高中北师大版 (2019)2.2 复数的乘法与除法第1课时学案

这是一份高中北师大版 (2019)2.2 复数的乘法与除法第1课时学案，共8页。
  2.2　复数的乘法与除法*2.3　复数乘法几何意义初探第1课时　复数乘法与除法的简单运算学 习 目 标核 心 素 养1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算．(重点、难点)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. (难点)1.通过学习复数的乘法和除法，培养学生数学运算素养．2．通过学习复数乘法运算所满足的运算律，培养学生数学抽象素养.1. 复数的乘法(1)复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2) ·z3＝z1·_(z2·z3)乘法对加法的分配律z1· (z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3(3)复数的指数幂的运算性质对复数z，z1，z2和正整数m，n，有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z·z.(4)虚数单位i乘方的周期性对于任意自然数n，有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.(5)共轭复数的性质：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝||2＝|z|2＝a2＋b2.2．复数的除法(1)复数的除法：对任意的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数z2＝c＋di(c，d∈R)，规定复数的除法：＝z1·.即除以一个复数等于乘这个复数的倒数．因此＝＝(a＋bi)＝－i.(2)复数除法的运算：在实际计算时，通常把分子和分母同乘分母c＋di的共轭复数c－di，化简后就得到上面的结果：＝＝－i.由此可见，在进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”．思考：1.复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相似？提示：相似，但是运算的结果要把i2写成－1.2．类比根式除法的分母有理化，比如＝，你能写出复数的除法法则吗？提示：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＋i.1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为(　　)A．6－4i　　　　　 B．－6－4iC．6＋4i D．－6＋4iD　[(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.]2．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　)A．－i B．iC．－1 D．1A　[z＝＝－i.]3．设复数z＝1＋i，则z2－2z＝________.－3　[ ∵z＝1＋i，∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋i)(1＋i－2)＝(1＋i)(－1＋i)＝－3.]复数的乘法【例1】　计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.[解]　(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.1．两个复数代数形式乘法的运算步骤(1)首先按多项式的乘法展开；(2)再将i2换成－1；(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)；(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；(3)(1±i)2＝±2i. 1．(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　)A．2－13i　　　　　　 B．13＋2iC．13－13i D．－13－2i(2)复数(1－i)2(2－3i)的值为(　　)A．6－4i B．－6－4iC．6＋4i D．－6＋4i(1)D　(2)B　[(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.(2)(1－i)2(2－3i)＝(－2i)(2－3i)＝－6－4i.]复数的除法【例2】　(1)已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是(　　)A．M　　　　　　 B．NC．P D．Q(2)设复数z＝1＋2i，则＝(　　)A．2i B．－2iC．2 D．－2(3)设复数z满足＝i，则|z|等于(　　)A．1 B．C． D．2(1)D　(2)C　(3)A　[(1)由图可知z＝3＋i，所以复数＝＝＝＝2－i，表示的点是Q(2，－1)．故选D．(2)＝＝＝＝2.故选C．(3)由＝i，得z＝＝＝＝i，|z|＝|i|＝1.]两个复数代数形式的除法运算步骤1首先将除式写为分式；2再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；3然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.2．(1) ＝(　　)A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i(2)已知i为虚数单位，则＝(　　)A． B．C． D．(1)D　(2)D　[(1)＝＝＝2－i.(2)＝＝.]复数几何意义的综合应用[探究问题]1. 复数z＝－2＋i在复平面内对应的点在第几象限？提示：因为复数z＝－2＋i在复平面内对应的点为(－2,1)，它在第二象限．2．若复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a，b应满足什么条件？提示：a>0，b<0.【例3】　(1)已知i是虚数单位，设复数z1＝1＋i，z2＝1＋2i，则在复平面内对应的点在(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)[思路点拨]　(1)→→(2)→→(1)D　(2)B　[(1)由题可得，＝＝＝－i，对应在复平面上的点的坐标为，在第四象限．(2)因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，又此点在第二象限，所以解得a＜－1.]1．把例3(1)中的复数“”换为“”，答案是哪个？[解]　＝＝－i，则复数z对应的点为，在第四象限，故选D．2．把例3(2)中的复数“(1－i)(a＋i)”换为“”，其余条件不变， 求实数a的取值范围．[解]　因为＝＝－i，由题意可得 ，解得a<－.(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b)＝(a，b)．(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解法更加直观．1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个共轭复数的和与积是实数．  (　　)(2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0． (　　)(3)两个复数互为共轭复数是它们的积为实数的必要条件． (　　)[提示]　(1)正确．(2)错误．反例：z1＝1，z2＝i，满足z＋z＝0，但z1＝z2＝0不成立．(3)错误．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝(　　)A．－2i　　　　　　 B．2iC．－2 D．2A　[∵zi＝1＋i，∴z＝＝＋1＝1－i. ∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.]3. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限D　[＝＝＋i，其共轭复数为－i，∴复数的共轭复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D．]4．计算：(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)．[解]　(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.