人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用第1课时导学案及答案

2.2.4　均值不等式及其应用

第1课时　

学习目标

1.学会推导并掌握均值不等式.

2.能够简单应用定理求最值.

自主预习

1.给定两个正数a,b,数　　　　称为a,b的算术平均值,数　　　　称为a,b的几何平均值. 

2.如果a,b都是正数,那么≥,当且仅当　　　　　时,等号成立. 

3.几何意义:所有周长一定的矩形中,　　　　　的面积最大. 

课堂探究

问题探究一

(1)假设一个矩形的长和宽分别为a和b,求与这个矩形周长相等的正方形的边长,以及与这个矩形面积相等的正方形的边长,并比较这两个边长的大小;

(2)如下表所示,再任意取几组正数,算出它们的算术平均值和几何平均值,猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小,并根据(1)说出结论的几何意义.

　　问题探究二

均值定理的几何解释:

作线段AD=a,延长AD至点B,使DB=b(a,b>0)以AB为直径作半圆O,过D点作CD⊥AB于D,交半圆于点C,连接AC,BC,OC.当点D在线段AB(端点除外)上运动时,试探讨OC与CD的大小关系.

典型例题:

例1　已知x>0,求y=x+的最小值,并说明当x为何值时y取得最小值.

变式训练1

已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值,并说明此时x,y的值.

要点归纳

在利用均值不等式求最值时要注意三点:

一是各项均为正;

二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值;

三是考虑等号成立的条件是否具备.

例2　已知ab>0,求证:+≥2,并推导出等号成立的条件.

变式训练2

已知ab>0,求证:+≥2,并推导出等号成立的条件.

例3　已知x∈(-1,3),求y=(1+x)(3-x)的最大值,以及y取得最大值时x的值.

核心素养专练

1.若0<a<b,则下列不等式一定成立的是(　　)

A.a>>>b B.b>>>a

C.b>>>a D.b>a>>

2.已知a>0,b>0,则++2的最小值是(　　)

A.2 B.2 C.4 D.5

3.设b>a>0,且a+b=1,则此四个数,2ab,a2+b2,b中最大的是(　　)

A.b B.a2+b2

C.2ab D.

4.x∈[0,3],y=(1+x)(3-x)的最大值是　　　　　,最小值是　　　　　. 

参考答案

自主预习

1.　

2.a=b

3.正方形

课堂探究

典型例题　

例1　解:因为x>0,所以根据均值不等式有x+≥2=2,其中等号成立的条件是当且仅当x=,即x2=1,解得x=1或x=-1(舍去),因此x=1时,y取得最小值2.

变式训练1　解:∵x>0,y>0,

∴4x+6y≥2.

又xy=24,

∴4x+6y≥2=48.

当且仅当4x=6y时,等号成立.

即当x=6,y=4时,最小值为48.

例2　证明:因为ab>0,所以>0,>0,根据均值不等式得

+≥2=2.

即+≥2.

当且仅当=时,即a2=b2等号成立.因为ab>0,所以等号成立的条件是a=b.

变式训练2　证明:因为ab>0,所以>0,>0,根据均值不等式得

+≥2=2.

即+≥2.

当且仅当=时,即9a2=b2等号成立.因为ab>0,所以等号成立的条件是3a=b.

例3　解:当x∈(-1,3)时,1+x>0,3-x>0.≤=2.从而(1+x)(3-x)≤4,即y≤4.当且仅当1+x=3-x,即x=1时,等号成立.从而x=1时,y取得最大值4.

核心素养专练

1.C　2.C　3.A　4.4　0

学习目标

1.能够掌握均值不等式的内容以及证明过程.

2.结合具体实例,能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.

自主预习

知识点一　算术平均值与几何平均值

对任意两个　　　　　a,b,数　　　　　叫做a,b的算术平均值,数　　　　　叫做a,b的几何平均值,两个正实数的算术平均值　　　　　它的几何平均值. 

知识点二　均值定理

1.均值定理

如果　　　　　,那么　　　　 .当且仅当a=b时,等号成立,以上结论通常称为　　　　定理,又叫均值不等式. 

均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.

2.均值不等式求最值的条件

(1)x,y必须是　　　　　. 

(2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为　　　　　;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为　　　　　. 

(3)等号成立的条件是否满足.

3.用均值不等式求最值

(1)设x,y为正实数,若x+y=s(和s为定值),则当且仅当　　　　时,积xy有最　　　　　值. 

(2)设x,y为正实数,若xy=p(积p为定值),则当且仅当　　　　时,和x+y有最　　　　　值. 

课堂探究

探究均值不等式

国际数学家大会是由国际数学联盟(IMU)主办,首届大会于1897年在瑞士苏黎世举行,1900年巴黎大会之后每四年举行一次,它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.第24届国际数学家大会会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.

问题1　四边形ABCD特殊吗?

问题2　四边形的面积与四个直角三角形之间有关系吗?

问题3　每个直角三角形的两直角边分别用a,b表示,你能用ab来表示四边形与直角三角形的面积吗?

问题4　中间的小正方形可以消失吗?

问题5　此时a2+b2与2ab的关系怎么样?

问题6　a2+b2≥2ab的关系永远成立吗?你能用代数法证明吗?

问题7　特别地,当,代替a,b时,上述表达式变为什么?

均值定理　如果a,b∈R+,那么　　　　　,当且仅当a=b时,等号成立. 

均值定理可以表述为:　. 

均值不等式的使用条件:

尝试分别用代数法和几何法证明均值定理.

代数法:

几何法:

例1　已知x,y∈R+,求证:+≥2,并推导出不等式中等号成立的条件.

　　变式训练1　已知a,b∈R+,求证:≥4.

例2　(1)已知矩形的面积为100,则这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少?

(2)已知矩形的周长为36,则这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少?

变式训练2　已知x∈(-1,3),求y=(1+x)(3-x)的最大值,以及y取最大值时x的值.

核心素养专练

1.已知a,b,c为不全相等的正数,求证:a+b+c>++.

2.求函数y=2--x(x>0)的最大值及相应的x.

课后作业

课本第76页练习A.

参考答案

自主预习

知识点一　正实数,,,大于或等于

知识点二　1.a,b∈R+,≥,均值

2.(1)正实数　(2)定值,定值

3.(1)x=y　最大值　(2)x=y　最小值

课堂探究

≥,两个正实数的算数平均数大于等于它们的几何平均数.

例1　证明:∵x,y∈R+,∴>0,>0.

∴+≥2=2,即+≥2,

当且仅当x=y时等号成立.

变式训练1　证明:∵a,b∈R+,∴,∈R+.

∴a+≥2=2,b+≥2=2.

∴≥4.

当且仅当a=,b=,即a=b=1时等号成立.

例2　解:(1)设矩形的长为x,则宽为,则矩形的周长l=2≥2×2=40,当且仅当x=,即x=10时等号成立,因此,当矩形的长和宽都是10时,它的周长最短,最短周长为40.

(2) 设矩形的长为x,则宽为=18-x,则矩形的面积S=x(18-x)≤=81,当且仅当x=18-x,即x=9时等号成立,因此,当矩形的长宽都是9时,它的面积最大,最大面积为81.

变式训练2　解:因为x∈(-1,3),所以1+x>0,3-x>0.

所以y=(1+x)(3-x)≤=4,

当且仅当1+x=3-x,即x=1时等号成立.

因此y的最大值是4,此时x是1.

核心素养专练

1.解:∵a,b,c为不全相同的正数,

∴a+b>2,b+c>2,a+c>2,

∴a+b+b+c+a+c>2+2+2.

∴a+b+c>++.

2.解:∵x>0,∴y=2--x=2-≤2-2=-2.当且仅当=x,即x=2时等号成立.

因此y的最大值是-2,此时x=2.

课后作业

略