数学必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理第3课时导学案

这是一份数学必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理第3课时导学案，共10页。

实际问题中的有关术语
思考：1.方位角的范围是什么？
提示：[0°，360°)
2．若点B在点A的北偏东60°，那么点A在点B的哪个方向？
提示：南偏西60°.
1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，由此可以计算出A，B两点的距离为( )
A．50eq \r(2) m B．50eq \r(3) m
C．25eq \r(2) mD．eq \f(25\r(2),2)m
A [由正弦定理得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(AC,sin B)，又∵B＝30°，
∴AB＝eq \f(ACsin∠ACB,sin B)＝eq \f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq \r(2)(m)．]
2．在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝eq \r(3)BD，BC＝2BD，则sin C的值为( )
A．eq \f(\r(3),3)B．eq \f(\r(3),6)
C．eq \f(\r(6),3)D．eq \f(\r(6),6)
D [设BD＝2，则AB＝AD＝eq \r(3)，BC＝4，
由余弦定理得cs∠ADB＝eq \f(AD2＋BD2－AB2,2×AD×BD)＝eq \f(3＋4－3,2×\r(3)×2)＝eq \f(\r(3),3)，
∴sin∠BDC＝eq \r(1－cs2∠BDC)＝eq \r(1－\f(1,3))＝eq \f(\r(6),3).
由正弦定理得eq \f(4,sin∠BDC)＝eq \f(2,sin C)，即sin C＝eq \f(1,2)sin∠BDC＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(\r(6),6).]
3．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m，________m.
20eq \r(3) eq \f(40\r(3),3) [甲楼的高为20tan 60°＝20×eq \r(3)＝20eq \r(3)(m)；
乙楼的高为：20eq \r(3)－20tan 30°＝20eq \r(3)－20×eq \f(\r(3),3)＝eq \f(40\r(3),3)(m)．]
4．如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
[解] 在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cs∠ADB，
设BD＝x，则有142＝102＋x2－2×10xcs 60°，
∴x2－10x－96＝0，
∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，
∴BD＝16.
在△BCD中，由正弦定理知，eq \f(BC,sin∠CDB)＝eq \f(BD,sin∠BCD)，
∴BC＝eq \f(16,sin 135°)·sin 30°＝8eq \r(2).
【例1】 在△ABC中，已知AB＝eq \f(4\r(6),3)，cs∠ABC＝eq \f(\r(6),6)，AC边上的中线BD＝eq \r(5)，求sin A的值．
[解] 如图所示，取BC的中点E，连接DE，则DE∥AB，且DE＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(2\r(6),3).
∵cs∠ABC＝eq \f(\r(6),6)，
∴cs∠BED＝－eq \f(\r(6),6).
设BE＝x，在△BDE中，利用余弦定理，
可得BD2＝BE2＋ED2－2BE·ED·cs∠BED，即5＝x2＋eq \f(8,3)＋2×eq \f(2\r(6),3)×eq \f(\r(6),6)x.
解得x＝1或x＝－eq \f(7,3)(舍去)，故BC＝2.
在△ABC中，利用余弦定理，可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠ABC＝eq \f(28,3)，即AC＝eq \f(2\r(21),3).
又sin∠ABC＝eq \r(1－cs2∠ABC)＝eq \f(\r(30),6)，
∴eq \f(2,sin A)＝eq \f(\f(2\r(21),3),\f(\r(30),6))，∴sin A＝eq \f(\r(70),14).
解决此类问题的着眼点：1找出已知边长或角的三角形，从中筛选出可解三角形；2找要求线段或角所在的三角形，确定所需条件.
提醒：构造三角形时，要注意使构造的三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.
eq \([跟进训练])
1．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，求其中线AD的长．
[解] 在△ACD中，由余弦定理，得eq \f(1,4)a2＋AD2－a×AD×cs∠ADC＝b2，
在△ABD中，由余弦定理，得eq \f(1,4)a2＋AD2－a×AD×cs∠ADB＝c2，
两式相加得，eq \f(1,2)a2＋2AD2－a×AD(cs∠ADC＋cs∠ADB)＝b2＋c2，
因为cs∠ADC＋cs∠ADB＝cseq (\a\vs4\al\c1(π－∠ADB))＋cs∠ADB＝－cs∠ADB＋cs∠ADB＝0，
所以eq \f(1,2)a2＋2AD2＝b2＋c2，
所以AD＝eq \f(1,2)eq \r(2b2＋2c2－a2).
【例2】 如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB．
[思路点拨] 利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝eq \f(h,tan 30°)＝eq \r(3)h，然后在△BCD中利用余弦定理求解．
[解] 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝eq \r(3)h.
在△BCD中，由余弦定理可得
CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cs∠CBD，即2002＝h2＋(eq \r(3)h)2－2·h·eq \r(3)h·eq \f(\r(3),2)，
所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，
所以塔高AB＝200米．
1．本题与立体几何有关，解决的关键是准确作出空间图形．
2．准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角等，建立相应的数学模型，将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识求解．
eq \([跟进训练])
2．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(参考数据：cs 15°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4))( )
A．240(eq \r(3)－1)m B．180(eq \r(2)－1)m
C．120(eq \r(3)－1)mD．30(eq \r(3)＋1)m
C [由题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝105°，∠C＝30°，设AD⊥BC交CB的延长线于点D，
在直角△ACD中，AC＝eq \f(AD,sin∠C)＝eq \f(60,sin30°)＝120，
在△ABC中，由正弦定理得
BC＝eq \f(AC×sin∠BAC,sin∠ABC)＝eq \f(120sin45°,cs15°)＝eq \f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝120(eq \r(3)－1)．]
【例3】 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(eq \r(3)－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10eq \r(3)海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
[思路点拨] 结合图形将实际问题转化为解三角形问题，应用正、余弦定理求解．
[解] 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10eq \r(3)t海里，BD＝10t海里．
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs ∠BAC＝(eq \r(3)－1)2＋22－2(eq \r(3)－1)·2·cs 120°＝6，
∴BC＝eq \r(6)海里．又∵eq \f(BC,sin∠BAC)＝eq \f(AC,sin∠ABC)，
∴sin∠ABC＝eq \f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq \f(2·sin 120°,\r(6))＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
在△BCD中，由正弦定理，得eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(CD,sin∠CBD)，
∴sin∠BCD＝eq \f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq \f(10t·sin 120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2)，
∴∠BCD＝30°，
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，即10t＝eq \r(6)，
∴t＝eq \f(\r(6),10)小时≈15分钟．
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．
1．假设在例3中，缉私船以最快的速度截获走私船(在D点)，把走私船带到海岸A处进行处理，求∠ADB的正弦值．
[解] 由例3解答可知CD＝3eq \r(2)，CB＝BD＝eq \r(6)，∠CBD＝120°，所以∠BCD＝∠BDC＝30°，故∠ACB＝15°，
则∠ACD＝45°，在△ACD中，由余弦定理得
AD2＝AC2＋CD2－2×AC×CD×cs 45°＝4＋18－2×2×3eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝10，
故AD＝eq \r(10)，
在△ABD中，由正弦定理得eq \f(AD,sin∠ABD)＝eq \f(AB,sin∠ADB)，
即eq \f(\r(10),sin 165°)＝eq \f(\r(3)－1,sin∠ADB)，解得sin∠ADB＝eq \f(2\r(5)－\r(15),10).
2．把例3中条件“走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜”改为“走私船正以15海里/时的速度，从B处向正北方向逃窜”，则例3的结果应是什么？
[解] 由例3的解答可知BC＝eq \r(6)，设缉私船沿CD方向，才能最快截获(在D点)走私船(如图所示)，
由题意知△CBD是直角三角形，且CD＝10eq \r(3)t，BD＝15t，
所以sin∠BCD＝eq \f(BD,CD)＝eq \f(15t,10\r(3)t)＝eq \f(\r(3),2)，
故∠BCD＝60°，10eq \r(3)tcs 60°＝eq \r(6)，
所以t＝eq \f(\r(2),5)(小时)．
所以缉私船应沿北偏东30°的方向行驶，才能最快截获走私船，需要eq \f(\r(2),5)小时．
1．理解题意，作出正确的示意图是解决本题的关键．
2．测量两个点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先是明确题意，根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解．
1．测量距离和高度问题都可以转化成利用正弦、余弦定理求解三角形边的问题．
2．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤
(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语．
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出．
(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解．
(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)俯角是铅垂线与视线所成角，其范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．( )
(2)在O点测得点A在其北偏西30°，则在O点测得点A的方位角是30°．
( )
(3)方位角与方向角的实质一样，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．为了测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是( )
A．20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(3),3))) m B．20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(3),2))) m
C．20(1＋eq \r(3)) mD．30 m
A [如图所示，∠BDC＝45°，∠ADC＝30°，又BH＝20 m，
∴AC＝CDtan 30°＝eq \f(20,3)eq \r(3).BC＝CD＝20.
因此AB＝AC＋BC＝20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(3),3))).]
3．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝________ cm.
eq \f(10\r(6),3) [如图所示，
设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，
则在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°，由正弦定理知x＝eq \f(AB·sin∠ABO,sin∠AOB)＝eq \f(10×sin 45°,sin 60°)＝eq \f(10\r(6),3)(cm)．]
4．已知AB⊥BD，AC⊥CD，AC＝1，AB＝2，∠BAC＝120°，求BD的长．
[解] 如图，连接BC，
BC＝
eq \r(22＋12－2×2×1×cs 120°)＝eq \r(7)，
在△ABC中，由正弦定理知，eq \f(2,sin∠ACB)＝eq \f(\r(7),sin 120°)，
∴sin∠ACB＝eq \f(\r(21),7).
又∵∠ACD＝90°，
∴cs∠BCD＝eq \f(\r(21),7)，sin∠BCD＝eq \f(2\r(7),7)，
由AB⊥BD，AC⊥CD，∠BAC＝120°，得∠BDC＝60°.
由正弦定理，得BD＝eq \f(BC·sin∠BCD,sin 60°)＝eq \f(\r(7)×\f(2\r(7),7),\f(\r(3),2))＝eq \f(4\r(3),3).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用．(重点)
2．了解测量的方法和意义．(难点)
3．提高应用数学知识解决实际问题的能力．(难点)
通过余弦定理与正弦定理的应用，培养数学运算与数学建模素养.
名称
定义
图示
仰角与
俯角
在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角
方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α
方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图，∠ABC
为北偏东60°或东偏北30°
三角形中的几何计算
测量高度问题
测量距离问题