数学必修 第二册5.1 直线与平面垂直第2课时学案

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第2课时　直线与平面垂直的判定学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线与平面垂直的判定定理．(重点)2．会用直线和平面垂直的判定定理解决相关的问题．(重点、难点)1.通过对直线与平面垂直的判定定理的发现，培养学生数学抽象素养．2．通过利用直线与平面判定定理证明线面垂直，培养学生逻辑推理素养.直线与平面垂直的判定定理  文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b, a∩b＝Al⊥α图形语言思考：1.若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？提示：当这两条直线平行时，直线可与平面相交，但不一定垂直．2．如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？提示：垂直．1．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(　　)A．平行　　　　　 B．垂直C．相交 D．不确定B　[由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB．]2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是(　　)A．平行 B．垂直C．在平面α内 D．无法确定D　[当平面α内的两条直线相交时，直线l⊥平面α，即l与α相交，当平面α内的两直线平行时，l⊂α或l∥α或l与α垂直或l与α斜交．]3．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________．a，b相交　[由线面垂直的判定定理可知，需添加的一个条件是直线a，b相交．]对直线与平面垂直的判定定理的理解【例1】　下列说法正确的有________(填序号)．①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若直线l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．②　[因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确．由线面垂直的定义可得，②正确．因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确．如图，l与α不垂直，但a⊂α，l⊥a，故④不正确．]1对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.2判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)A．平面OAB　　　　　 B．平面OACC．平面OBC D．平面ABCC　[∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC．] 直线与平面垂直的判定【例2】　如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB．[证明]　(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB．又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴NQ⊥PB．利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论.2．如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．[证明]　(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD．又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC．(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC．又由(1)知SD⊥BD，于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线．∴BD⊥平面SAC． 判定定理和线面角的综合应用[探究问题]1．我们知道，求线面角的关键是找到平面的垂线并作出线面角，那么如何寻找平面的垂线？提示：根据直线与平面垂直的判定定理，和平面内两条相交直线都垂直的直线就是该平面的垂线．2．求斜线和平面所成的角时，一般要过斜线上一点作平面的垂线，那么这斜线上的一点应该如何选取？提示：斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．【例3】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小．[思路点拨]　→→→[解]　如图，连接A1D，设A1D∩AD1＝O，连接BO，因为A1D⊥AD1，A1D⊥AB，AD1∩AB＝A，所以A1D⊥平面ABC1D1，∴A1B在平面ABC1D1内的投影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.∵A1O＝A1B，∴∠A1BO＝30°.1．例3的条件不变，求直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小．[解]　∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，∴A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为90°.2．例3的条件不变，求A1B与平面BB1D1D所成的角．[解]　连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝.又∵∠A1OB＝90°，∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°，∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.求直线与平面所成角1求解步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的投影，斜线与其投影所成的锐角或直角即为所求的角.③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.2从求直线与平面所成角的步骤看，可以归纳为作、证、求三个环节，作、证充分体现了逻辑推理的数学核心素养，而求又突出了数学运算的素养.1．直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90°；(2)线面垂直，则线线垂直．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α． (　　)(2)若a⊥b，b⊥α，则a∥α．  (　　)(3)若直线l与平面四边形的两边所在的直线垂直，则l就和这个平面垂直．  (　　)[提示]　(1)错误．直线l与平面α可能平行，也可能相交但不垂直．(2)错误．a也可能在平面α内．(3)错误．若平面四边形的两条边平行，则不能保证l和这个平面垂直．[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(　　)A．α∥β，且m⊂α　　 B．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂β D．m⊥n，且n∥βB　[A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B．]3．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．①③④　[根据直线与平面垂直的判定定理，知平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直．而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．故填①③④.]4．如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝. 求证：BD⊥平面ACD．[证明]　如图，取CD的中点为G，连接EG，FG.又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴FG∥BD，EG∥AC．∵AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1.∵EF＝，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD．又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD．