中考数学二轮总复习（解答题）突破训练：专题三《方程、不等式与函数结合的实际应用》(教师版)

这是一份中考数学二轮总复习（解答题）突破训练：专题三《方程、不等式与函数结合的实际应用》(教师版)，共48页。
类型三　方程、不等式与函数结合的实际应用
1．怡然美食店的A，B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．
(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？
(2)该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？
解：(1)设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份，
根据题意得，解得：
答：该店每天卖出这两种菜品共60份；
(2)设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖(20＋a)份；总利润为w元，因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B种菜品每天卖(40－a)份，每份售价提高0.5a元．
w＝(20－14－0.5a)(20＋a)＋(18－14＋0.5a)(40－a)
＝(6－0.5a)(20＋a)＋(4＋0.5a)(40－a)
＝(－0.5a2－4a＋120)＋(－0.5a2＋16a＋160)
＝－a2＋12a＋280
＝－(a－6)2＋316，
当a＝6时，w最大，此时w＝316.
答：这两种菜品一天的总利润最多是316元，





2．某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品的销售单价y(元/件)与销售数量x(件)(x是正整数)之间的关系如下表：
x(件)
…
5
10
15
20
…
y(元/件)
…
75
70
65
60
…
(1)由题意知商品的最低销售单价是_50_元，当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数，求出y与x的函数关系式及x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？
解：(1)设y＝kx＋b，根据题意得：
解得
根据题意得：∴1≤x≤30且x为整数，
∴y＝－x＋80(0＜x≤30，且x为整数)；
(2)设所获利润为P元，根据题意得：
P＝(y－40)x＝(－x＋80－40)x＝－(x－20)2＋400，
∵a＝－1＜0，∴P有最大值，
∴当x＝20时，P最大＝400，
此时y＝60，
∴当销售单价为60元时，所获最大利润为400元．






3．某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元(x为偶数)，每周销售为y个．
(1)直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；
(2)设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？
(3)若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？
解：(1)依题意有：y＝10x＋160；
(2)依题意有：W＝(80－50－x)(10x＋160)＝－10(x－7)2＋5290，
∵－10＜0，x为偶数，∴x＝6或8时，W有最大值，W最大＝5280.
故当销售单价定为80－6＝74元或80－8＝72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；
(3)依题意有：－10(x－7)2＋5290≥5200，
解得4≤x≤10，则200≤y≤260，
200×50＝10000(元)，
答：他至少要准备10000元进货成本．








4．甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件)．甲车间加工的时间为x(时)，y与x之间的函数图象如图所示．
(1)甲车间每小时加工服装件数为_80_件；这批服装的总件数为_1140_件；
(2)求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；
(3)求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．

解：(2)乙车间每小时加工服装件数为120÷2＝60(件)，
乙车间修好设备的时间为9－(420－120)÷60＝4(时).
∴乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y＝120＋60(x－4)＝60x－120(4≤x≤9)；
(3)甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y＝80x，
当80x＋60x－120＝1000时，x＝8.
答：甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间为8小时．








5．某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．
(1)第24天的日销售量是_330_件，日销售利润是_660_元；
(2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？

解：(2)设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx，
将(17，340)代入y＝kx中，340＝17k，解得：k＝20，
∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝20x；
根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y＝340－5(x－22)＝－5x＋450.
联立两线段所表示的函数关系式得，
解得
∴交点D的坐标为(18，360)，
∴y与x之间的函数关系式为
y＝
(3)当0≤x≤18时，根据题意得：(8－6)×20x≥640，解得：18≥x≥16；
当18＜x≤30时，根据题意得：(8－6)×(－5x＋450)≥640，
解得：18＜x≤26.∴16≤x≤26.
26－16＋1＝11(天)，∴日销售利润不低于640元的天数共有11天；
∵点D的坐标为(18，360)，∴日最大销售量为360件，
360×2＝720(元)，
∴试销售期间，日销售最大利润是720元．
6．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种水果每次降价的百分率；
(2)从第一次降价的第1天算起，第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
时间x(天)
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价(元/斤)
第1次降价


后的价格
第2次降价


后的价格



销量(斤)
80－3x
120－x

储存和损



耗费用(元)
40＋3x
3x2－64x＋400

(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
解：(1)设该种水果每次降价的百分率是x，依题意有10(1－x)2＝8.1，
解得x＝10%或x＝190%(舍去)，
答：该种水果每次降价的百分率是10%；
(2)当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×(1－10%)＝9，
∴y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352，
∵－17.7＜0，
∴y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y有最大值，
y最大＝－17.7×1＋352＝334.3(元)，
当9≤x＜15时，第2次降价后的价格为8.1元，
∴y＝(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，
∵－3＜0，
∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，
当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，
∴当x＝10时，y有最大值，y最大＝380(元)，
综上所述，y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式为：
y＝
第10天时销售利润最大；
(3)设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，
由题意得：380－127.5≤(4－a)(120－15)－(3×152－64×15＋400)，
252．5≤105(4－a)－115，解得a≤0.5.
答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．
　题型二　几何图形探究题
类型一　与三角形、四边形有关的探究题
1．(2017·成都)问题背景：如图①，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，于是＝＝.
迁移应用：如图②，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.
①求证：△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图③，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.
①证明△CEF是等边三角形；
②若AE＝5，CE＝2，求BF的长．
图①
　　图②


图③


迁移应用：①证明：∵∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠DAB＝∠CAE，
在△DAB和△EAC中，
∴△DAB≌△EAC；
②解：CD＝AD＋BD；

拓展延伸：①证明：如解图，作BH⊥AE于点H，连接BE.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴△ABD，△BDC是等边三角形，∴BA＝BD＝BC，
∵E、C关于BM对称，∴BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC，∴A、D、E、C四点共圆，
∴∠ADC＝∠AEC＝120°，∴∠FEC＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
②解：∵AE＝5，EC＝EF＝2，∴AH＝HE＝2.5，FH＝4.5，
在Rt△BHF中，∵∠BFH＝30°，
∴＝cos30°，∴BF＝＝3.
2．(2017·沈阳)四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG(点D，点F在直线CE的同侧)，连接BF.
(1)如图①，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；
(2)如图②，当点E在线段AD上时，AE＝1；
①求点F到AD的距离；
②求BF的长；
(3)若BF＝3，请直接写出此时AE的长．
(导学号　58824237)

解：(1)作FH⊥AB于点H，如解图①所示：
则∠FHE＝90°，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD＝CD＝4，EF＝CE，∠ADC＝∠DAH＝∠BAD＝∠CEF＝90°，∴∠FEH＝∠CED，
在△EFH和△CED中，
∴△EFH≌△CED(AAS)，
∴FH＝CD＝4，AH＝AD＝4，∴BH＝AB＋AH＝8，
∴BF＝＝＝4；
(2)过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB交BA延长线于点M，如解图②所示：
则FM＝AH，AM＝FH，
①∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝3，
同(1)得：△EFH≌△CED(AAS)，∴FH＝DE＝3，EH＝CD＝4，
即点F到AD的距离为3；
②∴BM＝AB＋AM＝4＋3＝7，FM＝AE＋EH＝5，
∴BF＝＝＝；
(3)AE的长为1或2＋.
图①
　　　　图②


3．(2017·长春改编)【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE＝BC.(不需要证明)
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明；
【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：_AC＝BD_(只添加一个条件)；
(2)如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O.若AO＝OC，四边形ABCD面积为5，求阴影部分图形的面积．

解：【探究】平行四边形．
【应用】(2)如解图，由【探究】得，四边形EFGH是平行四边形，

∵F，G是BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG＝BD，∴△CFG∽△CBD，
∴＝，∴S△BCD＝4S△CFG，
同理：S△ABD＝4S△AEH，
∵四边形ABCD面积为5，∴S△BCD＋S△ABD＝5，
∴S△CFG＋S△AEH＝，同理：S△DHG＋S△BEF＝，
∴S四边形EFGH＝S四边形ABCD－(S△CFG＋S△AEH＋S△DHG＋S△BEF)＝5－＝，
设AC与FG，EH相交于点M，点N，EF与BD相交于点P，
∵FG∥BD，FG＝BD，∴CM＝OM＝OC，同理：AN＝ON＝OA，
∵OA＝OC，∴OM＝ON，
易知，四边形ENOP，FMOP是平行四边形，
∴S阴影＝S四边形EFGH＝.




类型二　与图形的变换结合的探究题
1．(2017·营口)在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB.
(1)若四边形ABCD为正方形．
①如图①，请直接写出AE与DF的数量关系_DF＝AE_；
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图②所示的位置，连接AE，DF，猜想AE，DF的数量关系并说明理由；
(2)如图③，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其他条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图③中画出草图，并直接写出AE′与DF′的数量关系．

解：(1)②DF＝AE.理由如下：
∵△EBF绕点B逆时针旋转，∴∠ABE＝∠DBF，
∵＝，＝，∴＝，∴△ABE∽△DBF，∴＝＝，
即DF＝AE；


(2)如解图，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝mAB，∴BD＝＝AB，
∵EF⊥AB，∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴＝＝，
∵△EBF绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′，
∴∠ABE′＝∠DBF′，BE′＝BE，BF′＝BF，
∴＝＝，∴△ABE′∽△DBF′，
∴＝＝，即DF′＝AE′.










2．(2017·潍坊)边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC＝2.
(1)如图①，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由；
(2)如图②，将△DEC绕点C旋转∠α(0°＜α＜360°)，得到△D′E′C，连接AD′，BE′.边D′E′的中点为P.
①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；
②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．(结果保留根号)
(导学号　58824238)
图①
　　图②


解：(1)当CC′＝时，四边形MCND′是菱形．
理由：由平移的性质得，CD∥C′D′，DE∥D′E′，
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ACC′＝180°－∠ACB＝120°，
∵CN是∠ACC′的角平分线，∴∠NCC′＝∠ACC′＝60°＝∠B＝∠D′E′C′，∴D′E′∥CN，
∴四边形MCND′是平行四边形，
∵∠ME′C′＝∠MCE′＝60°，∠NCC′＝∠NC′C＝60°，∴△MCE′和△NCC′是等边三角形，∴MC＝CE′，NC＝CC′，
∵四边形MCND′是菱形，∴CN＝CM，∴CE′＝CC′.又∵E′C′＝EC＝2，∴CC′＝E′C′＝；
(2)①AD′＝BE′.
理由：当α≠180°时，由旋转的性质得，∠ACD′＝∠BCE′，
由(1)知，AC＝BC，CD′＝CE′，∴△ACD′≌△BCE′，∴AD′＝BE′，
当α＝180°时，AD′＝AC＋CD′，BE′＝BC＋CE′，即：AD′＝BE′，综上可知：AD′＝BE′.
②如解图①，连接CP，在△ACP中，由三角形三边关系得，AP＜AC＋CP，
∴当点A，C，P三点共线时，AP最大，如解图②，
在△D′CE′中，由P为D′E′的中点，得AP⊥D′E′，PD′＝，∴CP＝3，∴AP＝6＋3＝9，
在Rt△APD′中，由勾股定理得，AD′＝＝2.
图①
　　图②


3．(2017·葫芦岛)如图，∠MAN＝60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC(0°