高中第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.2 不等式的解集学案设计

2.2.2　不等式的解集

素养目标·定方向

必备知识·探新知

基础知识　　

1．不等式的解集与不等式组的解集

不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．构成不等式组的各个不等式的解集的交集称为不等式组的解集．

思考1：不等式的解与解集的区别和联系是什么？

提示：(1)不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值．不等式的解是不等式的解集中的一个．

(2)不等式的解集必须满足两个条件：一是解集内的数都是不等式的解；二是解集外的数都不是不等式的解．

2．简单的绝对值不等式的解法

(1)绝对值不等式的定义：含有绝对值的不等式．

(2)绝对值不等式的解集.

(3)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

思考2：若m＝0或m<0时，不等式的解集是怎样的？

提示：

3．绝对值不等式的几何意义

(1)数轴上两点之间的距离公式：数轴上两点A(a)，B(b)之间的距离__AB＝|a－b|__.

(2)数轴上两点的中点坐标公式：数轴上两点A(a)，B(b)的中点坐标x＝.

(3)绝对值不等式的几何意义．

思考3：不等式|x＋1|≤3的解集的几何意义是什么？

提示：数轴上与表示－1的点的距离小于或等于3的点对应的所有数组成的集合．

基础自测　　

1．不等式2x＋9≥3(x＋2)的解集是(　A　)

A．(－∞，3]　 B．(－∞，－3]

C．[3，＋∞)　 D．[－3，＋∞)

解析：原不等式可化为2x＋9≥3x＋6，即x≤3.

2．已知集合M＝{x|x>0，x∈R}，N＝{x||x－1|≤2，x∈Z)，则M∩N＝(　D　)

A．{x|0<x≤2，x∈R}　 B．{x|0<x≤2，x∈Z}

C．{－1，－2,1,2}　 D．{1,2,3}

解析：由|x－1|≤2得－2≤x－1≤2，即－1≤x≤3.所以N＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{1,2,3}．

3．不等式组的解集为__(－，2)__.

解析：由得，∴不等式组的解集为(－，2)．

4．不等式|x－3|<2的解集为__(1,5)__.

解析：∵|x－3|<2，∴－2<x－3<2，∴1<x<5，∴解集为(1,5)．

5．若A，B两点在数轴上的坐标分别为A(2)，B(－4)，则|AB|＝__6__，线段AB的中点M的坐标为__M(－1)__.

解析：|AB|＝|xB－xA|＝|－4－2|＝6，xM＝＝＝－1.

关键能力·攻重难

类型　不等式组的解集

┃┃典例剖析__■

典例1　解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：

(1)(2)

思路探究：分别求出各不等式的解集，再求出各个解集的交集，并在数轴上表示出来即可．

解析：(1)解不等式2x＋3>1，得x>－1，

解不等式x－2<0，得x<2，

则不等式组的解集为{x|－1<x<2}．

将解集表示在数轴上如下：

(2)解不等式x－>，得x>2，

解不等式x＋8<4x－1，得x>3，

则不等式组的解集为{x|x>3}，

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

归纳提升：解不等式(组)的注意点

(1)移项要改变项的符号．

(2)利用性质3时要改变不等号的方向．

(3)不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式解集的交集．

┃┃对点训练__■

1．不等式组的整数解的个数是(　C　)

A．1个　 B．2个　　

C．3个　 D．4个

解析：分别解两个不等式可得不等式组的解集为{x|－<x<}，故满足题意的整数解为0,1,2，共3个．

类型　解绝对值不等式

┃┃典例剖析__■

典例2　解不等式3≤|x－2|<4.

思路探究：此题的不等式属于绝对值的连不等式，求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解．

解析：原不等式等价于

由①，得x－2≤－3，或x－2≥3，

∴x≤－1，或x≥5.

由②，得－4<x－2<4，∴－2<x<6.

如图所示，原不等式的解集为{x|－2<x≤－1，

或5≤x<6}．

归纳提升：绝对值不等式的解题策略：等价转化法

(1)形如|x|<a，|x|>a(a>0)型不等式：

|x|<a⇔－a<x<a.

|x|>a⇔x>a或x<－a.

(2)形如a<|x|<b(b>a>0)型不等式：

a<|x|<b(0<a<b)⇔a<x<b或－b<x<－a.

┃┃对点训练__■

2．不等式|2x＋1|>3的解集是__{x|x<－2或x>1}__.

