北师大版 (2019)必修 第二册第六章 立体几何初步5 垂直关系5.1 直线与平面垂直第1课时学案及答案

§5　垂直关系

5.1　直线与平面垂直

第1课时　直线与平面垂直的性质 

1．直线与平面垂直的定义

2.直线与平面垂直的性质定理

(1)定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．

(2)作用：判定两条直线平行．

3．直线和平面所成的角

4.直线到平面的距离

如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离．

思考：1.垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？

提示：共面．由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面．

2．直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？

提示：定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．

3．若a⊂α，b⊥α，则b⊥a，正确吗？

提示：正确，由直线与平面垂直的定义可知其正确．

1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)

A．平行　　　　　　 B．相交

C．异面 D．垂直

A　[若l∥m，又l⊄α，m⊂α，∴l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．]

2．在空间中，下列命题正确的是(　　)

A．垂直于同一条直线的两直线平行

B．平行于同一条直线的两个平面平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行

D．垂直于同一平面的两条直线平行

D　[A项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中，平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中，垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确．]

3．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是__________．

30°　[由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角．

在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30°.]

【例1】　下列命题中，正确的序号是__________．

①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；

④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；

⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．

④⑤　[当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．故填④⑤.]

1．直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．

2．由定义可得线面垂直线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.

1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

B　[对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，若l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．]

【例2】　已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：

①n∥α；②m∥n；

③α∥β；④m∥n.

其中正确命题的序号是(　　)

A．②③　　　　　　 B．③④

C．①② D．①②③④

A　[①中n，α可能平行或n在平面α内；②③正确；④两直线m，n平行或异面，故选A．]

判定两条直线平行的常用方法

1利用线线平行定义：证共面且无公共点.

2利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线.

3利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.

4利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.

5利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.

2．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题

①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；

②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；

③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；

④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.

其中真命题的序号是(　　)

A．①② B．③④

C．①④ D．②③

D　[①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误．]

[探究问题]

1．作出斜线和平面所成的角的关键是什么？

提示：找到平面的垂线和斜线在平面内的投影，斜线和投影所成的锐角就是斜线和平面所成的角．

2．如何求线面角的大小？

提示：一般作出或找到线面角后，首先将线面角置于一个三角形内，求出线面角的一个三角函数值，然后再求出线面角的大小．

【例3】　三棱锥S－ABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值．

[思路点拨]　→→→

[解]　如图，过S作SO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO.则SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO.

∵SA＝SB＝SC＝a，∴△SOA≌△SOB≌△SOC，

∴AO＝BO＝CO，∴O为△ABC的外心．

∵△ABC为正三角形，∴O为△ABC的中心．

∵SO⊥平面ABC，∴∠SAO即为SA与平面ABC所成的角．

在Rt△SAO中，SA＝a，AO＝×a＝a，

∴cos∠SAO＝＝，∴SA与底面ABC所成角的余弦值为.

求斜线与平面所成的角的步骤

1作角：作或找出斜线在平面上的投影，将空间角斜线与平面所成的角转化为平面角两条相交直线所成的锐角，作投影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足有时可以是两垂足作直线，

2证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.

3计算：通常在垂线段、斜线和投影所组成的直角三角形中计算.

3．如图所示，若斜线段AB的长度是它在平面α上的投影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)

A．60°  B．45°

C．30° D．120°

A　[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.]

1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．

2．求线面角的常用方法

(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)．

(2)转移法(找过点与面平行的线或面)．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．               (　　)

(2)若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0°． (　　)

(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一个平面．               (　　)

[提示]　(1)错误．直线l与平面α内的直线可能相交，可能异面，但不可能平行．

(2)正确．

(3)正确．由直线和平面垂直的定义可知其正确．

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

2．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(　　)

A．平行　　　　　　 B．相交

C．垂直 D．互为异面直线

C　[在平面α内必有直线m和直线l所成的角为90°，所以二者垂直．]

3．a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是________．

平行　[由线面垂直的性质定理可得．]

4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与平面AA1D1D所成的角．

[解]　∵AB⊥平面AA1D1D，

∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，

在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，

∴∠AA1B＝45°，∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.