中考数学二轮总复习（解答题）突破训练：专题二《方程、不等式的实际应用》(教师版)

这是一份中考数学二轮总复习（解答题）突破训练：专题二《方程、不等式的实际应用》(教师版)，共55页。

类型二　方程、不等式的实际应用
1．我市大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐(餐饮＋住宿)，一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．
(1)求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？
(2)今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？
解：(1)设去年餐饮利润x万元，住宿利润y万元，
依题意得：解得：
答：去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元；
(2)设今年土特产利润m万元，
依题意得：16＋16×(1＋10%)＋m－20－11≥10，解得，m≥7.4，
答：今年土特产销售至少有7.4万元的利润．











2．某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G，H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．
(1)按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？
(2)为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．请问至少需要补充多少名新工人？
解：(1)设有x名工人加工G型装置，
则有(80－x)名工人加工H型装置，
根据题意，＝，解得x＝32，
则6×32÷4＝48(套)，
答：每天能组装48套GH型电子产品；
(2)设补充a名新工人加工G型装置
仍设x名工人加工G型装置，(80－x)名工人加工H型装置，
根据题意，＝，整理可得，x＝，
另外，注意到80－x≥，即x≤20，于是≤20，解得：a≥30，
答：至少需要补充30名新工人．






3．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
(导学号　58824234)
解：(1)设甲种商品的销售单价为x元，乙种商品的销售单价为y元，
依题意有解得
答：甲种商品的销售单价为900元，乙种商品的销售单价为600元；
(2)设销售甲种商品a万件，依题意有
900a＋600(8－a)≥5400，解得a≥2，
答：至少销售甲种商品2万件．
4．某地新建的一个企业，每月将生产1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：
污水处理器型号
A型
B型
处理污水能力(吨/月)
240
180
已知商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元．
(1)求每台A型、B型污水处理器的价格；
(2)为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要支付多少钱？
解：(1)设每台A型污水处理器的价格是x万元，每台B型污水处理器的价格是y万元，依题意有解得
答：每台A型污水处理器的价格是10万元，每台B型污水处理器的价格是8万元；
(2)购买9台A型污水处理器，费用为10×9＝90(万元)；
购买8台A型污水处理器、1台B型污水处理器，费用为10×8＋8＝80＋8＝88(万元)；
购买7台A型污水处理器、2台B型污水处理器，费用为10×7＋8×2＝70＋16＝86(万元)；
购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器，费用为10×6＋8×3＝60＋24＝84(万元)；
购买5台A型污水处理器、5台B型污水处理器，费用为10×5＋8×5＝50＋40＝90(万元)；
购买4台A型污水处理器、6台B型污水处理器，费用为10×4＋8×6＝40＋48＝88(万元)；
购买3台A型污水处理器、7台B型污水处理器，费用为10×3＋8×7＝30＋56＝86(万元)；
购买2台A型污水处理器、9台B型污水处理器，费用为10×2＋8×9＝20＋72＝92(万元)；
购买1台A型污水处理器、10台B型污水处理器，费用为10×1＋8×10＝10＋80＝90(万元)；
购买11台B型污水处理器，费用为8×11＝88(万元)．
故购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器，费用最少．
答：他们至少要支付84万元．





类型三　方程、不等式与函数结合的实际应用
1．(2017·泰州)怡然美食店的A，B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．
(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？
(2)该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？
解：(1)设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份，
根据题意得，
解得：
答：该店每天卖出这两种菜品共60份；
(2)设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖(20＋a)份；总利润为w元，因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B种菜品每天卖(40－a)份，每份售价提高0.5a元．
w＝(20－14－0.5a)(20＋a)＋(18－14＋0.5a)(40－a)
＝(6－0.5a)(20＋a)＋(4＋0.5a)(40－a)
＝(－0.5a2－4a＋120)＋(－0.5a2＋16a＋160)
＝－a2＋12a＋280
＝－(a－6)2＋316，
当a＝6时，w最大，此时w＝316.
答：这两种菜品一天的总利润最多是316元，






















2．(2016·本溪)某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品的销售单价y(元/件)与销售数量x(件)(x是正整数)之间的关系如下表：

x(件)
…
5
10
15
20
…
y(元/件)
…
75
70
65
60
…
(1)由题意知商品的最低销售单价是_50_元，当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数，求出y与x的函数关系式及x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？
(导学号　58824235)
解：(1)设y＝kx＋b，根据题意得：解得
根据题意得：∴1≤x≤30且x为整数，
∴y＝－x＋80(0＜x≤30，且x为整数)；
(2)设所获利润为P元，根据题意得：
P＝(y－40)x＝(－x＋80－40)x＝－(x－20)2＋400，
∵a＝－1＜0，∴P有最大值，
∴当x＝20时，P最大＝400，
此时y＝60，
∴当销售单价为60元时，所获最大利润为400元．























