高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质第2课时学案

2.2.1　不等式及其性质

第2课时

学习目标

1.使学生会用不等式的性质证明简单不等式;

2.使学生会用作差法等综合法证明简单不等式;

3.使学生理解反证法的特点和步骤;

4.使学生会用分析法证明简单不等式;

5.培养学生数学运算、逻辑推理等数学素养.

自主预习

复习不等式的性质

性质1　　　　　　　　　推论1　　　　　　　 

性质2　　　　　　  推论2　　　　　　 

性质3　　　　　　  推论3　　　　　　 

性质4　　　　　　  推论4　　　　　　 

性质5　　　　　　  推论5　　　　　　 

请用两种方法证明以下命题:

(1)已知a>b,c<d,求证:a-c>b-d;

(2)已知a>b,ab>0,求证:<;

(3)已知a>b>0,0<c<d,求证:>.

课堂探究

例题　求证:如果a>b>0,那么>.

跟踪训练1　尝试证明+<2.

跟踪训练2　已知m>0,求证:>.

(请分别用综合法、分析法、反证法证明)

核心素养专练

一、选择题

1.若a<0<b,则下列不等式恒成立的是(　　)

A.> B.-a>b C.a2>b2 D.a3<b3

2.已知a∈R,p=(a-1)(a-3),q=(a-2)2,则p与q的大小关系为(　　)

A.p>q B.p≤q C.p<q D.p≥q

3.已知x>y>z,且x+y+z=0,则下列不等式中成立的是(　　)

A.xy>yz B.xz>yz 

C.xy>xz D.x|y|>z|y|

4.给出四个选项能推出<的有(　　)

A.b>0>a B.0>a>b C.a>0>b D.a>b>0

二、填空题

5.设x>5,P=-,Q=-,则P与Q的大小关系是P　　　　　Q.(填“>”“<”或“=”) 

6.设P=,Q=-,R=-,则P,Q,R的大小顺序是　　　　　　. 

三、解答题

7.若a>b>0,m>0,比较,的大小关系,并加以证明.

8.(1)当x>1时,比较x3与x2-x+1的大小;

(2)已知:a<b,<,判定a,b的符号.

9.设f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:a>0且-2<<-1.

参考答案

自主预习

性质1　如果a>b,那么a+c>b+c

推论1　如果a+b>c那么a>c-b

性质2　如果a>b,c>0,那么ac>bc

推论2　如果a>b,c>d,那么a+c>b+d

性质3　如果a>b,c<0,那么ac<bc

推论3　如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd

性质4　如果a>b,b>c,那么a>c

推论4　如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n>1)

性质5　a>b⇔b<a

推论5　如果a>b>0,那么>

证明:(1)方法1

因为a>b,c<d,所以a>b,-c>-d.

根据推论2,得a-c>b-d.

方法2

(a-c)-(b-d)=a-c-b+d=(a-b)+(d-c),

因为a>b,c<d,所以a-b>0,d-c>0,

从而(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0,

所以a-c>b-d.

(2)方法1

因为ab>0,所以>0.

又因为a>b,所以a·>b·,即>,

因此<.

方法2

-=,

因为a>b,所以b-a<0.

又因为ab>0,所以-=<0,

所以<.

(3)方法1

因为0<c<d,根据(2)的结论,得

>>0,

又因为a>b>0,所以根据推论3可知

a·>b·,即>.

方法2

-=,

因为0<c<d,即d>c>0,且a>b>0,

所以ad>bc,所以ad-bc>0,

所以-=>0,

所以>.

课堂探究

例题　证明:方法1

假设≤,

根据推论4和二次根式的性质,得a≤b,

这与a>b矛盾,因此假设不成立,

所以>成立.

方法2

-==,

因为a>b>0,所以a-b>0,+>0,

所以-=>0,

所以>.

跟踪训练1　证明:方法1

要证+<2,

需要(+)2<(2)2,

展开得10+2<20,即<5,

只需证()2<52,即21<25,

因为21<25成立,所以+<2成立.

方法2(反证法)

假设+≥2,则(+)2≥(2)2,

展开得10+2≥20,即≥5,

所以()2≥52,即21≥25,

这与21<25矛盾,所以假设不成立,

所以+<2成立.

跟踪训练2　证明:(综合法)

-==,

因为m>0,所以3+m>0,

所以-=>0,

所以>.

(分析法)

因为m>0,所以3+m>0,

所以>⇐3(1+m)>3+m⇐m>0,

因为m>0,所以结论成立.

(反证法)

假设>不成立,即≤成立.

因为m>0,所以3+m>0,

所以3(1+m)≤3+m,

所以m≤0,这与条件m>0矛盾,

所以假设不成立,>成立.

核心素养专练

一、选择题

1.D　解析:∵a<0<b,

若a=-1,b=1,

则A,B,C不正确,

对于D,根据幂函数的性质即可判断正确,

故选D.

2.C

3.C　解析:∵x>y>z,

∴3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,

∴x>0,z<0.

由

得xy>xz.

故选C.

4.ABD　解析:<⇔<0⇔ab(a-b)>0,

对于A,ab<0,a-b<0,ab(a-b)>0成立;

对于B,ab>0,a-b>0,ab(a-b)>0成立;

对于C,ab<0,a-b>0,ab(a-b)<0,不成立;

对于D,ab>0,a-b>0,ab(a-b)>0成立.

故选ABD.

二、填空题

5.<　解析:∵P=-,Q=-,

∴=,= .

∵x>5,

∴+<+,

∴>,

∴P<Q.

6.P>R>Q　解析:∵P-R=-(-)=2->0,∴P>R,

R-Q=--(-)=(+)-(+),

而(+)2=9+2,(+)2=9+2,

9+2>9+2.