解析：由|2x＋1|>3，得2x＋1>3或2x＋1<－3，因此x<－2或x>1，所以原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．

类型　数轴上的基本公式及应用

┃┃典例剖析__■

典例3　已知数轴上的三点A、B、P的坐标分别为A(－1)，B(3)，P(x)．

(1)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时P与线段AB是什么关系？

(2)在线段AB上是否存在一点P(x)，使得P到A和B的距离都是3？若存在，求P(x)，若不存在，请说明理由．

思路探究：根据数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式求解．

解析：(1)由题意知

可以化为或

或或

解得x＝1.

∴点P的坐标为P(1)，此时P为AB的中点．

(2)不存在这样的P(x)，理由如下：

∵AB＝|1＋3|＝4<6，

∴在线段AB上找一点P使|PA|＋|PB|＝3＋3＝6是不可能的．

归纳提升：数轴上基本公式的应用

(1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标；

(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标．

┃┃对点训练__■

3．已知数轴上，A(－2)，B(x)，C(6)．

(1)若A与C关于点B对称，求x的值；

(2)若线段AB的中点到C的距离大于5，求x的取值范围．

解析：(1)由题意得B点为A、C的中点，

∴x＝＝2.

(2)线段AB的中点为，

由题意得>5，

解得x>24或x<4.

易混易错警示　求解绝对值不等式时不理解绝对值的代数意义致错

┃┃典例剖析__■

典例4　求不等式|x－1|＋|x－2|≥3的解集．

错因探究：利用绝对值的代数意义去绝对值时，一定要弄清各式值的正负，否则就会出错．

解析：令x－1＝0，x－2＝0，解得x＝1，x＝2.

当x<1时，原不等式可化为1－x＋2－x≥3，解得x≤0.

∴原不等式的解集为{x|x≤0}．

当1≤x≤2时，原不等式可化为x－1＋2－x≥3,1≥3显然不成立．

∴原不等式的解集为∅.

当x>2时，原不等式可化为x－1＋x－2≥3，解得x≥3.

∴原不等式的解集为{x|x≥3}．

综上可知原不等式的解集为{x|x≤0或x≥3}．

误区警示：解绝对值不等式时注意：①利用绝对值的代数意义去掉绝对值符号时，各式值的正负必须弄清；②在利用零点分段法对绝对值进行化简时，注意x的取值范围，同时注意不要忘记解集的确定．

学科核心素养　由不等式(组)的解集求参数的取值范围

┃┃典例剖析__■

解这类题一般借助数轴，将不等式组的解集在数轴上表示出来，然后将求得的不等式解集分三种情况在数轴上表示出来，看哪些情况符合题意．

利用解集对照法求参数的取值范围：解集对照法中，最关键的在于“对”，即在含参数的代数式与给出的解集之间建立对应关系，从而确定参数的值或取值范围．

典例5　关于x的不等式组的解集为{x|x<2}，则实数a的取值范围是__(－∞，－2]__.

思路探究：先分别求出两个不等式的解集，然后分情况确定不等式组的解集，再与已知解集对照可得实数a的取值范围．

解析：解>得x<2；

 解<0得x<－a.

当－a>2，即a<－2时，原不等式组的解集为{x|x<2}．

当－a＝2，即a＝－2时，原不等式组的解集为{x|x<2}．

当－a<2，即a>－2时，原不等式组的解集为{x|x<－a}．

所以当不等式组的解集为x<2时，实数a的取值范围是(－∞，－2]．

课堂检测·固双基

1．不等式3x＋6≤2x的解集为(　B　)

A．[－6，＋∞)　 B．(－∞，－6]

C．[6，＋∞)　 D．(－∞，6]

解析：移项得3x－2x≤－6，即x≤－6，故原不等式的解集为(－∞，－6]．

2．不等式|x＋1|>3的解集是(　A　)

A．{x|x<－4或x>2}　 B．{x|－4<x<2}

C．{x|x<－4或x≥2}　 D．{x|－4≤x<2}

解析：由|x＋1|>3，得x＋1>3或x＋1<－3，因此x<－4或x>2.

3．数轴上，已知点M(－2)，N(3)，则线段MN的中点E的坐标为__E()__.

解析：由中点坐标公式知，＝.

4．已知点B(x)到原点的距离不大于4，则x的取值范围为__[－4,4]__.

解析：由题意，|x|≤4，所以－4≤x≤4.

5．若关于x的不等式3m－2x<5的解集是{x|x>2}，求实数m的值．

解析：不等式3m－2x<5，

移项得2x>3m－5，解得x>.

由已知解集为x>2，得＝2，

解得m＝3.