高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.1 正弦函数的图象与性质再认识导学案及答案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.1 正弦函数的图象与性质再认识导学案及答案，共10页。


1．正弦函数的图象
在函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，起着关键作用的有五个关键点：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图．我们称这种作正弦曲线的方法为“五点法”．
2．正弦函数y＝sin x的性质
思考：1.“正弦函数在第一象限是增加的”这一说法正确吗？为什么？
提示：不正确．事实上，“第一象限”是由所有的区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z))构成的，在这样若干个区间所构成的集合的并集内，显然函数值不是随着x值的增加而增加的．
2．正弦曲线有对称轴和对称中心吗？分别有多少个？
提示：正弦函数曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形．函数y＝sin x，x∈R的对称轴是x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，有无数条；对称中心是点(kπ，0)(k∈Z)，有无穷多个．
1．函数y＝－sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的简图是( )
D [函数y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选D．]
2．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列不是关键点的是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))
C．(π，0)D．(2π，0)
[答案] A
3．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))取得最大值的x的集合是________．
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z)))) [当且仅当x－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即x＝eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z时，
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))取最大值．
故x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z)))).]
4．已知y＝a＋bsin x的最大值是eq \f(3,2)，最小值是－eq \f(1,2)，求a，b的值．
[解] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝\f(3,2),a－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝－\f(1,2))) ，得a＝eq \f(1,2)，b＝±1.
【例1】 用五点法作函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的图象.
[解] (1)列表：
(2)描点、连线，图象如图．
1．令x分别取0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，然后求出相应的y值，便得到决定图象特征的五个关键点．
2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．
eq \([跟进训练])
1．作出函数y＝－sin x(0≤x≤2π)的简图．
[解] 列表：
描点并用光滑的曲线连接起来，如图．
【例2】 利用y＝sin x的图象，在[0,2π]内求满足sin x≥－eq \f(1,2)的x的取值范围．
[思路点拨] 画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象， 作出直线y＝－eq \f(1,2)的图象，直线上方图象符合题意．
[解] 列表：
描点，连线如图，同时作出直线y＝－eq \f(1,2)的图象．
由图象可得sin x≥－eq \f(1,2)的x的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，eq \f(7π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(11π,6)，2π)).
用三角函数图象解三角不等式的方法.
1作出相应正弦函数在[0，2π]上的图象；
2写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
3根据所给条件写出不等式的解集.
eq \([跟进训练])
2．利用正弦曲线，求满足eq \f(1,2)[解] 首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象．如图所示，作直线y＝eq \f(1,2)，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,6)和eq \f(5π,6)；
作直线y＝eq \f(\r(3),2)，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,3)和eq \f(2π,3).
观察图象可知，在[0,2π]上，
当eq \f(π,6)所以eq \f(1,2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(2kπ＋\f(π,6)角度一 最值与值域问题
【例3】 求下列函数的值域．
(1)y＝2－sin x；
(2)y＝sin2x－4sin x＋5，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
[解] (1)由正弦函数y＝sin x的值域为[－1,1]．
得函数y＝2－sin x的值域为[1,3]．
(2)令t＝sin x，由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，得0≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1.
当t＝0，即sin x＝0时，最大值为5，
当t＝1，即sin x＝1时，最小值为2.
∴该函数的值域是[2,5]．
1．对于形如y＝asin x＋b的函数的值域，可以利用正弦函数图象或有界性直接解决．
2．对于形如y＝feq (\a\vs4\al\c1(sin x))的函数的值域，可令t＝sin x，将其转化为y＝feq (\a\vs4\al\c1(t))的形式，再求其值域，但需要考虑t的范围．
eq \([跟进训练])
3．函数y＝lg sin x的值域是________．
(－∞，0] [∵0角度二 奇偶性问题
【例4】 判断函数feq (\a\vs4\al\c1(x))＝lgeq \f(1－sin x,1＋sin x)的奇偶性．
[解] 由题意得，－1又feq (\a\vs4\al\c1(－x))＝lgeq \f(1－sin(\a\vs4\al\c1(－x)),1＋sin(\a\vs4\al\c1(－x)))＝lgeq \f(1＋sin x,1－sin x)＝－lgeq \f(1－sin x,1＋sin x)＝－feq (\a\vs4\al\c1(x))，∴函数feq (\a\vs4\al\c1(x))是奇函数．
判断函数奇偶性的方法
eq \([跟进训练])
4．判断函数f(x)＝eq \f(sin x,x)的奇偶性．
[解] 函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠0))))，
又feq (\a\vs4\al\c1(－x))＝eq \f(sin(\a\vs4\al\c1(－x)),－x)＝eq \f(－sin x,－x)＝eq \f(sin x,x)＝feq (\a\vs4\al\c1(x)).
所以，函数feq (\a\vs4\al\c1(x))是偶函数．
角度三 单调性及应用
【例5】 (1)比较sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)π))与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))的大小；
(2)求函数y＝2sin(－x)的单调递增区间．
[解] (1)∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)π))＝－sineq \f(3,5)π.
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,4)π))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(5,4)π))＝－sineq \f(5,4)π，
由于eq \f(π,2)∴sineq \f(3,5)π>sineq \f(5,4)π，
∴－sineq \f(3,5)π<－sineq \f(5,4)π，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)π))(2)∵y＝2sin(－x)＝－2sin x，
∴函数y＝2sin(－x)的递增区间就是函数u＝2sin x的递减区间．
∴函数y＝2sin(－x)的的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(3π,2)))eq (\a\vs4\al\c1(k∈Z)).
1．比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．
2．比较sin α与cs β的大小，常把cs β转化为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)±β))后，再依据单调性进行比较．
3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图象或值的符号比较．
eq \([跟进训练])
5．比较sin 194°与cs 110°的大小．
[解] ∵sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cs 110°＝cs(180°－70°)＝－cs 70°＝－sin(90°－70°)＝－sin 20°，
由于0°<14°<20°<90°，而y＝sin x在[0°，90°]上单调递增，
∴sin 14°∴－sin 14°>－sin 20°，即sin 194°>cs 110°.
6．求函数y＝2sin x的单调区间．
[解] y＝2sin x的单调性与y＝sin x的单调性相同．
∴y＝2sin x的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k∈Z))，
单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k∈Z)).
1．三角函数图象直观地反映了三角函数的性质，所以画好三角函数的图象是研究三角函数性质的关键，因此一定要掌握正弦、余弦函数的图象特征，特别是会灵活运用五点作图法准确作出函数图象．
2．在记忆和应用正弦函数的性质时，一定要联系图象进行综合思考，将数与形有机地结合起来．
3．求解与正弦函数有关的值域或最值问题时，一定要注意三角函数的有界性，同时注意换元法的应用．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝sin x在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同．( )
(2) 函数y＝sin x的图象介于直线y＝－1和y＝1之间．( )
(3) 函数y＝sin x的图象关于x轴对称．( )
(4)用“五点法”画函数y＝sin x在区间[－π，π]上的简图时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－1))是其中的一个关键点．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))的图象是( )
A B
C D
C [由y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))＝|sin x|，知该函数为偶函数，
当sin x≥0时，y＝sin x，当sin x＜0时，y＝－sin x，
作x≥0时y＝sin x的图象，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，再关于y轴对称即作出y＝|sin x|的图象．]
3．在[0,2π]上，满足sin x≥eq \f(\r(2),2)的x的取值范围为________．
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) [结合图象可知为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))).]
4．用“五点法”画出函数y＝eq \f(1,2)＋sin x，x∈[0,2π]的简图．
[解] (1)取值列表如下：
(2)描点、连线，如图所示．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能用“五点法”画正弦函数在[0,2π]上的图象．(重点)
2．理解正弦曲线的意义．(难点)
3．掌握正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期，单调区间和最值．(难点)
1.通过画正弦函数的图象，培养直观想象素养．
2．通过正弦函数性质的应用，培养数学运算素养.
函数
y＝sin x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
奇函数
周期性
周期函数，T＝2π
单调性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上是单调递增的；
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上是单调递减的
最值
当x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)时，ymin＝－1
“五点法”作图
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
－sin x
0
－1
0
1
0
利用正弦函数图象解不等式
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
正弦函数性质及应用
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
eq \f(1,2)＋sin x
eq \f(1,2)
eq \f(3,2)
eq \f(1,2)
－eq \f(1,2)
eq \f(1,2)