∴+>+,∴R>Q,

∴P>R>Q.

三、解答题

7.解:<,证明如下

作差,得

-=

=

=,

∵a>b>0,m>0,

∴b-a<0,a+m>0,

∴<0,

∴<.

8.解:(1)x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=(x-1)(x2+1),

又∵x>1,故(x-1)(x2+1)>0,

∴x3>x2-x+1.

(2)⇒ab<0,

又∵a<b,即得a<0<b.

9.证明:∵f(0)>0,∴c>0,

又∵f(1)>0,即3a+2b+c>0.①

而a+b+c=0,即b=-a-c,代入①式,

得3a-2a-2c+c>0,即a-c>0,∴a>c.

∴a>c>0.又∵a+b=-c<0,∴a+b<0.

∴1+<0,∴<-1.

又c=-a-b,代入①式,得

3a+2b-a-b>0,∴2a+b>0,

∴2+>0,∴>-2.故-2<<-1.

学习目标

1.了解综合法、反证法、分析法这些数学中常用的基本方法.

2.理解并掌握不等式的推论,能利用推论证明简单的不等式及比较大小.

自主预习

1.不等式的推论

(1)推论1　 

推论1文字表述:　, 

推论1通常称为不等式的　. 

(2)推论2　 

同向不等式的定义:　. 

推论2文字表述:　. 

推论2的推广结论:　. 

(3)推论3　 

推论3的推广结论:　. 

(4)推论4　 

(5)推论5　 

2.数学方法

(1)综合法的定义: 

　. 

(2)反证法的定义: 

　. 

(3)分析法的定义: 

　. 

课堂探究

[猜想一]“如果a+b>c,那么a>c-b”是真命题吗?

推论1:

[猜想二]“如果a>b,c>d,那么a+c>b+d”是真命题吗?

推论2:

[猜想三]“如果a>b,c>d,那么ac>bd”是真命题吗?

推论3:

[猜想四]“如果a>b,那么an>bn(n∈N,n>1)”是真命题吗?

推论4:

[猜想五]“如果a>b>0,那么>”是真命题吗?

推论5:

[小结]

[典型例题1]

(1)已知a>b,c<d,求证:a-c<b-d;

(2)已知a>b,ab>0,求证:<;

(3)已知a>b>0,0<c<d,求证:>.

[合作探究1]1.观察(1)和(3),异号不等式分别是如何处理的?

2.已知a>b,讨论与的大小?

[典型例题2]证明+<2.

[典型例题3]已知m>0,求证:>.

[练习]1.已知1<a<2<b<3,求a-b,的取值范围.

2.已知a>b>0且a+b+c=0,求证:>.

[评价反馈]

1.已知a>b,c>d,且c,d不为0,那么(　　)

A.ad>bc B.a+c>b+d 

C.ac>bc D.a-c>b-d

2.利用不等式性质判断对错.

对于实数a,b,c给出下列命题:

①a>b⇒ac2>bc2;

②a<b<0⇒a2>ab>b2;

③a>b⇒a2>b2;

④a>b,c>d⇒ac>bd.

核心素养专练

1.已知a,b,c,d∈R,则下列命题中一定成立的是(　　)

A.若a>b,c>b,则a>c;

B.若a>-b,则c-a<c+b;

C.若a>b,c<d,则>;

D.若a2>b2,则-a<-b.

2.已知a<0,b<-1,则下列不等式成立的是(　　)

A.a>> B.>>a

C.>a> D.>>a

3.已知a>b,则下列不等式:①a2>b2;②<;③>.其中不成立的个数是(　　)

A.0 B.1 

C.2 D.3

4.[多选题]a>b>c,且a+b+c=0,下列不等式恒成立的是(　　)

A.ac<bc B.ab>ac 

C.a|b|>c|b| D.a2>b2>c2

5.给出以下四个命题:

①a>b⇒an>bn(n∈N*);②a>|b|⇒an>bn(n∈N*);③a<b<0⇒>;④a<b<0⇒>.其中真命题的序号是　　　　　. 

6.设x>1,-1<y<0,试将x,y,-y按从小到大的顺序排列:　　　　　. 

7.已知60<x<84,28<y<33,则x-y的取值范围为　　　　　,的取值范围为　　　　　. 

8.若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>.

参考答案

自主预习

略

课堂探究

略

核心素养专练

1.B　[选项A,若a=4,b=2,c=5,显然不成立,选项C不满足倒数不等式的条件,如当a>b>0,c<0<d时,不成立;选项D只有a>b>0时才可以;否则如a=-1,b=0时不成立,故选B.]

2.D　[取a=-2,b=-2,则=1,=-,∴>>a.故选D.]

3.D　[虽然已知a>b,但并不知道a,b的正负,如有2>-3,但22<(-3)2,故①错;2>-3⇒>-,故②错;若有a=1,b=-2,则=,=1,故③错.]

4.AB　[∵a+b+c=0且a>b>c,∴a>0,c<0,∴A正确;

对于B,ab>ac⇔a(b-c)>0.又b-c>0,a>0,故B正确;

由于|b|有可能为0,故C不正确;

若a=2,b=1,c=-3,显然a+b+c=0,但a2>b2且b2<c2,故D不正确.]

5.②③　[①中取a=-1,b=-2,n=2,不成立;②a>|b|,得a>0,∴an>bn成立;③a<b<0,得>成立;④a<b<0,得a-b<0,且a-b>a,故<,④不成立.]

6.y<-y<x　[∵-1<y<0,∴0<-y<1,∴y<-y,又x>1,∴y<-y<x.]

7.(27,56)　

8.证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.

又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0.

∴(a-c)2>(b-d)2>0.

两边同乘,

得<.

又e<0,∴>.