高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算随堂练习题，共56页。

1. 已知两个单位向量，的夹角为，则，的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】
利用平面向量数量积的运算律和定义化简，再根据二次函数知识可求得结果.
【详解】
，，和的夹角为，
所以，
所以，
∴当时，取最小值.
故选：B
2. 若的外接圆半径为2，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设的外接圆圆心为O，由题设可知为正三角形，则，，由，知，计算可求解.
【详解】
如图设的外接圆圆心为O，

的边，的外接圆半径为2，
为正三角形，且，
则


，，
故选：A
2．半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据平面向量加法的几何意义结合圆的几何性质可以确定四边形是菱形，结合菱形的性质、圆的几何性质、平面向量运算法则进行求解即可.
【详解】
如图，与交于点，由得：

四边形是菱形，且，则，，
由图知，，而，
∴，
同理，，而，
∴，
∴，
∵点是圆内一点，则，∴.
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：根据及半径相等得到四边形是菱形，以及运用平面向量的运算的性质是解题的关键.
2．在平行四边形中，，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先用基底，表示，再利用向量数量积公式表示，利用的范围求数量积的取值范围.
【详解】
因为在平行四边形中，，，，，所以.因为是边的中点，所以.又点在边上，设（），则，所以.又，所以，故的取值范围是.
故选:B.
【点睛】
关键点点睛：本题关键点是对动点引入参数，设（），这样所求数量积就可表示为关于的函数，进而求得其范围.
4．已知，为单位圆上的两点，且满足，点为圆上一动点，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意 ，化简整理可得，设的中点为，与的夹角为，利用数量积公式，结合的范围，即可求得答案.
【详解】
如图，圆的半径为1，且，易得．

由题意知
．
设的中点为，则，且，
设与的夹角为，
则
．
又因为，所以的范围为．
故选：B

7．在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，向量与的夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
计算出，设，将表示为的二次函数，利用二次函数的基本性质求出的最小值及其对应的的值，求出、，利用平面向量数量积可求得向量与的夹角余弦值.
【详解】
，即，，
设，，，
所以，
，
当时，取得最小值，此时，
，
所以，，则.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题解答的关键在于以下两点：
（1）根据已知条件建立关于的二次函数；
（2）利用二次函数确定最值时要注意求出对应的的值.
3．已知，，是空间单位向量，且满足，若向量.则在方向上的投影的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据投影的计算公式，将投影化为关于的函数，然后再求函数的最大值即可.
【详解】
因为，
∴，
，
∴①，
因为要求最大值，故不妨取，
令，则，
代入①式得②，
令，
故②式小于等于.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的综合应用，以及投影的概念和计算方法.属于中档题.
6．已知，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题中条件，由向量线性运算的几何意义，求出，，得到与取得最大值时，与恰好反向，再由向量数量积的计算公式，即可求出结果.
【详解】
因为，根据向量线性运算的几何意义，可得，，

即，，
所以，，
当时，由可得，即，
所以，因为向量夹角大于等于且小于等于，所以，故；
当时，由可得，即，
所以，故，所以，
此时与恰好反向，且模都取得最大值，所以的最小值是.
故选：B.
【点睛】
思路点睛：
求解向量数量积最值问题，一般需要建立适当的坐标系，用坐标表示出向量的数量积，将问题转化为求函数最值问题进行求解；有时也可根据向量的线性运算的几何意义，确定向量的模的最值以及向量的夹角，进行求解.
8．已知在中，，，点沿运动，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】
当点在上运动时，设，得到，根据向量的数量积，化简得到，求得取得最小值；当点在上运动时，设，得到，化简得到，求得最小值.
【详解】
在中，，，可得，
当点在上运动时，设，则，所以，
又因为，所以，所以，
所以，
当时，取得最小值.
当点在上运动时，设，则，
所以，
又因为，所以，所以，
所以，
当时，取得最小值，
综上可得，的最小值是.
故选：A.
【点睛】
解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法：
（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；
（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则､运算律和性质求解.
9．在直角中，，，是线段的中点，为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，用表示出，利用二次函数的性质求出最小值.
【详解】
是直角的斜边中点，，且，
设，则，故，
当时，取得最小值.
故选：C.
1．已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作，，，取的中点，连接，分析出为等边三角形，可求得，计算得出，利用圆的几何性质求出面积的最大值，即可得出结果.
【详解】
如下图所示，作，，，取的中点，连接，
以点为圆心，为半径作圆，

，，，
所以，为等边三角形，
为的中点，，所以，的底边上的高为，
，，
所以，，
所以，
，
由圆的几何性质可知，当、、三点共线且为线段上的点时，
的面积取得最大值，此时，的底边上的高取最大值，即，则，
因此，的最大值为.
故选：B.
【点睛】
结论点睛：已知圆心到直线的距离为，且圆的半径为，则圆上一点到直线距离的最大值为.
16．已知向量、，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
16．A
【分析】
由，得到恒成立，进而求得，再结合，即可求解.
【详解】
由，所以恒成立，
又由，可得，
则，可得.
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算公式及其应用，其中解答中熟练向量的数量积的运算公式，结合向量的运算法则求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2．如图正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为3，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到，结合，得到，即可求解.
【详解】
由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为3，
所以正六边形的内切圆的半径为，
外接圆的半径为，
又由
，
因为，即，可得，
所以的取值范围是.
故选：A.
4．如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于，的任意一点，若为半径的中点，则的值是（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题可得，设，则，从而，即可求出答案.
【详解】
解：因为点是，的中点，所以，设，则．
所以．
∴当时，取到最小值．
故选：D.

1．如图，在四边形中，，，，分别为边上的动点，且，则的最小值为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
设的中点为，连接，可得，连接，，由已知求得，再由及，即可求得的最小值．
【详解】
解：设的中点为，连接，，即，
可得的轨迹是以为圆心，以1为半径的一段圆弧，
连接，，
则，
．
，
，
，
即的最小值为24．
故选：．


6．如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则•的取值范围为（ ）

A．[2，3] B．[4，3] C．[2，4] D．[2，5]
【答案】D
【分析】
根据向量数量积的定义，等于乘以在向量上的投影，因为不变，故求的取值范围等价于求向量在向量上的投影的长度取值范围即可.
【详解】
解：由题可知，当点P在点C处时，最小，
此时
过圆心O作OPAB交圆弧于点P，连接AP，此时最大，
过O作OG⊥AB于G，PF⊥AB的延长线于F，
则=|AB||AF|=|AB|(|AG|+|GF|)=，
所以的取值范围为[2，5].

故选：D.
【点睛】
方法点睛：利用数量积几何意义，将问题转化为投影长度的变化，从而求得取值范围.
7．已知直角梯形中，，P是边上一点(不包括B､C两点).若，，且，则的最小值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
令有，利用几何图形中各线段位置关系及其对应向量的线性关系，得，结合已知即可求其最小值.
【详解】

由题意，，，若，则，
∴，又，，
∴，
∴当时，的最小值为3.
故选：C.

2．设点是的外心，且，那么下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，，则四边形的面积是5
D．若且，则的最大值是
【答案】ACD
【分析】
利用向量的运算对选项进行逐一分析，结合重要不等式等可得答案.
【详解】
如图1，

选项A：，，
则点，，三点共线，
又直角三角形的外心在斜边上，故，正确；
选项B：若，则点，，三点共线，
故中，，此时为的中点，
则，不满足，错误；
选项C：，则点在外，
又，即，，
所以，正确；
选项D：，
即，
因为，，
平方则有，
化简得，
即（当时取＝），
故有或（舍掉），故，正确，
故选：ACD．
【点睛】
本题考查向量的运算，向量的共线数量积的运算以及利用重要不等式求最值，属于中档题.
1．如图所示，在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F，若，则（ ）

A． B．
C．的最大值为1 D．
【答案】ABD
【分析】
选项A. 由，可得可判断；选项B. 过作交于点，所以,结合条件可判断；选项C. 由B结合均值不等式可判断；选项D. 由结合均值不等式可判断.
【详解】
选项A. 由，可得
所以，故A正确 .
选项B. 过作交于点
所以, 由这两式可得
由，则，，
所以，即，故B正确.

选项C. 由B可得
当且仅当,即时取得等号, 故C不正确.
选项D. 由得
,

由，当且仅当,即时取得等号
所以，故D正确.
故选：ABD
【点睛】
关键点睛：本题考查向量的线性运算共线等的应用，考查利用均值不等式求最值，解答本题的关键是过作交于点，得到，，属于中档题.
7．在四边形中，是边上一点，且满足，.若点在线段（端点，除外）上运动，则的可能取值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】BC
【分析】
根据题意和图形可得，结合余弦定理得到，根据三角形边长的关系得出NC的范围，计算即可.
【详解】
∵，∴点为四边形的外接圆的圆心，

又是边上一点，∴是该外接圆的直径，为中点，
则可得，
则.
在中，，，
∴，
∴.
∵在上，，，
∴，∴，∴，
即的取值范围是，
所以可能的取值为：，.
故选：BC


1．设是单位向量，且，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】
设与的夹角为，根据已知，利用向量的数量积的运算将化为关于的三角函数表达式，进而利用三角函数的性质求得最小值.
【详解】
，且均为单位向量，
∴，
||=1，,
∴.
设与的夹角为θ，
则.
故的最小值为
故答案为：

18．平面向量，的夹角为，且，则的最大值为_________.
【答案】
【分析】
根据平面向量数量积的定义得到，将两边平方可得，然后将变形后利用基本不等式可得最值.
【详解】
，
因为，所以，所以，
所以，
所以，


，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
19．已知圆O的半径为2，A，B是圆O上两点，且，是圆O的一条直径，若动点P满足(，)，且，则的最小值为____________.
【答案】-3
【分析】
根据向量的线性运算及数量积的定义，结合题中条件，化简，根据及二次函数的性质，即可求得答案.
【详解】
，
因为是圆O的一条直径，
所以，
所以所求=
因为A，B是圆O上两点，且，
所以，
所以所求= ，
因为，
所以当时，有最小值，且为-3，
故答案为：-3
【点睛】
解题的关键是熟练掌握向量的线性运算及数量积公式，并灵活应用，结合二次函数图象与性质，进行求解，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
21．已知等腰直角三角形中，顺次为线段的九等分点，则的最大值为________．
【答案】
【分析】
将和化为和表示，利用，计算可得关于的二次函数，利用二次函数求出最大值可得解.
【详解】
因为顺次为线段的九等分点，
所以，，
所以，
，
因为为等腰直角三角形，所以，，
所以

，
所以当或时，取得最大值.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：将和化为和表示是解题关键.
24．已知，，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】
求出，，再利用向量的数量积展开，根据二次函数配方即可求解.
【详解】
，，

，
代入，
原式，
当时，原式最小值为.
故答案为：
25．若，，则的最大值为________.
【答案】6
【分析】
利用数量积的定义化简，结合三角函数的有界性得出最大值．
【详解】
，所以.
故答案为:
8．已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，，则的最大值是__________.
【答案】
【分析】
由已知，结合向量数量积的运算律可得，作，，，则，即的轨迹是以为直径的圆上，其半径为2，圆心为，由，得且，记，则，当与圆相切时，最小，即可求的最大值.
【详解】
将两边平方，得，
如图，作，，，则，
∴的轨迹是以为直径的圆上，其半径为2，圆心为，再以为圆心作单位圆，
由，得且，
∴当在圆上运动时，在圆上的轨迹是、，
要使最大，记，则，当与圆相切时最小，
此时，即，
∴的最大值是.
故答案为：.

【点睛】
关键点点睛：根据向量的几何性质，作，，，的轨迹是以为直径的圆上，其半径为2，圆心为，再以为圆心作单位圆，在圆上运动时，的在圆上轨迹是、，记，则，当与圆相切时最小，即此时的最大.
9．在平面几何图形中，把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.如图，在垂美四边形中，，，，.

（1）边的长为_______；
（2）若，分别是线段，上的点，且，则的最大值为______.
【答案】
【分析】
根据已知条件证明，且相似比为，设，，在和中，利用勾股定理列方程即可求出的值，再由勾股定理可求的长；设，则，，利用两角和的余弦公式计算的值，再由数量积的定义结合二次函数的性质即可求最值.
【详解】

因为，所以，，
设，所以，所以，
所以，
设，，则，，
在中，，即，
在中，，即，
解得：，所以；
（2）设，则，，

在中，，，
在中，，，
所以

，
所以
，，
为开口向下的抛物线，所以当时，最大为，
故答案为：；.


23．正方形的边长为2，点和分别是边和上的动点，且，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】
与的交点为它们的中点，这样，结合表示出，计算数量积易得取值范围．
【详解】
连接交于点，则正方形中，由于，得，∴，，
，
因为正方形的边长为，所以，
所以.
故答案为：．

【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量的数量积．解题关键是的中点也是的中点，从而只要用表示出，就易求得取值范围．

11．在面积为的平行四边形中，点为直线上的动点，则的最小值是__________．

【答案】
【解析】

取的中点，连接，因为平行四边形，面积为，所以 ， ，，此时，且，故答17．半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为______
【答案】
【分析】
根据平面向量加法的几何意义结合圆的几何性质可以确定四边形是菱形，结合菱形的性质、圆的几何性质、平面向量运算法则进行求解即可.
【详解】
如图，与交于点，由得：，

四边形是平行四边形，又，所以四边形是菱形，则，，
由图知，，而，
∴，
同理，，而，
∴，
∴，
∵点是圆内一点，则，∴.
故答案为：
【点睛】
关键点睛：根据及半径相等得到四边形是菱形，以及运用平面向量的运算的性质是解题的关键.
案为.
29．如图，在四边形中，，，，，，分别为边，上的动点，且，则______，的最小值为______．

【答案】6 24
【分析】
对第1个空，由所给数据直接利用数量积公式，直接求解即可；对第2个空，需要利用的中点为进行问题的转化，依题意可知点的轨迹是以点为圆心，1为半径的一段圆弧，故可得，利用的特征即可得解.
【详解】

因为，，
所以，
设的中点为，连接，因为，
所以，又，所以，
所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的一段圆弧，
如图，连接，，
则，所以．
，
又，所以，
即的最小值为24．
故答案为：24.
【点睛】
本题考查了向量的数量积运算，考查了向量和圆的结合，同时考查了转化思想，有一定的计算量，属于中档题.本题关键有：
（1）理解记忆数量积公式，并能简单应用；
（2）利用圆的相关性质解决向量相关问题，把向量问题转化成圆的问题求最值是解决向量难题的一个重要方法.
30．已知单位向量，，满足，则的最大值为______；最小值为_______．
【答案】
【分析】
设，则，两边平方后利用可得关于的不等式，从而可求的最值.
【详解】
设，则
因为，故，
故即，
因为，为单位向量，所以，
两边平方得．
故答案为：1，.
10．已知菱形的边长为，，点、分别在边、上，，，若，则的值为___________；若为线段上的动点，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】
（1）本题首先可根据题意得出、，然后通过向量的运算法则得出、，再然后通过向量的数量积公式得出，最后通过即可得出结果；
（2）本题可设，然后通过向量的运算法则得出、，再然后通过向量的数量积公式得出，最后通过向量的运算法则得出，根据即可求出最值.
【详解】
如图，结合题意绘出图像，

（1）因为，，
所以，，
则，
，
因为菱形的边长为，，
所以，
因为，
所以，
即，解得.
（2）因为为线段上的动点，所以设，
则，
，
，

，
因为，所以，最大值为，
故答案为：；.
【点睛】
关键点点睛：本题考查向量的几何应用，考查向量的加法的灵活应用，考查向量的数量积，考查向量的乘法法则，能否结合图像得出、、是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
14．如图，四边形中，，，，，，，分别是线段，上的点，且，则的最大值为___________.

