中考数学二轮总复习（解答题）突破训练：专题十二《二次函数与角有关的探究》(教师版)

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(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使∠APB＝90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；
(3)连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒eq \r(2)个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？
解：(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；
(2)假设存在点P(m，n)，使得∠APB＝90°，
如解图①，连接PA，PB.
∵PH⊥AB，
∴可得△PAH∽△BPH，∴eq \f(PH,BH)＝eq \f(AH,PH)，即PH2＝AH·BH，
∴(－n)2＝(3－m)(m＋1)，整理得n2＝－m2＋2m＋3，
∵点P在抛物线上，∴n＝m2－2m－3，
∴n2＝－n，解得n＝－1或n＝0(舍)．
将n＝－1代入抛物线得m2－2m－3＝－1，解得m1＝1＋eq \r(3)，m2＝1－eq \r(3)，
∴满足条件的点P有两个，横坐标分别为1＋eq \r(3)，1－eq \r(3)；
图① 图②
(3)如解图②，过D作DE⊥x轴于点E，
∵D(－2，5)，∴DE＝5，OE＝2.
∴AE＝OE＋OA＝5，
∴DE＝AE，
∴∠DAE＝45°.
过D作DF⊥PQ于点F，∵DF∥x轴，
∴∠FDQ＝45°，
∴在Rt△DFQ中，DQ＝eq \r(2)FQ.
根据题意，t＝eq \f(BQ,1)＋eq \f(DQ,\r(2))＝BQ＋FQ，
∴要使t最小，则BQ＋QF最小，
根据垂线段最短可知，当点B，Q，F共线时，t取最小值，
此时BF⊥DF，点Q的横坐标为－1，则点Q的坐标为(－1，4)．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝eq \f(1,2)x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求eq \f(S1,S2)的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
备用图
解：(1)抛物线的表达式为y＝－eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x＋2；
(2)①令y＝－eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x＋2＝0，∴x1＝－4，x2＝1，
∴A(－4，0)，B(1，0)，
如解图①，过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交AC于点N，
∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴eq \f(S1,S2)＝eq \f(DE,BE)＝eq \f(DM,BN)，设D(a，－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,2)a＋2)，
∴M(a，eq \f(1,2)a＋2)，∴DM＝－eq \f(1,2)a2－2a，∵B(1，0)，∴N(1，eq \f(5,2))，∴BN＝eq \f(5,2).
∴eq \f(S1,S2)＝eq \f(DM,BN)＝eq \f(－\f(1,2)a2－2a,\f(5,2))＝－eq \f(1,5)(a＋2)2＋eq \f(4,5)；∴当a＝－2时，eq \f(S1,S2)的最大值是eq \f(4,5)；
图① 图②
②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)，
∴AC＝2eq \r(5)，BC＝eq \r(5)，AB＝5，∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，
∴P(－eq \f(3,2)，0)，∴PA＝PC＝PB＝eq \f(5,2)，∴∠CPO＝2∠BAC，
∴tan∠CPO＝tan(2∠BAC)＝eq \f(4,3)，
过D作x轴的平行线交y轴于点R，交AC的延长线于点G，
i．如解图②，∴∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC＋∠CDG，
∴∠CDG＝∠BAC，
∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝eq \f(1,2)，即eq \f(RC,DR)＝eq \f(1,2)，
令D(a，－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,2)a＋2)，∴DR＝－a，RC＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,2)a，
∴eq \f(－\f(1,2)a2－\f(3,2)a,－a)＝eq \f(1,2)，∴a1＝0(舍去)，a2＝－2，
∴xD＝－2，ii.∵∠FDC＝2∠BAC，tan∠FDC＝eq \f(4,3)，
设FC＝4k，∴DF＝3k，DC＝5k，
∵tan∠DGC＝eq \f(3k,FG)＝eq \f(1,2)，∴FG＝6k，∴CG＝2k，DG＝3eq \r(5)k，
∴RC＝eq \f(2\r(5),5)k，RG＝eq \f(4\r(5),5)k，DR＝3eq \r(5)k－eq \f(4\r(5),5)k＝eq \f(11\r(5),5)k，
∴eq \f(DR,RC)＝eq \f(\f(11\r(5),5)k,\f(2\r(5),5)k)＝eq \f(－a,－\f(1,2)a2－\f(3,2)a)，∴a1＝0(舍去)，a2＝－eq \f(29,11)，
点D的横坐标为－2或－eq \f(29,11).
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为(0，－1)，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC.
(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)若点H(1，y)在BC上，连接FH，求△FHB的面积；
(3)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒(t＞0)，在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？
(4)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)抛物线的解析式为y＝－eq \f(2,3)x2＋eq \f(8,3)x－2＝－eq \f(2,3)(x－2)2＋eq \f(2,3)；
(2)如解图，过点A作AH∥y轴交BC于点H，交BE于点G，由(1)得C(0，－2)，
∵B(3，0)，∴直线BC解析式为y＝eq \f(2,3)x－2，
∵H(1，y)在直线BC上，∴y＝－eq \f(4,3)，∴H(1，－eq \f(4,3))，
∵B(3，0)，E(0，－1)，∴直线BE解析式为y＝eq \f(1,3)x－1，
∴G(1，－eq \f(2,3))，∴GH＝eq \f(2,3)，
∵直线BE：y＝eq \f(1,3)x－1与抛物线y＝－eq \f(2,3)x2＋eq \f(8,3)x－2相交于点F，B，
∴F(eq \f(1,2)，－eq \f(5,6))，
∴S△FHB＝eq \f(1,2)GH×|xG－xF|＋eq \f(1,2)GH×|xB－xG|＝eq \f(1,2)GH×|xB－xF|＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×(3－eq \f(1,2))＝eq \f(5,6)；
(3)P(eq \f(3,2)，eq \f(1),\s\d5(2)))．