江苏版2020年中考数学热点专题冲刺2规律探究问题20200325212

这是一份江苏版2020年中考数学热点专题冲刺2规律探究问题20200325212，共20页。试卷主要包含了阅读理解等内容，欢迎下载使用。
热点专题2   规律探究问题规律探究型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般多以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。探索规律题可以说是每年中考的必考题，预计2020年中考数学中仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察。所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。  中考要求能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律．学会通过通过观察、猜想、归纳、总结有关实数、代数式、图形、坐标等相关的规律问题。通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力． 考向1  图形设计规律探究1．(2019 江苏省徐州市)阅读理解用的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为的图案．已知长度为、、的所有图案如下：尝试操作如图，将小方格的边长看作，请在方格纸中画出长度为的所有图案．归纳发现观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．图案的长度所有不同图案的个数123　　　　　　【答案】如图，5，【解析】如图：根据作图可知时，所有图案个数5个；时，所有图案个数8个；时，所有图案个数13个；故答案为5，8，13；考向2  图形性质规律探究1. (2019 江苏省扬州市)如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝　   　．【答案】40380【解析】∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，∴，即，∵AB＝5，BC＝4，∴4D1E1+5D1F1＝20，同理4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20，∴4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝20×2019＝40380；故答案为40380．2. (2019 江苏省连云港市)问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH的长．【解析】解：线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB＝EC；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，过点B作BF∥MN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：∴四边形MBFN为平行四边形，∴NF＝MB，∴BF⊥AE，∴∠BGE＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF＝∠BAE，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∵DN+NF+CF＝BE+EC，∴DN+MB＝EC；问题探究：解：（1）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABIH为矩形，∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠BDA＝45°，∴△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，∵MN是AE的垂直平分线，∴AQ＝QE，在Rt△AHQ和Rt△QIE中，，∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL），∴∠AQH＝∠QEI，∴∠AQH+∠EQI＝90°，∴∠AQE＝90°，∴△AQE是等腰直角三角形，∴∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即∠AEF＝45°；（2）连接AC交BD于点O，如图3所示：则△APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，∵AO＝OD，∠AOD＝90°，∴∠ODA＝∠ADO′＝45°，当点P在线段BO上运动时，过点P作PG⊥CD于点G，过点P′作P′H⊥CD交CD延长线于点H，连接PC，∵点P在BD上，∴AP＝PC，在△APB和△CPB中，，∴△APB≌△CPB（SSS），∴∠BAP＝∠BCP，∵∠BCD＝∠MPA＝90°，∴∠PCN＝∠AMP，∵AB∥CD，∴∠AMP＝∠PNC，∴∠PCN＝∠PNC，∴PC＝PN，∴AP＝PN，∴∠PNA＝45°，∴∠PNP′＝90°，∴∠P′NH+PNG＝90°，∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°，∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H，由翻折性质得：PN＝P′N，在△PGN和△NHP'中，，∴△PGN≌△NHP'（ASA），∴PG＝NH，GN＝P'H，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠PDG＝45°，易得PG＝GD，∴GN＝DH，∴DH＝P'H，∴∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°，∴点P'在线段DO'上运动；过点S作SK⊥DO'，垂足为K，∵点S为AD的中点，∴DS＝2，则P'S的最小值为；问题拓展：解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：则EG＝AG＝，PH＝FH，∴AE＝5，在Rt△ABE中，BE＝＝3，∴CE＝BC﹣BE＝1，∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，∴△ABE∽△QCE，∴＝＝3，∴QE＝AE＝，∴AQ＝AE+QE＝，∵AG⊥MN，∴∠AGM＝90°＝∠B，∵∠MAG＝∠EAB，∴△AGM∽△ABE，∴＝，即＝，解得：AM＝，由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，∴B'M＝＝，AC'＝1，∵∠BAD＝90°，∴∠B'AM＝∠C'FA，∴△AFC'∽△MAB'，∴＝＝，解得：AF＝，∴DF＝4﹣＝，∵AG⊥MN，FH⊥MN，∴AG∥FH，∴AQ∥FP，∴△DFP∽△DAQ，∴＝，即＝，解得：FP＝，∴FH＝FP＝．                                   考向3  与坐标有关规律探究1．(2019 江苏省连云港市)如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为　   　．【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．【解答】：根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），故答案为：（2，4，2）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．2．(2019 山东省菏泽市)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（　　）A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1）【答案】C【解析】分析根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2019的坐标．A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2019÷4＝504…3，所以A2019的坐标为（504×2＋1，0），则A2019的坐标是（1009，0）．故选：C．2．(2019 湖南省娄底市)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的弧AB多次复制并首尾连接而成．现有一点从为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点的纵坐标为　　A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】点运动一个弧AB用时为秒．如图，作于，与弧AB交于点．在中，，，，，，第1秒时点运动到点，纵坐标为1；第2秒时点运动到点，纵坐标为0；第3秒时点运动到点，纵坐标为；第4秒时点运动到点，纵坐标为0；第5秒时点运动到点，纵坐标为1；，点的纵坐标以1，0，，0四个数为一个周期依次循环，，第2019秒时点的纵坐标为是．故选：．3. (2019 湖南省张家界市)如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（　　）A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）【答案】A【解析】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3，∴点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．4．(2019 山东省潍坊市)如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n＋1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为　   　．（n为正整数）【答案】A【解析】连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，∴A1P1＝＝＝，同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，∴P1的坐标为（ 1，），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，），……，…按照此规律可得点Pn的坐标是（n，），即（n，）故答案为：（n，）．考向4 与函数有关的规律1．(2019 山东省淄博市)如图，△，△，△，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，，，，均在反比例函数的图象上．则的值为　　A． B．6 C． D．【答案】A【解析】过、、分别作轴的垂线，垂足分别为、、其斜边的中点在反比例函数，即，，设，则 此时，代入得：，解得：，即：，同理：，，，故选：． 2．(2019 山东省德州市)如图，点、、在反比例函数的图象上，点、、在反比例函数的图象上，，且，则为正整数）的纵坐标为　　．（用含的式子表示）【答案】A【解析】过A1作A1D1⊥x轴于D1，
∵OA1＝2，∠OA1A2＝∠α＝60°，
∴△OA1E是等边三角形，
∴A1（1，），
∴k＝，
∴y＝和y＝－，
过A2作A2D2⊥x轴于D2，
∵∠A2EF＝∠A1A2A3＝60°，
∴△A2EF是等边三角形，
设A2（x，－），则A2D2＝，
Rt△EA2D2中，∠EA2D2＝30°，
∴ED2＝，
∵OD2＝2＋＝x，
解得：x1＝1－（舍），x2＝1＋，
∴EF＝＝＝＝2（－1）＝2－2，
A2D2＝＝＝，
即A2的纵坐标为－；
过A3作A3D3⊥x轴于D3，
同理得：△A3FG是等边三角形，
设A3（x，），则A3D3＝，
Rt△FA3D3中，∠FA3D3＝30°，
∴FD3＝，
∵OD3＝2＋2－2＋＝x，
解得：x1＝（舍），x2＝＋；
∴GF＝＝＝2（－）＝2－2，
A3D3＝＝＝（－），
即A3的纵坐标为（－）；
…
∴An（n为正整数）的纵坐标为：（－1）n＋1（）；
故答案为：（－1）n＋1（）；3. (2019 山东省东营市)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为　   　．【答案】﹣31009【解析】由题意可得，A1（1，），A2（1，﹣），A3（﹣3，﹣），A4（﹣3，3），A5（9，3），A6（9，﹣9），…，可得A2n＋1的横坐标为（﹣3）n∵2019＝2×1009＋1，∴点A2019的横坐标为：（﹣3）1009＝﹣31009，故答案为：﹣31009．4．(2019 山东省泰安市)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是　   　．【答案】（2n﹣1）【解析】由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1＋C1A2＋C2A3＋C3A4＋…＋Cn﹣1An）＝（1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1），设S＝1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1，则2S＝2＋4＋8＋…＋2n﹣1＋2n，则2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1＝2n﹣1，∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（2n﹣1），