高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.2 平面与平面垂直第2课时导学案

第2课时　平面与平面垂直的判定

平面与平面垂直的判定定理

思考：1.若两个平面所成的二面角为90°，这两个平面有什么位置关系？

提示：垂直

2．过已知平面的垂线，有几个平面和已知平面垂直？

提示：有无数多个．

1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　 B．可能重合

C．相交且垂直 D．相交不垂直

C　[由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C．]

2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是(　　)

A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂β

C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β

C　[A与D中α也可与β平行，B中不一定α⊥β，故选C．]

3．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．

平行　[由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．]

【例1】　如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC．

证明：平面AEC⊥平面AFC．

[证明]　如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.

由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC．

又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC．

在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.

在Rt△FDG中，可得FG＝.

在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝.

从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.

又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC．

因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC．

1证明平面与平面垂直的方法

①利用定义：证明二面角的平面角为直角；

②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.

2根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.

1．在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC．

[证明]　∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD．

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，

又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC．

∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC．

[探究问题]

1．空间中线、面的垂直关系是如何转化的？

提示：转化关系如下：

2．证明直线与直线垂直的方法有哪些？

提示：(1)利用平面几何的知识：如勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，菱形的性质等；(2)证明一条直线垂直另一条直线所在的平面．

【例2】　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形．

(1)求证：AD⊥PB；

(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．

[思路点拨]　(1)→

→

(2)→→

[解]　(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．

因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD．

在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD．

又因为BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB．

因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB．

(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD．

如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF∥PB．

在菱形ABCD中，GB∥DE，

而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，

所以平面DEF∥平面PGB．

由(1)，得AD⊥平面PGB，而AD⊂平面ABCD，

所以平面PGB⊥平面ABCD．

所以平面DEF⊥平面ABCD．

1空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的.

2空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰边三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.

2．如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．

(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?

[解]　(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，

∴AB⊥CD．

∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC．

又∵＝＝λ(0<λ<1)，

∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC．

又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC．

(2)由(1)知BE⊥EF，

∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，

∴BE⊥平面ACD．

又∵AC⊂平面ACD，∴BE⊥AC．

∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，

∴BD＝，∴AB＝tan 60°＝，

∴AC＝＝.

由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，

∴AE＝，∴λ＝＝.

故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD．

平面与平面垂直的判定定理的应用思路

(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直面面垂直．

(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化． (　　)

(2)已知α，β，γ是平面，且α⊥β，若α⊥γ，则β⊥γ． (　　)

(3)已知α，β，γ是平面，且α∥β，若α⊥γ，则β⊥γ． (　　)

[提示]　(1)正确．

(2)错误．β和γ可能平行，也可能相交．

(3)正确．

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√

2．如图，BCDE是一个正方形，AB⊥平面BCDE，则图中(侧面，底面)互相垂直的平面共有(　　)

A．4组　　　 B．5组

C．6组 D．7组

B　[由AB⊥平面BCDE，可得平面ABC⊥平面BCDE，平面ABE⊥平面BCDE，又因为BCDE是一个正方形，所以BC⊥平面ABE平面ABC⊥平面ABE，

同理可得平面ACD⊥平面ABC，平面ADE⊥平面ABE，故共有5组，故选B．]

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)

垂直　[如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD．

又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，

∴BD⊥平面AA1C1C．

又BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面AA1C1C．]

4．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC．

[证明]　如图，连接OC，因为OA＝OC，

D是AC的中点，所以AC⊥OD．

又PO⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD．又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC．