2020-2021学年2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系第2课时学案及答案

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系

第2课时　

学习目标

1.掌握一元二次方程的根与系数的关系.

2.会用其求一些关于方程两根的代数式的值.

3.通过对一元二次方程解集及根与系数的关系的学习,培养数学抽象、逻辑推理的数学素养.

自主预习

阅读课本P50尝试与发现.

问题:已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,方程的解是什么?

x1=　　　　　　　　　;x2=　　　　　　　　　; 

x1+x2=　　　　　　　　　; 

x1x2=　　　　　　　　　. 

总结:这一结论称为一元二次方程根与系数的关系.

课堂探究

例1　(一元二次方程的根与系数的关系)已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2,求下列各式的值:

(1)+;　　　(2)|x1-x2|.

课堂练习:

1.已知一元二次方程2x2+2x-1=0的两个根为x1,x2,且x1<x2,下列结论正确的是(　　)

A.x1+x2=1 B.x1x2=-1 

C.|x1|<|x2| D.+x1=

2.已知α,β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则α+β-αβ的值是(　　)

A.3 B.1 C.-1 D.-3

总结归纳:利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法.

例2　(与一元二次方程相关的求未知字母的值或范围问题)已知关于x的一元二次方程2x2-kx+3=0的解集中只有一个元素,则k的值为(　　)

A.±2 B.± 

C.2 D.2或3

课堂练习

1.已知x=-1是关于x的一元二次方程2x2+kx-1=0的一个根,则实数k的值为(　　)

A.1 B.-1 

C.0 D.2

2.若关于x的一元二次方程x2-(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围为　　　　　. 

总结归纳:如何根据已知条件求一元二次方程中字母系数的取值或取值范围问题.

课堂小结

一元二次方程根与系数的关系.

当堂检测

1.已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程是(　　)

A.x2-7x+12=0 B.x2+7x+12=0

C.x2+7x-12=0 D.x2-7x-12=0

2.设x1,x2是方程2x2-9x+6=0的两个根,求下列各式的值.

(1)+;

(2)(x1-3)(x2-3);

(3)x1-x2.

核心素养专练

1.已知α,β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个不相等的实数根,则α+β+αβ的值为(　　)

A.-1 B.9 C.3 D.27

　　2.若关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的一个根为x=2-,则方程中m的值及方程的另一个根分别是 (　　)

A.1,2+ B.-1,2+

C.1,-2- D.-1,-2-

3.若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的解集中只有一个元素,则m的值为　　　　　. 

4.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图像如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解集为　　　　　. 

5.已知一元二次方程x2+3x-1=0的两根分别为x1,x2,利用根与系数的关系求下列式子的值:

(1)x2+x1;　　　(2)+;　　　(3)|x1-x2|;

(4)+;　 　　　(5)+.

6.当m取何值时,关于x的方程(m+2)x2+2x-1=0有两个不相等的实数根?

参考答案

自主预习

略

课堂探究

略

课堂练习

略

课堂小结

略

当堂检测

1.A

2.解:由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=3.

(1)+==÷3=.

(2)(x1-3)(x2-3)

=x1x2-3(x1+x2)+9

=3-3×+9=-.

　　(3)∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=-4×3=,

∴x1-x2=±.

核心素养专练

1.C　2.B　3.-1　4.{-1,3}

5.解:(1)3　(2)3　(3)

(4)原式====11.

(5)原式=(x1+x2)(-x1x2+)=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]=(-3)×[(-3)2+3]=-36.

6.解:由题意得

∴

∴m>-3且m≠-2.

学习目标

1.结合学生已经学习掌握的相关知识,推导得到一元二次方程的根与系数的关系;

2.训练学生借助根与系数的关系,解决相关问题;

3.让学生在利用根与系数的关系求解相关代数式的值的过程中,体会代换的思想,训练学生数学抽象、数学运算的素养.

自主预习

我们知道,当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,这个方程的解可以记为x1=,x2=.那么你能否通过计算,得到当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时两根和与两根积的值呢?

【学生活动】

1.学生自主通过计算完成课本第50页上面的“尝试与发现”;

2.让学生对结论的结构特征进行分析.

课堂探究

我们得到的两根之和、两根之积都是由方程的系数确定的,这一结论对两根相等的情况也是适用的,那么能否结合它们与系数的关系,换一种方式得到两根和与两根积的值呢?

　　例题(课本第50页例2)已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2,求下列各式的值:

(1)+;

(2)|x1-x2|.

评价反馈

1.(课本P51练习B第2题)已知方程x2-2x+1=0的两根为x1与x2,求下列各式的值:

(1)x2+x1;

(2)+.

2.(课本P51练习B第3题)已知关于x的方程x2-2x+m-1=0的两根同号,求实数m的取值范围.

课后拓展

练习B　1,4,5题.

参考答案

自主预习

略

课堂探究

例题　解:由一元二次方程根与系数的关系,得

x1+x2=-,x1x2=-2.

(1)由上有,

+=-2x1x2=-2×(-2)=.

(2)因为

=-4x1x2=-4×(-2)=.

所以|x1-x2|==.

评价反馈

1.(1)2　　(2)2

2.(1,2]