正确而正确
故答案为：．
对于、，是关于向量的方程，将方程变形可得，由向量共线的条件分析，也不能按照实数方程有解的条件来判断，对于、，是实系数方程，利用一元二次方程的根的判别式和数量积的性质，对题设中的四个选项依次进行判断，能够得到结果．
本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意一元二次方程的根的判别式和数量积的性质的灵活运用．
  21．下列命题中：（1）；（2）若则；（3）；（4）；（5）若，则.其中正确的是____________________【答案】（3）【分析】正确理解向量的数量积和实数与向量的乘积的概念，不难判定（1）错误；注意向量的数量积不能象实数的运算那样随意约分的，转化为，即可判定（2）错误；根据向量的数量积的概念，注意到同向向量的夹角为0，即可证得（3）正确；利用向量的数量积的概念即可判定（4）错误；注意实数与向量的乘积的结果是向量而不是实数，即可判定（5）错误.【详解】（1）不正确.左边是与向量共线的向量，右边是与向量共线的向量，当它们不是零向量时等式两边不相等，故（1)错误；（2）若则不正确. 等价于，即向量与垂直，也就是在上的投影的数量相等，推不出，故（2）错误；（3），故(3)正确；（4），当两个向量不共线时（4）不成立，故（4）错误；（5）若，则，故（5）错误.【点睛】本题考查向量的数量积，是对向量的数量积的常见错误的诊断，是易错题.要注意向量的运算与实数运算的区别，明确向量的数量积与实数与向量的乘积的概念，意义.