3．(2017·鄂州)鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元(x为偶数)，每周销售为y个．
(1)直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；
(2)设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？
(3)若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？
解：(1)依题意有：y＝10x＋160；
(2)依题意有：W＝(80－50－x)(10x＋160)＝－10(x－7)2＋5290，
∵－10＜0，x为偶数，∴x＝6或8时，W有最大值，W最大＝5280.
故当销售单价定为80－6＝74元或80－8＝72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；
(3)依题意有：－10(x－7)2＋5290≥5200，
解得4≤x≤10，则200≤y≤260，
200×50＝10000(元)，
答：他至少要准备10000元进货成本．





























4．(2017·长春)甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件)．甲车间加工的时间为x(时)，y与x之间的函数图象如图所示．
(1)甲车间每小时加工服装件数为_80_件；这批服装的总件数为_1140_件；
(2)求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；
(3)求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．

解：(2)乙车间每小时加工服装件数为120÷2＝60(件)，
乙车间修好设备的时间为9－(420－120)÷60＝4(时).
∴乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y＝120＋60(x－4)＝60x－120(4≤x≤9)；
(3)甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y＝80x，
当80x＋60x－120＝1000时，x＝8.
答：甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间为8小时．























5．(2017·咸宁)某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．
(1)第24天的日销售量是_330_件，日销售利润是_660_元；
(2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？
(导学号　58824236)

解：(2)设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx，
将(17，340)代入y＝kx中，340＝17k，解得：k＝20，
∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝20x；
根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y＝340－5(x－22)＝－5x＋450.
联立两线段所表示的函数关系式得，
解得
∴交点D的坐标为(18，360)，
∴y与x之间的函数关系式为
y＝
(3)当0≤x≤18时，根据题意得：(8－6)×20x≥640，解得：18≥x≥16；
当18＜x≤30时，根据题意得：(8－6)×(－5x＋450)≥640，
解得：18＜x≤26.∴16≤x≤26.
26－16＋1＝11(天)，∴日销售利润不低于640元的天数共有11天；
∵点D的坐标为(18，360)，∴日最大销售量为360件，
360×2＝720(元)，
∴试销售期间，日销售最大利润是720元．








6．(2017·随州)某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种水果每次降价的百分率；
(2)从第一次降价的第1天算起，第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

时间x(天)
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价(元/斤)
第1次降价


后的价格
第2次降价


后的价格



销量(斤)
80－3x
120－x

储存和损



耗费用(元)
40＋3x
3x2－64x＋400

(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
解：(1)设该种水果每次降价的百分率是x，依题意有10(1－x)2＝8.1，
解得x＝10%或x＝190%(舍去)，
答：该种水果每次降价的百分率是10%；
(2)当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×(1－10%)＝9，∴y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352，
∵－17.7＜0，
∴y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y有最大值，
y最大＝－17.7×1＋352＝334.3(元)，
当9≤x＜15时，第2次降价后的价格为8.1元，
∴y＝(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，
∵－3＜0，
∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，
当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，
∴当x＝10时，y有最大值，y最大＝380(元)，
综上所述，y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式为：
y＝
第10天时销售利润最大；
(3)设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，
由题意得：380－127.5≤(4－a)(120－15)－(3×152－64×15＋400)，
252．5≤105(4－a)－115，解得a≤0.5.
答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．
　题型二　几何图形探究题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

类型一　与三角形、四边形有关的探究题
1．(2017·成都)问题背景：如图①，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，于是＝＝.
迁移应用：如图②，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.
①求证：△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图③，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.
①证明△CEF是等边三角形；
②若AE＝5，CE＝2，求BF的长．
图①
　　图②


图③


迁移应用：①证明：∵∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠DAB＝∠CAE，
在△DAB和△EAC中，
∴△DAB≌△EAC；
②解：CD＝AD＋BD；

拓展延伸：①证明：如解图，作BH⊥AE于点H，连接BE.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴△ABD，△BDC是等边三角形，∴BA＝BD＝BC，
∵E、C关于BM对称，∴BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC，∴A、D、E、C四点共圆，
∴∠ADC＝∠AEC＝120°，∴∠FEC＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
②解：∵AE＝5，EC＝EF＝2，∴AH＝HE＝2.5，FH＝4.5，
在Rt△BHF中，∵∠BFH＝30°，
∴＝cos30°，∴BF＝＝3.
2．(2017·沈阳)四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG(点D，点F在直线CE的同侧)，连接BF.
(1)如图①，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；
(2)如图②，当点E在线段AD上时，AE＝1；
①求点F到AD的距离；
②求BF的长；
(3)若BF＝3，请直接写出此时AE的长．
(导学号　58824237)

解：(1)作FH⊥AB于点H，如解图①所示：
则∠FHE＝90°，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD＝CD＝4，EF＝CE，∠ADC＝∠DAH＝∠BAD＝∠CEF＝90°，∴∠FEH＝∠CED，
在△EFH和△CED中，
∴△EFH≌△CED(AAS)，
∴FH＝CD＝4，AH＝AD＝4，∴BH＝AB＋AH＝8，
∴BF＝＝＝4；
(2)过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB交BA延长线于点M，如解图②所示：
则FM＝AH，AM＝FH，
①∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝3，
同(1)得：△EFH≌△CED(AAS)，∴FH＝DE＝3，EH＝CD＝4，
即点F到AD的距离为3；
②∴BM＝AB＋AM＝4＋3＝7，FM＝AE＋EH＝5，
∴BF＝＝＝；
(3)AE的长为1或2＋.
图①
　　　　图②


3．(2017·长春改编)【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE＝BC.(不需要证明)
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明；
【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：_AC＝BD_(只添加一个条件)；
(2)如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O.若AO＝OC，四边形ABCD面积为5，求阴影部分图形的面积．

解：【探究】平行四边形．
【应用】(2)如解图，由【探究】得，四边形EFGH是平行四边形，

∵F，G是BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG＝BD，∴△CFG∽△CBD，
∴＝，∴S△BCD＝4S△CFG，
同理：S△ABD＝4S△AEH，
∵四边形ABCD面积为5，∴S△BCD＋S△ABD＝5，
∴S△CFG＋S△AEH＝，同理：S△DHG＋S△BEF＝，
∴S四边形EFGH＝S四边形ABCD－(S△CFG＋S△AEH＋S△DHG＋S△BEF)＝5－＝，
设AC与FG，EH相交于点M，点N，EF与BD相交于点P，
∵FG∥BD，FG＝BD，∴CM＝OM＝OC，同理：AN＝ON＝OA，
∵OA＝OC，∴OM＝ON，
易知，四边形ENOP，FMOP是平行四边形，
∴S阴影＝S四边形EFGH＝.




类型二　与图形的变换结合的探究题
1．(2017·营口)在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB.
(1)若四边形ABCD为正方形．
①如图①，请直接写出AE与DF的数量关系_DF＝AE_；
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图②所示的位置，连接AE，DF，猜想AE，DF的数量关系并说明理由；
(2)如图③，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其他条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图③中画出草图，并直接写出AE′与DF′的数量关系．

解：(1)②DF＝AE.理由如下：
∵△EBF绕点B逆时针旋转，∴∠ABE＝∠DBF，
∵＝，＝，∴＝，∴△ABE∽△DBF，∴＝＝，
即DF＝AE；


(2)如解图，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝mAB，∴BD＝＝AB，
∵EF⊥AB，∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴＝＝，
∵△EBF绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′，
∴∠ABE′＝∠DBF′，BE′＝BE，BF′＝BF，
∴＝＝，∴△ABE′∽△DBF′，
∴＝＝，即DF′＝AE′.










2．(2017·潍坊)边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC＝2.
(1)如图①，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由；
(2)如图②，将△DEC绕点C旋转∠α(0°＜α＜360°)，得到△D′E′C，连接AD′，BE′.边D′E′的中点为P.
①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；
②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．(结果保留根号)
(导学号　58824238)
图①
　　图②


解：(1)当CC′＝时，四边形MCND′是菱形．
理由：由平移的性质得，CD∥C′D′，DE∥D′E′，
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ACC′＝180°－∠ACB＝120°，
∵CN是∠ACC′的角平分线，∴∠NCC′＝∠ACC′＝60°＝∠B＝∠D′E′C′，∴D′E′∥CN，
∴四边形MCND′是平行四边形，
∵∠ME′C′＝∠MCE′＝60°，∠NCC′＝∠NC′C＝60°，∴△MCE′和△NCC′是等边三角形，∴MC＝CE′，NC＝CC′，
∵四边形MCND′是菱形，∴CN＝CM，∴CE′＝CC′.又∵E′C′＝EC＝2，∴CC′＝E′C′＝；
(2)①AD′＝BE′.
理由：当α≠180°时，由旋转的性质得，∠ACD′＝∠BCE′，
由(1)知，AC＝BC，CD′＝CE′，∴△ACD′≌△BCE′，∴AD′＝BE′，
当α＝180°时，AD′＝AC＋CD′，BE′＝BC＋CE′，即：AD′＝BE′，综上可知：AD′＝BE′.
②如解图①，连接CP，在△ACP中，由三角形三边关系得，AP＜AC＋CP，
∴当点A，C，P三点共线时，AP最大，如解图②，
在△D′CE′中，由P为D′E′的中点，得AP⊥D′E′，PD′＝，∴CP＝3，∴AP＝6＋3＝9，
在Rt△APD′中，由勾股定理得，AD′＝＝2.
图①
　　图②


3．(2017·葫芦岛)如图，∠MAN＝60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC(0°<∠ABC<120°)的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针方向旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E.
(1)如图①，当点C在射线AN上时．
①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；
②请探究线段AC、AD和BE的数量关系，写出结论并证明；
(2)如图②，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB＝4，AC＝，请直接写出AD和DF的长．
图①
　　图②


解：(1)①BC＝BD；
②AC＋AD＝BE，证明如下：
如解图，过点 B作BH⊥AE于点H，
∵∠MAN＝60°，AP平分∠MAN，
∴∠1＝∠2＝∠MAN＝30°，∵将∠ABC绕点B顺时针方向旋转120°，
∴旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E，


∴∠CBD＝∠ABE＝120°，
∴∠CBD－∠ABD＝∠ABE－∠ABD，即：∠3＝∠4，
∵∠ABE＝120°，∠1＝30°
∴∠5＝180°－∠ABE－∠1＝30°，
∵∠5＝∠1，
∴BA＝BE，∵∠5＝∠2＝30°，∠3＝∠4，
∴△ABC≌△EBD，∴AC＝DE，∴AC＋AD＝DE＋AD＝AE，
∵BH⊥AE于点H，BA＝BE，∴AH＝EH＝AE，
∵∠5＝30°，
∴EH＝BE·cos30°＝BE，
即：AE＝BE，∴AE＝BE，∴AC＋AD＝BE；
(2)AD＝5，DF＝.





4．(2017·河南)如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
(1)观察猜想
图①中，线段PM与PN的数量关系是_PM＝PN_，位置关系是_PM⊥PN_；
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

解：(2)由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
同(1)的方法，利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同(1)的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，
同(1)的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC，
∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；


(3)如解图，同(2)的方法得，△PMN是等腰直角三角形，
∴MN最大时，△PMN的面积最大，在△AMN中，MN ∴DE∥BC且DE在顶点A上面，
∴MN最大＝AM＋AN，连接AM，AN，
在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝2，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，∴MN最大＝2＋5＝7，
∴S△PMN最大＝PM2＝××MN2＝×(7)2＝
.


类型三 动点问题
1．(2017·抚顺)如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB.
(1)如图①，当P，Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；
(2)如图②，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，∠MON＝60°，连接AP，设＝k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．

解：(1)AB＝PB；


(2)存在．
理由：如解图，连接BQ，∵BC垂直平分OQ，
∴BQ＝OB，
∴∠BQC＝∠BOC，
∵OF平分∠MON，∴∠MOF＝∠NOF，∴∠NOF＝∠BOC，
∴∠BQC＝∠MOF，
∴180°－∠BQC＝180°－∠MOF，
∴∠AOB＝∠BQP，
又∵PQ＝AO，∴△BQP≌△BOA，
∴AB＝PB；
(3)存在最小值，k最小值＝0.5.


















2．(2017·宜昌)正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°.
(1)当OM经过点A时，
①请直接填空：ON_不可能_(可能，不可能)过D点；(图①仅供分析)
②如图②，在ON上截取OE＝OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于点H，求证：四边形EFCH为正方形；
(2)当OM不过点A时，设OM交边AB于点G，且OG＝1.在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO＝4S△OBG，连接GP，求四边形PKBG的最大面积．
(导学号　58824239)

解：(1)②∵EH⊥CD，EF⊥BC，
∴∠EHC＝∠EFC＝90°，且∠HCF＝90°，∴四边形EFCH为矩形，
∵∠MON＝90°，∴∠EOF＝90°－∠AOB，
在正方形ABCD中，∠BAO＝90°－∠AOB，
∴∠EOF＝∠BAO，
在△OFE和△ABO中，
∴△OFE≌△ABO(AAS)，∴EF＝OB，OF＝AB，
又OF＝CF＋OC＝AB＝BC＝BO＋OC＝EF＋OC，∴CF＝EF，
∴四边形EFCH为正方形；


(2)如解图，∵∠POK＝∠OGB，∠PKO＝∠OBG，
∴△PKO∽△OBG，
∵S△PKO＝4S△OBG，
∴＝()2＝4，
∴OP＝2，
∴S△POG＝OG·OP＝×1×2＝1，
设OB＝a，BG＝b，则a2＋b2＝OG2＝1，
∴b＝，
∴S△OBG＝ab＝a＝＝.
当a2＝时，△OBG面积有最大值，此时S△PKO＝4S△OBG＝1，
∴四边形PKBG的最大面积为1＋1＋＝.
3．(2017·沈阳模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，动点Q从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动，点Q运动秒后，点P从点D出发以与点Q相

同的速度沿DA向终点A运动，设点P运动的时间为t(秒)，将△APQ沿直线PQ翻折，得到△EPQ.
(1)用含t的代数式表示：AP＝_6－t_；AQ＝_t＋_；
(2)连接BD，在运动过程中，当△PQE∽△BDC时，求t的值；
(3)在运动过程中，∠PQE能否等于∠ABD的一半？如果能，求出此时的t的值；如果不能，请说明理由(参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2)．

解：(2)∵将△APQ沿直线PQ翻折，得到△EPQ，
∴△PQA≌△PQE，
当△PQE∽△BDC时，
∴△PQA∽△BDC，
∴＝，即＝，解得t＝；
(3)不能．
理由如下：
如解图，延长AB至点M，使BM＝BD，连接DM，
∵BM＝BD，∴∠BDM＝∠BMD，
∵∠ABD＝∠BDM＋∠BMD，
∴∠BDM＝∠BMD＝∠ABD，
当∠PQE＝∠ABD时，∵∠PQE＝∠PQA，
∴∠PQA＝∠BMD＝∠ABD，
∴PQ∥DM，∴＝，
在Rt△BCD中，BD＝＝3，
∴BM＝BD＝3，
∴＝，解得t≈3.5，∵0≤t≤.
所以在运动过程中，∠PQE不能等于∠ABD的一半．
　题型三　二次函数与几何图形综合题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

类型一　与图形判定结合
1．(2017·盘锦)如图，直线y＝－2x＋4交y轴于点A，交抛物线y＝x2＋bx＋c于点B(3，－2)，抛物线经过点C(－1，0)，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作PE⊥DB交DB所在直线于点E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标；
(3)在(2)的条件下，连接PB，将△PBE沿直线AB翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标．
　备用图
　备用图


解：(1)抛物线的解析式为y＝x2－x－2；
(2)∵点D是抛物线与y轴的交点，∴点D的坐标为(0，－2)，
∴BD∥x轴，
∵点P是抛物线上一点，则设点P的坐标为(p，p2－p－2)，
∵PE⊥BD，∴点E的坐标为(p，－2)，
∴DE＝|p|，PE＝|p2－p－2－(－2)|＝
|p2－p|，
∵△PDE是等腰直角三角形，∴PE＝DE，
∴|p2－p|＝|p|，
当p2－p＝p时，解得p＝0或p＝5，
当p2－p＝－p时，解得p＝0或p＝1，
∴这样的点P有两个，坐标分别为(5，3)，此时PE＝5，或(1，－3)，此时PE＝1；
(3)当点P的坐标为(5，3)时，点E的坐标为(5，－2)，此时BE＝2，
如解图①，过E作EF⊥AB于F，延长EF到R，使得FR＝EF，则点R为点E关于AB的对称点，即为所求点．过R作RG⊥DE于G.
∵点A是直线与y轴的交点，∴点A的坐标为(0，4)，∴AD＝6，
∵BD＝3，∴AB＝＝3，
∵＝，∴BF＝，
∵tan∠EBF＝＝tan∠ABD＝＝2，
∴EF＝，∴ER＝，
易得∠REG＝∠BAD，∴EG＝2GR，
∴GR＝，GE＝，∴DG＝5－＝，此时点R的坐标为(，－)；
当点P的坐标为(1，－3)时，点E的坐标为(1，－2)，过点E作EF⊥AB于F，延长EF到R使得EF＝FR，过R作RG⊥BD于G，
同上，易得BE＝2，∴GR＝，GE＝，∴DG＝，∴点R的坐标为(，－)．
综上可得，翻折后点E的对称点坐标为(，－)或(，－)．
图①
　　　图②


2．(2017·本溪 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，点B(3，0)，经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C(4，)，与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点(不与A，C重合)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)过点P作PE⊥AC，垂足为E，作PF∥y轴交直线AC于点F，设点P的横坐标为t，线段EF的长度为m，求m与t的函数关系式；
(3)点Q在抛物线的对称轴上运动，当△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标．
(导学号　58824240)

解：(1)该抛物线解析式为y＝x2－x－；
(2)令y＝0得x2－x－＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点A的坐标为(－1，0)．C(4，)，
∴直线AC的解析式为y＝x＋.
∵点D是直线AC与y轴的交点，
∴点D的坐标为(0，)．
在Rt△AOD中，OA＝1，OD＝，由勾股定理得AD＝，∴cos∠ADO＝＝.
∵PF∥y轴，点P的横坐标为t，且点P在抛物线上，点F在直线AC上，
∴点F的坐标为(t，t＋)，点P的坐标为(t，t2－t－)，
∵点F在点P的上方，∴PF＝t＋－(t2－t－)＝－t2＋t＋2.
∵PF∥y轴，∴∠PFE＝∠ODA，
∴cos∠PFE＝cos∠ODA＝，
∴m＝PF＝－t2＋t＋；
(3)满足条件的点P的坐标为(1＋，－1)或(1－，－1)或(1＋，1)或(2－，1－)或(，1－)．
类型二　与线段问题结合
1．(2017·武汉)已知点A(－1，1)、B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m＞2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；
(3)如图②，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒 个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．
图①
　图②


