人教A版 (2019)必修第二册7.3* 复数的三角表示导学案及答案

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这是一份人教A版 (2019)必修第二册7.3* 复数的三角表示导学案及答案

7．3*　复数的三角表示7．3.1　复数的三角表示式[目标] 1.知道复数的模和辐角的定义；2.会求复数的模和辐角主值；3.能求出复数的三角形式．[重点] 复数的代数形式向三角形式的转换．[难点] 复数的代数形式与三角形式的互换．要点整合夯基础知识点一　　复数的三角形式[填一填]1．定义：r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \o(OZ,\s\up15(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．2．非零复数z辐角θ的多值性以x轴正半轴为始边，向量eq \o(OZ,\s\up15(→))所在的射线为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角，因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z) (k∈Z)．3．辐角主值(1)表示法：用argz表示复数z的辐角主值．(2)定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值．(3)唯一性：复数z的辐角主值是确定的、唯一的．[答一答]1．当z＝0时，其辐角如何？提示：z＝0时，其辐角是任意的．2．如何确定复数三角形式中辐角、辐角主值？提示：可以运用三角函数值求解．知识点二　　　复数的代数形式与三角形式的互化[填一填]复数z＝a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝r·cosθ，,b＝r·sinθ，,r＝\r(a2＋b2).))[答一答]3．将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)时，要注意什么？提示：将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)时，要注意：(1)r＝eq \r(a2＋b2).(2)cosθ＝eq \f(a,r)，sinθ＝eq \f(b,r)，其中θ终边所在象限与点(a，b)所在象限相同．若tanθ＝eq \f(b,a)(a≠0)，θ终边所在象限与点(a，b)所在象限一致．当a＝0，b>0时，argz＝eq \f(π,2). 典例讲练破题型类型一　代数形式与三角形式的转换[例1]　下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)；(2)z2＝cosθ－isinθ.[分析]　由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向．变形时，可按照如下步骤进行：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”．这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率．[解]　(1)由“模非负”知，不是三角形式，需做变换：z1＝2(－cosθ－isinθ)，复平面上点Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．∴z1＝2(－cosθ－isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．(2)由“加号连”知，不是三角形式，复平面上点Z2(cosθ，－sinθ)在第四象限(假定θ为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－θ”或“－θ”将θ变换到第四象限．∴z2＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)或z2＝cosθ－isinθ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题. [变式训练1]　下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：(1)z3＝－sinθ＋icosθ；(2)z4＝－sinθ－icosθ；(3)z5＝cos60°＋isin30°.解：(1)由“余弦前”知，不是三角形式，复平面上点Z3(－sinθ，cosθ)在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公式“eq \f(π,2)＋θ”将θ变换到第二象限．∴z3＝－sinθ＋icosθ＝cos(eq \f(π,2)＋θ)＋isin(eq \f(π,2)＋θ)．(2)不是三角形式，同理(1)可得z4＝－sinθ－icosθ＝cos(eq \f(3,2)π－θ)＋isin(eq \f(3,2)π－θ)．(3)由“角相同”知，不是三角形式，z5＝cos60°＋isin30°＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i＝eq \f(1,2)(1＋i)＝eq \f(1,2)×eq \r(2)(coseq \f(π,4)＋isineq \f(π,4))＝eq \f(\r(2),2)(coseq \f(π,4)＋isineq \f(π,4))．类型二　　将复数的三角形式化为代数形式[例2]　将复数3eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2,3)π＋isin\f(2,3)π))化为代数形式为________．[解析]　3eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2,3)π＋isin\f(2,3)π))＝3eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝－eq \f(3\r(2),2)＋eq \f(3\r(6),2)i.[答案]　－eq \f(3\r(2),2)＋eq \f(3\r(6),2)i将复数的三角形式rcosθ＋isinθ化为代数形式a＋bia，b∈R时，其中a＝rcosθ，b＝rsinθ.[变式训练2]　复数6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(4π,3)－isin\f(4π,3)))的代数形式是－3－3eq \r(3)i.解析：6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(4π,3)－isin\f(4π,3)))＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝－3－3eq \r(3)i.类型三　复数的模与辐角主值[例3]　求复数z＝1＋cosθ＋isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值．[分析]　式子中多了个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”．[解]　z＝1＋cosθ＋isinθ＝1＋(2cos2eq \f(θ,2)－1)＋2i·sineq \f(θ,2)coseq \f(θ,2)＝2coseq \f(θ,2)(coseq \f(θ,2)＋isineq \f(θ,2))，①∵π<θ<2π，∴eq \f(π,2)<eq \f(θ,2)<π，∴coseq \f(θ,2)<0，∴①式右端＝－2coseq \f(θ,2)(－coseq \f(θ,2)－isineq \f(θ,2))＝－2coseq \f(θ,2)[cos(π＋eq \f(θ,2))＋isin(π＋eq \f(θ,2))]，∴r＝－2coseq \f(θ,2)，z的辐角为π＋eq \f(θ,2)＋2kπ(k∈Z)．∵eq \f(π,2)<eq \f(θ,2)<π，∴eq \f(3,2)π<π＋eq \f(θ,2)<2π，∴argz＝π＋eq \f(θ,2).复数的三角形式z＝rcosθ＋isinθ中，模r≥0，θ为任意角，若θ为辐角主值，则θ∈[0，2π.[变式训练3]　将z＝eq \f(1＋itanθ,1－itanθ)(eq \f(11,4)π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值．解：z＝eq \f(1＋itanθ,1－itanθ)＝eq \f(1＋i\f(sinθ,cosθ),1－\f(isinθ,cosθ))＝eq \f(cosθ＋isinθ,cosθ－isinθ)＝eq \f(cosθ＋isinθ2,cosθ－isinθcosθ＋isinθ)＝cos2θ＋isin2θ.∵eq \f(11,4)π<θ<3π，∴eq \f(11,2)π<2θ<6π，∴eq \f(3,2)π<2θ－4π<2π，∴argz＝2θ－4π.类型四　　复数辐角的应用[例4]　复数z满足arg(z＋3)＝eq \f(5,6)π，求|z＋6|＋|z－3i|最小值．[分析]　由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小值，将之转化为几何问题来解决应比较简便. [解]　由arg(z＋3)＝eq \f(5,6)π，知z＋3的轨迹是射线OA，则z轨迹应是平行于OA，且过点(－3,0)的射线BM(如图)，∴|z＋6|＋|z－3i|就表示射线BM上点到点P(－6,0)和点Q(0,3)距离之和，连接PQ与射线BM交于点N，当复数z在复平面内的点为N点时，|z＋6|＋|z－3i|所取的值最小，即|z＋6|＋|z－3i|＝|PN|＋|NQ|＝|PQ|＝3eq \r(5)，∴所求最小值＝3eq \r(5).解此类题的本质是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模距离和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便. [变式训练4]　已知|z－2i|≤1，求arg(z－4i)最大值．解：∵|z－2i|≤1，∴点Z轨迹是以(0,2)为圆心，1为半径的圆面．如图，在其上任取一点Z，连接Z与点(0,4)得一以(0,4)为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，则θ为其对应的辐角主值，显然arg(z－4i)最大值为eq \f(5,3)π. 课堂达标练经典　　　　　　　　　　　　　　1．求下列复数的模和辐角主值．(1)1＋i；(2)eq \r(3)－i.解：(1)|1＋i|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，又tanθ＝eq \f(b,a)＝1，点(1,1)在第一象限．所以θ＝arg(1＋i)＝eq \f(π,4).(2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)－i))＝eq \r(\r(3)2＋－12)＝2，有tanθ＝－eq \f(1,\r(3))，点(eq \r(3)，－1)在第四象限，所以θ＝arg(eq \r(3)－i)＝2π－eq \f(π,6)＝eq \f(11π,6).2．写出下列复数的三角形式．(1)ai(a∈R)；(2)tanθ＋i(eq \f(π,2)<θ<π)；(3)－eq \r(3)(sinθ－icosθ)．解：(1)ai＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(acos\f(π,2)＋isin\f(π,2)a≥0，,－acos\f(3,2)π＋isin\f(3,2)πa<0.))(2)tanθ＋i(eq \f(π,2)<θ<π)＝－eq \f(1,cosθ)[cos(eq \f(3,2)π－θ)＋isin(eq \f(3,2)π－θ)]．(3)－eq \r(3)(sinθ－icosθ)＝eq \r(3)[cos(eq \f(π,2)＋θ)＋isin(eq \f(π,2)＋θ)]．3．复数的代数形式与三角形式互化：(1)－1＋eq \r(3)i；(2)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,6)＋isin\f(5π,6))).解：(1)r＝|－1＋eq \r(3)i|＝2，arg(－1＋eq \r(3)i)＝eq \f(2π,3)，所以－1＋eq \r(3)i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)＋isin\f(2π,3))).(2)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,6)＋isin\f(5π,6)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))＝－eq \r(3)＋i.4．复数z的辐角为θ(0<θ<π)，且满足|z－i|＝1，求复数z2－zi的辐角主值．解：设z＝r(cosθ＋isinθ)，r>0.由|z－i|＝1，得(rcosθ)2＋(rsinθ－1)2＝1.即r2＝2rsinθ，∴r＝2sinθ，z＝2sinθ(cosθ＋isinθ)．z2－zi＝z(z－i)＝2sinθ(cosθ＋isinθ)[2sinθ(cosθ＋isinθ)－i]＝2sinθ(cosθ＋isinθ)(sin2θ－icos2θ)＝2sinθ(cosθ＋isinθ)[cos(2θ－eq \f(π,2))＋isin(2θ－eq \f(π,2))]＝2sinθ[cos(3θ－eq \f(π,2))＋isin(3θ－eq \f(π,2))]．① 0<θ<eq \f(π,6)，－eq \f(π,2)<3θ－eq \f(π,2)<0，arg(z2－zi)＝3θ－eq \f(π,2)＋2π＝eq \f(3π,2)＋3θ；②eq \f(π,6)≤θ<eq \f(5π,6)，0≤3θ－eq \f(π,2)<2π，arg(z2－zi)＝3θ－eq \f(π,2)；③eq \f(5π,6)≤θ<π，2π≤3θ－eq \f(π,2)<eq \f(5π,2)，arg(z2－zi)＝3θ－eq \f(π,2)－2π＝3θ－eq \f(5π,2).5．设z＝a－1＋ai，a∈R，|z|≤1.(1)求a的取值范围；(2)若u＝eq \f(z,z－a)，求u的辐角主值的取值范围．解：(1)|z|2＝(a－1)2＋a2≤1，∴2a(a－1)≤0，∴0≤a≤1.(2)u＝eq \f(z,z－a)＝eq \f(a－1＋ai,－1＋ai)＝eq \f(a－1＋ai－1－ai,1＋a2)＝eq \f(1－a＋a2－a2i,1＋a2).设u的辐角主值为θ，当a＝0时，u＝1，θ＝0.当a≠0时，tanθ＝－eq \f(a2,1－a＋a2)＝－eq \f(1,\f(1,a2)－\f(1,a)＋1)＝－eq \f(1,\f(1,a)－\f(1,2)2＋\f(3,4))，∵0