浙江省温州市2021-2022学年高一上学期期末教学质量统一检测数学（A卷）含解析

2021学年第一学期温州市高一期末教学质量统一检测

数学试题（A卷）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．

考生注意：

1.考生答题前，务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的答字笔或钢笔填写在答题卷上．

2.选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．

3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区城内，答案写在本试题卷上无效．

选择题部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知，，则是（    ）

A. R B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出集合A，B，再求两集合的交集

【详解】由，得，所以，

由于，所以，

所以，

故选：B

2. 已知函数，则是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】由分段函数解析式中自变量的范围，先求，再求即可.

【详解】由题设，，

∴.

故选：C.

3. 设，则a，b，c的大小关示是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出结果.

【详解】因为，

，

，

所以．

故选：D．

4. 函数的定义域是（    ）

A.  B.

C.  D. 且

【答案】A

【解析】

【分析】由题可得，即得.

【详解】由题可得，解得，

∴函数的定义域为.

故选：A.

5. 已知，，则“使得”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】依据子集的定义进行判断即可解决二者间的逻辑关系.

【详解】若使得，则有成立；

若，则有使得成立.

则“使得”是“”的充要条件

故选：C

6. 已知函数，若特它的图象向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换即可得出结果.

【详解】由题意知，将函数图象向左平移个单位，得，

再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得，

故选：A

7. 在经济学中，供应和需求是一对矛盾．考虑某种商品的市场，当该商品的价格上升时，商家的供应量会增加，而消费者的需求量会减小．反之，如果价格降低，则供应量减小，需求量增加．习惯上以纵轴t表示商品的价格（单位：元/件），横轴s表示商品的量（单位：件），则供应量、需求量与价格的关系可以在同一坐标系中用两条曲线表示，分别称为供应曲线、需求曲线．为刺激经济，政府给消费者发放消费券，或者给商家提供一定的金额进行补贴．在商品价格不变的情况下，给消费者发放补贴会增加需求量，给商家发放补贴会增加供应量．如图所示，下列说法正确的是（    ）

A. P是供应曲线，当政府给商家补贴a元/件时，供应曲线向上平移a个单位

B. P是需求曲线，当政府给消费者补贴a元/件时，需求曲线向上平移a个单位

C. Q是供应曲线，当政府给商家补贴a元/件时，供应曲线向上平移a个单位

D. Q是需求曲线，当政府给消费者补贴a元件时，需求曲线向上平移a个单位

【答案】D

【解析】

【分析】先判断出P为供应曲线.，Q应为需求曲线，然后根据政府给消费者补贴a元/件，判断出B、D；根据政府给商家补贴a元/件，判断出A、C.

【详解】对于A：当商品的价格上升时，商家的供应量会增加，反之，如果价格下降，则供应量会减小，表明商品的价格与供应之间呈正比，因此P为供应曲线.当政府给商家提供一定金额的补贴时，在商品价格不变的情况下，会增加商品的供应量，因此，当政府给商家补贴a元时，供应曲线P应该向下平移a个单位，而不是向上平移，向上平移意味着供应的减少，故A项错误；

对于B：当商品的价格上升时，消费者的需求量会减小，反之，如果价格降低，则需求量会增加，因此商品的价格与需求之间呈反比，而曲线P表示商品的价格与商品的量呈正比，因此曲线P应为供应曲线，而不是需求曲线，故B项错误；

对于C：当商品的价格上升时，商家的供应量会增加，反之，如果价格下降，则供应量会减小，因此商品的价格与供应之间呈正比，而曲线Q表示商品的价格与商品的量呈反比，因此曲线Q应为需求曲线，而不是供应曲线，故C项错误；

对于D：当商品的价格上升时，消费者的需求量会减小，反之，如果价格降低，则需求量会增加，表明商的价格与需求之间呈反比，因此曲线Q应为需求曲线.当政府给消费者发放补贴时，在商品价格不变的情况下，会增加商品的需求量，因此，当政府给肖费者补贴a元时，需求曲线会向上平移a个单位，表示商品需求量的增加，故D项正确.

故选：D

8. 已知函数，若在定义域上恒成立，则的值是（    ）

A. －1 B. 0 C. 1 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数函数的性质可知在上，在上，结合题设条件，必有与的零点相同，进而求出参数a、b，即可得解.

【详解】由题设，定义域为，

令，可得或，

∴在上，在上，

若，

∴要使定义域上恒成立，则在上，在上，

∴或也是的零点，则：

，无解；，可得；，无解；

∴.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：将原函数拆分为、，根据对数函数的性质及题设恒成立条件，判断拆分后子函数的零点关系.

二、选择题：本题共四小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 下列各式的值为1的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】对于A：直接判断出即可判断；

对于B：计算出即可判断；

对于C：直接计算出即可判断；

对于D：利用换底公式直接计算出即可判断.

【详解】，.

对于A：因为，所以.故A错误；

对于B：因为，所以B错误；

对于C：.故C正确；

对于D：.故D正确.

故选：CD

10. 已知实数a，b，c满足：且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】对于A：利用不等式的乘方直接判断；

对于B：由即可判断；

对于C：取特殊值，否定结论；

对于D：由即可判断.

【详解】因为实数a，b，c满足：且，所以a、b、c同号.

对于A：若，，则，所以；若，，则，所以；故A正确；

对于B：因为，所以，所以成立.故B正确；

对于C：可取，则，所以不成立.故C错误；

对于D：因为，所以.因为，所以.

故D错误.

故选：AB

11. 已知函数，则（    ）

A. 最小正周期为 B. 关于直线对称

C. 在上单调递减 D. 最大值为

【答案】BC

【解析】

【分析】根据两角和的余弦公式、二倍角公式和辅助角公式求出，利用正弦函数的性质依次求出最小正周期、最大值、对称轴和单调减区间即可.

【详解】

，

所以函数的最小正周期为，最大值为，故AD错误；

令，即对称轴为，故B正确；

令，解得，，

当时，函数的单调减区间为，

又，所以在上单调递减，故C正确.

故选：BC.

12. 已知函数，则（    ）

A 当时，函数有且仅有一个零点

B. 当时，函数没有零点

C. 当时，函数有两个不同的零点

D. 当，函数有四个不同的零点

【答案】ABC

【解析】

【分析】函数的零点，即方程的根，这是本题的关键入手点.

【详解】由，

得

选项A：当时，即.

方程有唯一根，方程无根.

则函数有且仅有一个零点. 选项A判断正确；

选项B：当时，即，

方程无根，方程无根.

则函数没有零点. 选项B判断正确；

选项C：当时，即，

方程有二相异根，方程无根.

则函数有两个不同的零点. 选项C判断正确；

选项D：当时，即，

方程有二相异根，

方程需分类：当时有唯一根（此时方程有二相异根、）；当时有二相异根；当时无根.

则函数当时有二个不同零点；当时有四个不同零点；当时有两个不同的零点. 选项D判断错误.

故选：ABC

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

非选择题部分

三、填空题：本题共四小题，每小题5分，共20分．

13. 函数且过定点________．

【答案】

【解析】

【分析】令，求得的值，再代入函数的解析式可求得定点的坐标.

【详解】令，可得，

.

因此，函数的图象过定点.

故答案为：.

14. 已知，则________．

【答案】##

【解析】

【分析】先利用诱导公式对变形，再以二倍角公式进行代换求值即可解决.

【详解】

故答案为：

15. 若正数a，b满足，则的最小值是________．

【答案】3

【解析】

【分析】利用基本不等式可得：，将转化成；进而

，解得，检验等号成立即可．

【详解】因为为正数，所以成立，所以

因为，所以，

由为正数，得，

所以，

当且仅当即等号成立，

即，解得，所以的最小值为3.

故答案为：3

16. 写出同时满足以下三个条件的一个函数＝________．

①；

②；

③且．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】由题可知函数为奇函数，再结合幂函数的性质即得.

【详解】∵，

∴函数为奇函数，又，

∴由幂函数的性质可知，函数可为，函数为奇函数，

，

又当时，且，

，即，

∴.

故答案为：.

【点睛】本题为开放性试题，结合奇函数的概念及幂函数的性质，可得函数可为，然后证明即得.

四、解答题：本题共6小题．共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设，集合．

（1）若，求；

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接求出集合A、B，再求；

（2）先求出B，由对a进行分类讨论，求出a的取值范围．

【小问1详解】

当时，，

所以.

【小问2详解】

集合，所以.

可化为.

因为，

所以且.

①若，则，显然，应舍去；

②若，则，显然，应舍去；

③若，则.

又，所以

因为，所以，解得：.

综上所述：a的取值范围是.

18. 如图，函数的图象最高点M（2，2）与最低点N的距离．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由最高点得，根据长度关系求解周期得，代入特殊点的坐标求解，从而求得函数的解析式；

（2）由（1）代入得，由角的范围求得.再运用余弦两角差可求得答案.

【小问1详解】

根据题意，由，可得，

又，

所以，

∴，解得.

又，，且，∴.

所以；

【小问2详解】

由（1）知，函数，

所以，得，

又，所以，所以，

所以

.

19. 已知函数且．

（1）判断函数的奇偶性，并证明；

（2）当时，函数的值城是[－1，1]．求实数a的值．

【答案】（1）函数为奇函数，证明见解析   

（2）3或

【解析】

【分析】（1）以奇函数定义证明函数为奇函数即可解决；

（2）按底数a分类讨论，依据对数函数的单调性分别去求实数a的值即可解决.

【小问1详解】

函数奇函数，证明如下：

由，解得，则函数定义域为

故函数为奇函数

【小问2详解】

令

由得，，，，即

当时，在上单调递减，值城是[－1，1]

则，解之得

当时，在上单调递增，值城是[－1，1]

则，解之得

综上，实数a的值为3或

20. 已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由题可得，然后利用函数单调性即得；

（2）由题可知，利用条件可得，通过换元构造函数求最值即求.

【小问1详解】

∵，又为增函数，

∴为增函数，又，

∴，

∴，

∴不等式的解集为；

【小问2详解】

∵函数为增函数，

当时，，故，

由存在实数，使得不等式成立，

∴存在实数，使成立，

，，

∴，

令，当时，，故，

设，则函数在上单调递增，，

∴.

故实数m的取值范围为.

21. 如图，自行车前后轮半径均为rcm（忽略轮胎厚度），固定心轴间距为3rcm，后轮气门芯P的起始位置在后轮的最上方，前轮气门芯Q的起始位置在前轮的最右方．当自行车在水平地面上往前作匀速直线运动的过程中，前后轮转动的角速度均为，经过t（单位：s）后P，Q两点间距离为f（t）．

（1）求f（t）的解析式：

（2）求f（t）的最大值和最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）如图建立平面直角坐标系，设经过了时间后，然后由题意表示出两点的坐标，再利用两点间的距离公式表示P，Q两点间距离为f（t）即可，

（2）利用三角函数的性质求解的最值

【小问1详解】

因为自行车在前进的过程中，两个轮子之间的距离保持不变，所以只考虑两个轮子的旋转情况，如图，以为坐标原点，以直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设经过了时间后，

因为当自行车在水平地面上往前作匀速直线运动时，前后轮上的点是顺时针转动，且前后轮旋转的角速度相等，

所以，，

，，

所以

，

所以

【小问2详解】

由（1）可知，

因为当时，，

所以，

所以

22. 已知与均为定义在（－）上函数，其中a，b均为实数．

（1）若g（x）存在最小值，求a的取植范围；

（2）设，若h（x）恰有三个不同的零点，求a的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）将原函数降角升次，通过换元变成二次函数，研究二次函数的对称轴和区间的关系即可完成求解；

（2）根据、的奇偶性确定的奇偶性，然后通过题意条件，进行分类讨论，列式即可求解出a的值.

小问1详解】

，

因为，所以，令，

则在区间上存在最小值，

即对称轴，即，解得，

故a的取植范围为；

【小问2详解】

，

因为，都是偶函数，

所以在上是偶函数，因为恰有3个零点，所以，则有：

或.

①当时，即或时，

因为当，令，

因为，解得或，

所以恰有3个零点，即满足条件；

②当时，即或时，此时，

当时，只有1个零点，且，

所以恰有3个零点等价于恰有2个零点，

所以或，解得或

当时，解得或，

令解得或（舍去），

所以的根为，因为恰有3个零点，所以.

综上：.

【点睛】三角函数的单调区间在研究的时候，先观察式子中的项是否齐次，如果其次，一般情况是通过化简合并成这种形式，然后通过整体法来求解；如果不齐次，那么需要将式子进行变形，先换成同元函数，然后再通过换元，一般情况下都是变成二次函数，需要注意的是，在使用换元的时候一定要标注清楚新元的取值范围.