人教B版 (2019)必修 第一册2.1.3 方程组的解集导学案

2.1.3　方程组的解集

学习目标

1.理解消元法解方程组的思想,会用消元法解二元一次方程组,三元一次方程组.

提高数学抽象、数学运算的学科素养.

2.掌握解三元一次方程组过程中三元化二元或一元的基本思路,进一步体会“消元”思想.

提高直观想象的学科素养.

3.理解消元法解二元二次方程组的基本思路,会解简单的二元二次方程组.在特定语境中能正确列出方程组.提高数学运算的核心素养.

4.通过求方程组的解集,让学生逐步体会数学学习严谨的学习态度和周密的思考方法.培养学生逻辑推理的学科素养.

重点:

1.用消元法解方程组.

2.判断方程组是有限集还是无限集.

3.解读古代数学语境,能正确列出方程组.

难点:

在应用题中正确解读语境,能够列出题目要求的方程组.

自主预习

一、新知探究

1.方程组的解集

一般地,将多个方程联立,就能得到方程组,方程组中,由每个方程的解集得到的　　　　　称为这个方程组的解集. 

2.求方程组解集的依据是等式的性质等,常用的方法是　　　　　. 

3.二元一(二)次方程组解集的表示方法为　　　　　,三元一次方程组解集的表示方法为　　　　　. 

二、初显身手

1.用代入法解方程组时,代入正确的是 (　　)

A.x-2-x=4 B.x-2-2x=4

C.x-2+2x=4 D.x-2+x=4

2.二元一次方程组的解集为(　　)

A.{(x,y)|(2,3)} B.{(x,y)|(3,2)}

C.{(x,y)|(-2,3)} D.{(x,y)|(-2,-3)}

3.已知A={(x,y)|x+y=5},A={(x,y)|2x-y=4},则A∩B=　　　　　. 

课堂探究

课堂引入:

李阳求得方程组的解集为{(x,y)|(5,Θ)},由于不小心滴了墨水,刚好遮住两个数Ñ和Θ,你能帮他找回这两个数吗?

【尝试与发现】

合作探究一:思考两分钟,然后小组讨论达成共识,准备展示:

总结:

概念形成:

将方程x+y=3与x-y=1形成一个方程组,解这个方程组,想一想用到的方法是什么?

一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.

思考:二元一次方程组是否一定有解呢?通过下述题目给出答案:

(1)　　　(2)

试一试:你能解决课堂引入的题目了吗?

有关方程组的求解问题在古代《九章算术》中已经进行了深入的研究.请看:

《九章算术》第八章“方程”问题一:今有上禾三秉⑧,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗⑤;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何.

请根据题意完成横线上内容:

设上禾实一秉x斗,中禾实一秉y斗,下禾实一秉z斗,根据题意可列方程组

由此可解得这个方程组的解集为(3)　　　　　. 

总结:

类比上面研究二元一次方程组的学习方法思考下面“尝试与发现”

【尝试与发现】

设方程组的解集为A.判断(x,y,z)=(3,2,0)和(x,y,z)=(4,4,1)是否是集合A中的元素;判断A是一个有限集还是一个无限集.

合作探究二:思考两分钟,然后小组讨论达成共识,准备展示:

总结:

例1　求方程组的解集.

变式训练:求下列方程组的解集.

总结:

例2　求方程组的解集.

总结:

评价反馈

1.求下列方程组的解集:

(1)　　　(2)

2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点(-1,2),(2,8),(5,158),求这个二次函数的解析式.

课堂小结

布置作业

层次一:课后练习题

层次二:练习册

参考答案

自主预习

一、新知探究

1.交集　2.消元法　3.(x,y)(x,y,z)

二、初显身手

1.C　2.A　3.{(3,2)}

课堂探究

课堂引入

略

概念形成

②-①得:2y=2,y=1,　③

将③代入①得:x=2.

所以,解集为{(x,y)|(2,1)}.

思考:

(1)⌀　(2){(x,y)|2x-y=-1,x∈R,y∈R}

九章算术

(1)2x+3y+z=34;(2)x+2y+3z=26;

(3).

例1　解:将②代入①,整理得x2+x-2=0,解得x=1或x=-2,

利用②可知,x=1时,y=2;x=-2时,y=-1,

所以原方程组的解集为{(1,2),(-2,-1)}.

　　变式训练

解:

由①得:y=7-x,③

将③代入②得:x(7-x)=12,

即:x2-7x+12=0,

x=3或x=4,

当x=3时,y=4.

当x=4时,y=3.

所以,解集为{(3,4),(4,3)}.

例2　解:由②得:x2+y2-2x-4y=-4,③

①-③得:x+2y=3,即x=3-2y,④

将④代入①得:5y2-12y+7=0,

所以y=1或y=.

当y=1时,x=1;当y=时,x=.

所以解集为.

评价反馈:

1.(1){(-2+3,4-6),(-2-3,4+6)}

(2)

2.y=8x2-6x-12

学习目标

1.会用消元法解二元一次方程组和三元一次方程组.

2.掌握二元二次方程组的解法.

3.能够根据具体的数量关系,列出方程组解决简单的实际问题,尤其与中国古代数学史有关的数学问题.

自主预习

1.我们以前是利用什么方法解二元一次方程组的?

2.方程的解与方程的解集的区别与联系是什么?

3.(1)求方程组的解.

(2)求一元二次方程x2+x-2=0的解集.

课堂探究

一、导入新课

问题1:

将x-y=1看成含有两个未知数x,y的方程:

(1)判断(x,y)=(3,2)是否是这个方程的解;

(2)判断这个方程的解集是有限集还是无限集.

问题2:

设集合A={(x,y)|x-y=1},B={(x,y)|x+y=3},A∩B=　　　　　. 

方程组的解集如何表示?

1.方程组的解集

一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的　　　　　称为这个方程组的解集. 

2.求方程组解的过程要不断应用等式的性质,常用的方法是　　　 　　,一般可以分为　 　　　　消元法和　　　　　消元法. 

3.二元一次方程组解集的表示方法为　　　　　　,三元一次方程组解集的表示方法为　　　　　. 

二、典型例题

(一)三元一次方程组的解法

例1　求下列方程组的解集.

问题:同学们想一下,求解三元一次方程组的一般方法是怎样的?

归纳小结:

变式训练:设方程组的解集为集合A.判断(x,y,z)=(3,2,0)和(x,y,z)=(4,4,1)是否为集合A中的元素;判断A是一个有限集还是无限集.如何表示方程组的解集?(提示:可以将其中一个变量当作常数)

(二)二元二次方程组的解法

例2　求下列方程组的解集

(1)

(2)

问题1:现在请同学们想一下,求解二元二次方程组的一般方法是怎样的?

归纳小结:

变式训练:求方程组的解集.

(三)方程组的实际应用

例3　《九章算术》第八章“方程”问题一:今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何.(禾:粮食作物的总称.秉:束.斗:计量单位,1斗=10升.)(请列方程组解决这个问题)

问题:解答应用题的一般思路是怎样的?

归纳小结:

当堂检测

1.方程组的解集是(　　)

A.(5,4) B.(5,-4) 

C.{(-5,4)} D.{(5,-4)}

2.求方程组的解集时,要使运算简便,消元的方法应选取(　　)

A.先消去x B.先消去y

C.先消去z D.以上说法都不对

3.设计一个二元二次方程组,使得这个二元二次方程组的解是和试写出符合要求的方程组　　　　　.(写一个即可) 

4.《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金质量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银质量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子质量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意可列方程组为　　　　　. 

课堂小结

本节课我们主要学习了哪些主要内容?你有什么收获?

课后作业

1.阅读课本,结合学案,进行知识整理,整理笔记本,尤其要阅读一下课本第52页的拓展阅读.了解一下《九章算术》在代数中的一些成就.

2.基础自测:课本第54页练习A,第55页练习B.

3.能力提升:

(1)若==,且a-b+c=12,则2a-3b+c等于 (　　)

A. B.2 C.4 D.12

(2)若|3a+b+5|+|2a-2b-2|=0,则2a2-3ab的值是(　　)

A.14 B.2 C.-2 D.-4

(3)我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:今有甲乙丙三人持钱,甲语乙丙:各将公等所持钱,半以益我,钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分一半,我手上就有90钱);乙复语甲丙,各将公等所持钱,半以益我,钱成七十;丙复语甲乙:各将公等所持钱,半以益我,钱成五十六.则乙手上有(　　)钱.

A.28 B.32 C.56 D.70

(4)已知方程组则“k=±”是方程组的解集中只含有一个元素的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

(5)已知x=2,y=-1,z=-3是三元一次方程组的解,则m2-7n+3k的值为　　　　　. 

(6)某班对思想品德、历史、地理三门课程的选考情况进行调研,数据如下:

　　其中思想品德、历史两门课程都选了的有3人,历史、地理两门课程都选了的有4人,则该班选了思想品德而没有选历史的有　　　　　人;该班至少有学生　　　　　人. 

(7)已知x,y满足方程组

①甲看了看说:这是二元一次方程组;乙想了想说:这不是二元一次方程组,甲、乙两人的说法正确的是　　　　　. 

②求x2+4y2的值.

③若已知:+=和(2y+x)2=x2+4y2+4xy,则+=　　　　　(直接求出答案,不用写过程). 

(8)水果市场将120吨水果运往各地商家,现有甲、乙、丙三种车型供选择,每辆车的运载能力和运费如下表所示:(假设每辆车均满载)

　　①若全部水果都用甲、乙两种车型来运送,需运费8 200元,问分别需甲、乙两种车型各几辆?

②市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆),已知它们的总辆数为16辆,你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗?

参考答案

自主预习

1.略

2.略

3.(1)

(2){-2,1}.

课堂探究

略

当堂检测

1.D　2.B

3.答案不唯一,如

4.

课堂小结

略

课后作业

3.(1)C　(2)D　(3)B　(4)A　(5)113　(6)16,29　(7)①乙　②17　③±

(8)解:①设需甲车型x辆,乙车型y辆,得:

解得

答:需甲车型8辆,乙车型10辆.

②设需甲车型x辆,乙车型y辆,丙车型z辆,得:

消去z,得5x+2y=40,x=8-y,

因x,y是正整数,且不大于16,得y=5,10,

由z是正整数,解得或

当x=6,y=5,z=5时,总运费为:6×400+5×500+5×600=7 900(元);

当x=4,y=10,z=2时,总运费为:4×400+10×500+2×600=7 800(元)<7 900(元);

运送方案:甲车型4辆,乙车型10辆,丙车型2辆.