(1)解：抛物线的解析式为y＝x2－x；
(2)证明：设直线AF的解析式为y＝kx＋m，
将点A(－1，1)代入y＝kx＋m中，即－k＋m＝1，∴k＝m－1，
∴直线AF的解析式为y＝(m－1)x＋m.
联立直线AF和抛物线解析式得，
解得
∴点G的坐标为(2m，2m2－m)．
∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为(2m，0)．
∵抛物线的解析式为y＝x2－x＝x(x－1)，∴点E的坐标为(1，0)．
∴直线AE的解析式为y＝－x＋.
设直线FH的解析式为y＝k2x＋b2，将F(0，m)、H(2m，0)代入y＝k2x＋b2中，
解得：
∴直线FH的解析式为y＝－x＋m.∴FH∥AE；
(3)解：当运动时间为秒或秒或秒或秒时，QM＝2PM.
2．(2015·锦州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)和点B(4，0)，且与y轴交于点C，点D的坐标为(2，0)，点P(m，n)是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB.

(1)求该抛物线的解析式；
(2)当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；
(3)当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．
解：(1)抛物线的解析式为：y＝－x2＋x＋2；
(2)∵抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2，
∴点C的坐标是(0，2)，
∵点A(－1，0)、点D(2，0)，∴AD＝2－(－1)＝3，∴S△CAD＝×3×2＝3，∴S△PDB＝3，
∵点B(4，0)、点D(2，0)，∴BD＝2，
∴S△PDB＝×2×|n|＝3，∴n＝3或n－3，
①当n＝3时，－m2＋m＋2＝3，解得m＝1或m＝2，∴点P的坐标是(1，3)或(2，3)．
②当n＝－3时，－m2＋m＋2＝－3，解得m＝5或m＝－2，
∴点P的坐标是(5，－3)或(－2，－3)．
综上，可得点P的坐标为(1，3)或(2，3)或(5，－3)或(－2，－3)；
(3)线段EG的最小值是.
3．(2017·哈尔滨)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－3经过B，C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q(点Q在线段PC上)，BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST＝TD时，求线段MN的长．

解：(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；

图①
(2)如解图①，
y＝x2－2x－3，
当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，
∴OA＝1，OB＝OC＝3，
∴∠ABC＝45°，AC＝，AB＝4，
∵PE⊥x轴，
∴∠EMB＝∠EBM＝45°，
∵点P的横坐标为t，∴EM＝EB＝3－t，
连接AM，∵S△ABC＝S△AMC＋S△AMB，
∴AB·OC＝AC·MN＋AB·EM，
∴×4×3＝×MN＋×4(3－t)，
∴MN＝t；

图②
(3)如解图②，∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴对称轴为x＝1，
由抛物线对称性可得D(2，－3)，∴CD＝2，
过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，∴四边形OCKB为正方形，
∴∠OBK＝90°，CK＝OB＝BK＝3，∴DK＝1，
∵BQ⊥CP，∴∠CQB＝90°，
过点O作OH⊥PC交PC的延长线于点H，OR⊥BQ交BQ于点I，交BK于点R，OG⊥OS交KB于G，连接SR，
∴∠OHC＝∠OIQ＝∠OIB＝90°，∴四边形OHQI为矩形，
∵∠OCQ＋∠OBQ＝180°，∴∠OBG＝∠OCS，
∵OB＝OC，∠BOG＝∠COS，∴△OBG≌△OCS，
∴OG＝OS，CS＝GB，∠GOB＝∠SOC，∴∠SOG＝90°，∴∠ROG＝45°，∵OR＝OR，∴△OSR≌△OGR，∴SR＝GR，∴SR＝CS＋BR，∵∠BOR＋∠OBI＝90°，∠IBO＋∠TBK＝90°，∴∠BOR＝∠TBK，
∴tan∠BOR＝tan∠TBK，∴＝，∴BR＝TK，
∵∠CTQ＝∠BTK，∴∠QCT＝∠TBK，
∴tan∠QCT＝tan∠TBK，
设ST＝TD＝m，
∴SK＝2m＋1，CS＝2－2m，TK＝m＋1＝BR，
SR＝3－m，RK＝2－m，
在Rt△SKR中，
∵SK2＋RK2＝SR2，∴(2m＋1)2＋(2－m)2＝(3－m)2，解得m1＝－2(舍去)，m2＝；
∴ST＝TD＝，TK＝，
∴tan∠TBK＝＝÷3＝，∴tan∠PCD＝，
∵CF＝OE＝t，∴PF＝t，∴PE＝t＋3，∴P(t，－t－3)，∴－t－3＝t2－2t－3，
解得t1＝0(舍去)，t2＝.
∴MN＝d＝t＝×＝.
类型三　与面积问题结合
1．(2017·恩施州)如图，已知抛物线y＝ax2＋c过点(－2，2)，(4，5)，过定点F(0，2)的直线l：y＝kx＋2与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系(＞、＜、＝)，并证明你的判断；
(3)P为y轴上一点，以B，C，F，P为顶点的四边形是菱形，设点P(0，m)，求自然数m的值；
(4)若k＝1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．
(导学号　58824241)

