北师大版 (2019)1.1 复数的概念学案

§1　复数的概念及其几何意义

1.1　复数的概念 

1．复数的有关概念

形如a＋bi(其中a，b是实数)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．其中a称为复数z的实部，记作Re z, b称为复数z的虚部，记作Im z.

2．复数的分类

根据复数中a，b的取值不同，复数可以有以下的分类：

复数a＋bi(a，b∈R)

3．复数集

全体复数构成的集合称为复数集，记作C．显然RC．

4．复数相等

两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c且b＝d时成立．

思考：1.两个复数一定能比较大小吗？

提示：当两个复数为实数时，能够比较大小；否则不能比较大小．

2．若复数a＋2i＝3＋bi(a，b∈R)，则a＋b的值是什么？

提示：因为a＋2i＝3＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a＋b＝5.

1．在2＋，i, 8＋5i，(1－)i, 0.68这几个数中，纯虚数的个数为(　　)

A．0　　　　　　　 B．1

C．2 D．3

C　[i, (1－)i是纯虚数，故选C．]

2．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi等于(　　)

A．－2＋i B．2＋i

C．1－2i D．1＋2i

B　[由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.]

3．设m∈R，复数z＝－1－m＋(2m－3)i.

(1)若z为实数，则m＝________；

(2)若z为纯虚数，则m＝________.

(1)　(2)－1　[(1)若复数z＝－1－m＋(2m－3)i为实数，则2m－3＝0，所以m＝；(2)若z为纯虚数，则－1－m＝0，所以m＝－1.]

【例1】　(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　)

A．0　　　　　　 B．1

C．2 D．3

(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．

(1)B　(2)±　 5　[(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部是2，不是2i，②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，③为真命题．故选B．

(2)由题意知∴a＝±，b＝5.]

1复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.

2不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.

3举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.

1．下列命题：

①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；

②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；

③实数集是复数集的真子集．

其中正确说法的个数是(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

B　[对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误．对于②，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，故②错误．显然，③正确．故选B．]

【例2】　(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；

(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．

[解]　 (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴解得或

(2)设方程的实数根为x＝m，则3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，

∴解得a＝11或a＝－.

复数相等问题的解题技巧

1必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.

2根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.

3如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.

2．复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.

5　[因为m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.

由复数相等的充要条件得解得m＝5.]

[探究问题]

1. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)何时为虚数？

提示：b≠0.

2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)何时为纯虚数？

提示：a＝0，b≠0.

【例3】　当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i.

(1)是虚数；(2)是纯虚数．

[思路点拨]　(1)→

→

(2)→

→

[解]　(1)当即m≠5且m≠－3时，z是虚数．

(2)当即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．

1．例3的条件不变，当m为何值时，z为实数？

[解]　当即m＝5时，z是实数．

2．例3的条件不变，当m为何值时，z>0.

[解]　因为z>0，所以z为实数，需满足解得m＝5.

3．已知z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围．

[解]　∵z是虚数，∴log(3－m)≠0，且1＋m>0，

即∴－1<m<2或2<m<3. ∴m的取值范围为(－1,2)∪(2,3)．

复数分类的关键

1利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bia，b∈R时应先转化形式.

2注意分清复数分类中的条件,设复数z＝a＋bia，b∈R，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0.④z＝0⇔a＝0，且b＝0.

1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．

2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． (　　)

(2)复数z＝bi是纯虚数．  (　　)

(3)若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．

  (　　)

[提示]　(1)错误．若b＝0，则复数z＝a＋bi是实数．

(2)错误．若b＝0，则复数z＝bi＝0是实数．

(3)正确．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则这两个复数的实部和虚部分别相等，所以两个复数相等．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

2．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是(　　)

A．3－3i　　　　　 B．3＋i

C．－＋i D．＋i

A　[3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A．]

3．已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝(　　)

A．2 B．3

C．－3 D．9

B　[因为z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有解得a＝3.故选B．]

4．已知复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，求实数m的值．

[解]　因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，

所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.