【答案】
【分析】
根据平面几何及梯形的性质，可求出，求出，利用二次函数求最值.
【详解】
设
则
则， ，




，
即
得，即
过C作过作

则，
则

则
，


则


由
得

，
，函数 开口向下，对称轴，
当时，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：利用平面几何性质，求出，利用向量积的定义，求出，利用二次函数求最值是解题关键.
15．已知是半径为1的圆的一条直径，点是圆上一动点，则的最大值等于______.
【答案】2
【分析】
由平面向量数量积的定义运算即可得解.
【详解】
由题意，，
当为圆直径时取等号，
所以的最大值等于2.
故答案为：2.
16．如图，已知四边形，，，是的中点，，若，则的最小值为___________.

【答案】
【分析】
令，结合题中已知条件得出，，，，通过，根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果.
【详解】
令，因为，，，
所以，，
又因为是的中点，，所以，，，，
故可得，，
所以

，
当时，取得最小值，
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：将表示成，根据几何关系将所需量用表示，将最后结果表示为关于的函数.

8．如图，已知，，，圆是以为圆心半径为1的圆，圆是以为圆心的圆．设点，分别为圆、圆上的动点，且，则的最大值为______．

【答案】11
【分析】
设，则，从而有，通过计算求出即可．
【详解】

设，则，
因为，





，
∵，
∴，
故答案为：11.
9．如图，已知是边长为的正六边形的一条边，点在正六边形内(含边界)，则的取值范围是___________.

【答案】
【分析】
取的中点，利用向量的线性运算可推导得到，将问题转化为取值范围的求解问题，由正六边形性质可知当与或重合时，最大；当与重合时，最小，由范围可求得结果.
【详解】
如图，取的中点，

由已知得：，则，，
.
以为圆心， (为边的对边的中点)为半径作圆，
由正六边形的性质可知，该圆与边相切于点，且点为或点时，最大，
此时.
；
当与重合时，最小；
，即的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种：
（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；
（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.



23．在梯形中，，，，，P，Q分别为线段和上的动点．
（1）求与的数量积；
（2）若，求；
（3）若，，求的最大值．
（4）求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）详见解析.
【分析】
（1）根据角和模，直接利用向量数量积的公式求解；（2）首先转化，再代入数量积公式求模；（3）首先转化向量，再结合向量的运算律和数量积公式展开，转化为关于的函数，再结合对勾函数，判断函数的单调性，求最大值；（4）根据所学知识总结.
【详解】
（1）；
（2），


；
（3），，
则


，
，解得：，
，当且仅当时等号成立，即，
在上单调递增，当时，函数取得最大值，
的最大值是；
（4）求数量积的方法：
1.根据数量积的定义，直接求解；2.根据向量加法或减法，以及数乘，将向量用基底表示，再结合向量的运算律，和定义求解向量的数量积；3.利用向量数量积的坐标表示求数量积.
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量的线性运算以及平面向量的数量积的运算问题，以及最值问题，本题的关键是第三问，求得的解析式是解答的关键.

13．在中，，，所对的边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中为圆A的直径，试判断P，Q在什么位置时，有最大值．

【答案】与共线且同向
【分析】
由向量的线性运算及向量的数量积运算可得，再结合求解即可.
【详解】
解：∵，，
∴


．
当与同向时，取得最大值，最大值为，
即当与共线且同向时，有最大值．
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，重点考查了向量的线性运算，属中档题.
26．在中，满足，M是中点．
（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若O是线段上任意一点，且，求的最小值．
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）利用平面向量的夹角公式可求得结果；
（2）设，将化为的二次函数，利用二次函数知识可求得结果.
【详解】
（1）因为，所以，
设向量与向量的夹角为，
则

.
（2）因为，M是中点，，
所以，
设，则，
所以
，
因为，所以当时，取得最小值.
所以的最小值为.
【点睛】
关键点点睛：第（2）问，设，将化为的二次函数，利用二次函数知识求解是解题关键.