解：(1)抛物线的解析式为y＝x2＋1；
(2)BF＝BC.
理由如下：设B(x，x2＋1)，而F(0，2)，
∴BF2＝x2＋(x2＋1－2)2＝x2＋(x2－1)2＝(x2＋1)2，∴BF＝x2＋1，
∵BC⊥x轴于点C，∴BC＝x2＋1，∴BF＝BC；

图①
(3)如解图①，m为自然数，则点P在F点上方，
∵以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，
∴CB＝CF＝PF，而CB＝FB，∴BC＝CF＝BF，
∴△BCF为等边三角形，
∴∠BCF＝60°，∴∠OCF＝30°，
在Rt△OCF中，CF＝2OF＝4，∴PF＝CF＝4，
∴P(0，6)，
即自然数m的值为6；

图②
(4)作QE∥y轴交AB于E，如解图②，
当k＝1时，一次函数解析式为y＝x＋2，
解方程组得或
则B(2＋2，4＋2)，
设Q(t，t2＋1)，则E(t，t＋2)，
∴EQ＝t＋2－(t2＋1)＝－t2＋t＋1，
∴S△QBF＝S△EQF＋S△EQB＝(2＋2)EQ＝(＋1)(－t2＋t＋1)＝－(t－2)2＋2＋2，
当t＝2时，S△QBF有最大值，最大值为2＋2，此时Q点坐标为(2，2)．
2．(2017·苏州)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于 A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC.点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
(1)求b，c的值；
(2)如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；
(3)如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

解：(1)b＝－2，c＝－3;
(2)设点F坐标为(0，m)，
∵对称轴是直线x＝1，
∴点F关于直线l的对称点F′的坐标为(2，m)，
由(1)可知抛物线解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴E(1，－4)
∵直线BE经过点B(3，0)，E(1，－4)，
∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝2x－6，
∵点F′在BE上，
∴m＝2×2－6＝－2，即点F坐标为(0，－2)．
(3)存在，满足题意的点Q的坐标为(，－)或(，－)．
3．(2017·抚顺)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，并经过B(4，4)和C(6，0)两点，点D的坐标为(4，0)，连接AD，AB，BC，点E从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AD向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为t秒，过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；
(3)设点E从点A出发时，点E，F，G都与点A重合，点E在运动过程中，当△BCG的面积为4时，直接写出相应的t值，并直接写出点G从出发到此时所经过的路径长．
(导学号　58824242)

解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4；
(2)点G(t，4－t)，
将(t，4－t)代入到抛物线得4－t＝－(t)2＋×t＋4，
解得t1＝0(舍去)，t2＝，
∴当t＝时，G落在抛物线上；
(3)t1＝，此时路径长度为，
t2＝5，此时路径长度为1＋2.





类型四　与相似三角形结合
1．如图，已知直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒 个单位的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
(1)求抛物线的解析式；
(2)问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
(3)过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；
(4)设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)OP＝t，AQ＝t，则PA＝3－t，
∵OA＝OB＝3，
∠BOA＝90°，
∴∠QAP＝45°.
当∠PQA＝90°时，如解图①，PA＝AQ，即3－t＝×t，解得t＝1；
当∠APQ＝90°时，如解图②，AQ＝AP，即t＝(3－t)，解得t＝；
综上所述，当t＝1或t＝时，△PQA是直角三角形；

图①
(3)如解图③，延长FQ交x轴于点H，设点P的坐标为(t，0)，∵PA＝PE，则点E的坐标为(t，－t＋3)，
易得△AQH为等腰直角三角形，∴AH＝HQ＝AQ＝·t＝t，
∴点Q的坐标为(3－t，t)，点F的坐标为(3－t，－t2＋4t)，
∴FQ＝－t2＋4t－t＝－t2＋3t，
∵EP∥FQ，EF∥PQ，∴四边形PQFE为平行四边形，
∴EP＝FQ.即3－t＝3t－t2，解得t1＝1，t2＝3(舍去)，∴点F的坐标为(2，3)；
图②
　　　　图③

(4)存在．
当t＝时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．
2.(2017·河南)如图，直线y＝－x＋c与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B.
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；
(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．
(导学号　58824243)

解：(1)B(0，2)，
抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2；
(2)①由(1)可知直线解析式为y＝－x＋2，
∵M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，
∴P(m，－m＋2)，N(m，－m2＋m＋2)，
∴PM＝－m＋2，AM＝3－m，PN＝－m2＋m＋2－(－m＋2)＝－m2＋4m，
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，
∴∠BNP＝∠AMP＝90°即△BPN∽△APM，或∠NBP＝∠AMP＝90°，
当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴BN＝OM＝m，
∴＝，即＝，解得m＝0(舍去)或m＝2.5；
∴M(2.5，0)；
当∠NBP＝90°时，即△BPN∽△MPA，则有＝，∵A(3，0)，B(0，2)，P(m，－m＋2)，0＜m＜3，∴BP＝＝m，AP＝＝(3－m)，
＝，解得m＝0(舍去)或m＝，∴M(，0)；
综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为(2.5，0)或(，0)；
②当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或－1或－.
3.(2016·湖州)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；
(2)若将该二次函数图象向下平移m(m＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；
(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程)．