15．中，，过顶点作的垂线，垂足为，，且满足.
（1）求；
（2）存在实数，使得向量，，令，求的最小值.
【答案】（1）14;（2）516
【分析】
(1) 由可知,,三点共线,由,及,可得.
在中,求得.即可求得的值.
(2)由(1)利用余弦定理可解得,将已知条件代入化简可得,利用二次函数图象即可求得最小值.
【详解】
（1）由，得，，三点共线，可知.
又，所以.
在中，所以.
所以.
（2）由（1）知，，，.
由余弦定理得.
由，，
知
.
由二次函数的图象，可知该函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值516.
【点睛】
本题考查了向量的模的计算,余弦定理,考查了借助二次函数的图象求解向量的数量积的最值问题,考查学生的计算能力,难度一般.
27．如图，在菱形ABCD中，，．

（1）若，求的值；
（2）若，，求．
（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）由向量线性运算即可求得值；
（2）先化，再结合（1）中关系即可求解；
（3）由于，，即可得，根据余弦值范围即可求得结果．
【详解】
解：（1）因为，，
所以，所以，，
故．
（2）∵，∴
∵ABCD为菱形∴
∴，即．
（3）因为，
所以


∴的取值范围：．
【点睛】
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
28．如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边分别交于交于点.

（1）求的值；
（2）若是的中点，求的取值范围；
（3）若是平面上一点，且满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）最小值为.
【分析】
(1)把代入中，再由平面向量的数量积公式，即可求解；
(2)由题可知点为线段的中点，故根据向量的线性运算有，进而求出向量的模长范围，即可求解；
(3)由，进而求出向量的模长范围，即可求得的最小值.
【详解】
解：(1)由题意可得：
；
(2) 在正方形中，过中心的直线与两边分别交于交于点.
点为线段的中点
.
又正方形的边长为2，是的中点
，
.
即的取值范围为.
(3)由题可得
令，由，可知点在上，
.从而
.
的最小值为.
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积问题，考查了理解辨析能力能力与运算求解能力，属于中档题.
29．在中，，记，且为正实数），
（1）求证：；
（2）将与的数量积表示为关于的函数；
（3）求函数的最小值及此时角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2，.
【分析】
（1）由，得到，根据，即可求解；
（2）由，整理得，即可求得的表达式；
（3）由（2）知，结合基本不等式，求得的最小值，再利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（1）在中，，可得，
所以，所以.
（2）由，可得，
即，整理得，
所以．
（3）由（2）知，
因为为正实数，则，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为2，即，
此时，因为，可得，
又因为，此时为等边三角形，所以．
【点睛】
求平面向量的模的2种方法：
1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算；
2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
30．在中，D是AB的中点.

（1）求证：；
（2）若是等边三角形，且外接圆半径为2，圆心为O（如图），P为⊙O上的一动点，试求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）根据是的中点即可得出，从而得出，然后进行数量积的运算即可；
（2）根据题意即可得出，，然后根据进行数量积的运算即可求出，从而可得出的取值范围．
【详解】
解：（1）证明：∵D是的中点，
∴；
（2）根据题意，，，，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
∴的取值范围为：.
【点睛】
本题考查了向量加法､减法和数乘的几何意义，相反向量的定义，向量的数量积运算，向量数量积的计算公式，考查了计算能力.
7．如图1，在中，，，点是的中点.

（1）求证：；
（2）直线过点且垂直于，为上任意一点，求证：为常数，并求该常数；
（3）如图2，若，为线段上的任意一点，求的范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，；（3）.
【分析】
（1）根据向量加法的平行四边形法则，即可证明；
（2）利用向量转化，计算数量积；
（3）首先由向量数量积求得，再转化向量，设，转化为关于的二次函数求取值范围.
【详解】
解：（1）中，延长到使得到长度相等，
连接，，

∵是线段的中点，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵，∴.
（2）∵，
∴.
∵，∴，
∵
.
∴.
（3）中，∵，，
又，
∴
，∴，

由（1）同理可证，
∴.
设，则，
，
的范围是.
10．在中，设.
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若且，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1） ，知，由， 知，所以，即可证明为等腰三角形；
（2）由，知，设，由，知，所以，由此能够求出的取值范围.
【详解】
（1）因为，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
故为等腰三角形，
（2）因为，所以，设，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，
，，即.
【点睛】
本题主要考查了向量的加法和线性运算，是向量的综合应用，属于中档题.