解：(1)二次函的数解析式为y＝－x2＋2x＋4，
点M的坐标为(1，5)；

(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋m，把点A(3，1)，C(0，4)代入得 解得
∴直线AC的解析式为y＝－x＋4，如解图所示，对称轴直线x＝1与△ABC两边分别交于点E、点F，
把x＝1代入直线AC解析式y＝－x＋4，得y＝3，则点E坐标为(1，3)，点F坐标为(1，1)，
∴1＜5－m＜3，解得2＜m＜4；
(3)符合题意的点P坐标有4个，分别为P1(，)，P2(－，)，P3(3，1)，P4(－3，7)．











类型五　与角有关的探究
1．(2017·锦州)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过B(－1，0)，D(－2，5)两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q、P.

(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使∠APB＝90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；
(3)连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？
解：(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；
(2)假设存在点P(m，n)，使得∠APB＝90°，
如解图①，连接PA，PB.
∵PH⊥AB，
∴可得△PAH∽△BPH，∴＝，
即PH2＝AH·BH，
∴(－n)2＝(3－m)(m＋1)，整理得n2＝－m2＋2m＋3，
∵点P在抛物线上，∴n＝m2－2m－3，
∴n2＝－n，解得n＝－1或n＝0(舍)．
将n＝－1代入抛物线得m2－2m－3＝－1，解得m1＝1＋，m2＝1－，
∴满足条件的点P有两个，横坐标分别为1＋，1－；
图①
　　　图②


(3)如解图②，过D作DE⊥x轴于点E，
∵D(－2，5)，∴DE＝5，OE＝2.
∴AE＝OE＋OA＝5，
∴DE＝AE，
∴∠DAE＝45°.
过D作DF⊥PQ于点F，∵DF∥x轴，
∴∠FDQ＝45°，
∴在Rt△DFQ中，DQ＝FQ.
根据题意，t＝＋＝BQ＋FQ，
∴要使t最小，则BQ＋QF最小，
根据垂线段最短可知，当点B，Q，F共线时，t取最小值，
此时BF⊥DF，点Q的横坐标为－1，则点Q的坐标为(－1，4)．
2．(2017·盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
(导学号　58824244)
　　备用图


解：(1)抛物线的表达式为y＝－x2－x＋2；
(2)①令y＝－x2－x＋2＝0，∴x1＝－4，x2＝1，∴A(－4，0)，B(1，0)，如解图①，过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交AC于点N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴＝＝，设D(a，－a2－a＋2)，∴M(a，a＋2)，∴DM＝－a2－2a，∵B(1，0)，∴N(1，)，∴BN＝.
∴＝＝＝－(a＋2)2＋；∴当a＝－2时，的最大值是；
图①
　　　图②


②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)，
∴AC＝2，BC＝，AB＝5，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P(－，0)，∴PA＝PC＝PB＝，∴∠CPO＝2∠BAC，∴tan∠CPO＝tan(2∠BAC)＝，过D作x轴的平行线交y轴于点R，交AC的延长线于点G，
i．如解图②，∴∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC＋∠CDG，
∴∠CDG＝∠BAC，
∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝，即＝，令D(a，－a2－a＋2)，∴DR＝－a，RC＝－a2－a，
∴＝，∴a1＝0(舍去)，a2＝－2，
∴xD＝－2，ii.∵∠FDC＝2∠BAC，tan∠FDC＝，设FC＝4k，∴DF＝3k，DC＝5k，∵tan∠DGC＝＝，∴FG＝6k，∴CG＝2k，DG＝3k，∴RC＝k，RG＝k，DR＝3k－k＝k，∴＝＝，∴a1＝0(舍去)，a2＝－，点D的横坐标为－2或－.
3．(2017·丹东模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为(0，－1)，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC.
(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)若点H(1，y)在BC上，连接FH，求△FHB的面积；
(3)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒(t＞0)，在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？
(4)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋x－2＝－(x－2)2＋；
(2)如解图，过点A作AH∥y轴交BC于点H，交BE于点G，由(1)得C(0，－2)，∵B(3，0)，∴直线BC解析式为y＝x－2，
∵H(1，y)在直线BC上，∴y＝－，∴H(1，－)，
∵B(3，0)，E(0，－1)，∴直线BE解析式为y＝x－1，
∴G(1，－)，∴GH＝，

∵直线BE：y＝x－1与抛物线y＝－x2＋x－2相交于点F，B，∴F(，－)，
∴S△FHB＝GH×|xG－xF|＋GH×|xB－xG|＝GH×|xB－xF|＝××(3－)＝；
(3)P(，)．