2021-2022学年浙江省宁波市九校高一（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年浙江省宁波市九校高一（上）期末数学试卷

1. 已知全集，集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知弧长为的扇形圆心角为，则此扇形的面积为

A.  B.  C.  D.

3. 已知a，b，，，则“关于x的不等式有解”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知函数，则其图象可能是

A.
B.
C.
D.

5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100毫升血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车
   ，

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

6. 已知是定义在R上的偶函数，且在为减函数，则

A.  B.
C.  D.

7. 已知，则函数的最大值为

A.  B. 1 C.  D.

8. 已知函数则方程的根的个数是

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

9. 下列命题是真命题的是

A. 若，则
B. 若，且，则
C. 若，则
D. 若，则

10. 下列等式成立的是

A.  B.
C.  D.

11. 已知为定义在R上的奇函数，满足，当时，，则下列说法正确的是

A. ，
B.
C. ，
D. 方程在的各根之和为

12. 对f：，g：，若，使得，，都有，则称在D上相对于满足“利普希兹”条件．下列说法正确的是

A. 若，，则在上相对于满足“利普希兹”条件
B. 若，，在上相对于满足“利普希兹”条件，则k的最小值为
C. 若，，在上相对于满足“利普希兹”条件，则a的最大值为
D. 若，，在非空数集D上相对于满足“利普希兹”条件，则

13. 计算______.
14. 若，是方程的两根，，则______.
15. 已知，若对恒成立，则实数______.
16. 已知正实数a，b满足，则的最小值是______.
17. 从①；③；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
    已知集合_____，集合
    当时，求；
    若，求实数m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知函数
    求的最小正周期及单调递增区间；
    将的图象向左平移个单位，再将此时图象的横坐标变为原来的2倍、纵坐标保持不变，得到的图象，求图象的对称轴方程．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知函数是定义在R上的奇函数．
    求实数a的值；
    若不等式对恒成立，求实数k的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD的池底水平铺设污水净化管道直角三角形FHE三条边，H是直角顶点来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上含线段两端点，已知米，米，记
    试将污水净化管道的总长度即的周长表示为的函数，并求出定义域；
    问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度．

21. 已知函数
    若在单调递减，求实数k的取值范围：
    若方程在上有两个不相等的实根，求k的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知函数
    若，写出的单调递增区间不要求写出推证过程；
    若存在，使得对任意都有，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：，集合，，
，
，
故选：
根据集合的基本运算即可求解．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：因为扇形的弧长，
所以，即，
所以扇形的面积
故选：
根据扇形的弧长公式，面积公式，即可得解．
本题考查扇形的弧长和面积公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：①当，时，不等式恒成立，不等式有解，充分性不成立，
②，当时，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，不等式有解，必要性成立，
关于x的不等式有解是的必要不充分条件，
故选：
根据一元二次不等式解法及充要条件的定义求解即可．
本题考查与一元二次不等式的关系，考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：函数的定义域为，
，即是奇函数，排除B，D，
当时，，排除A，
故选：
判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．
 

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，是基础题．
由题意可知经过t小时后，体内的酒精含量为，令求出t的取值范围，即可求出结果．

【解答】

解：经过t小时后，体内的酒精含量为：，即，
只需，
，
又，
他至少要经过4个小时后才能驾车，
故选：

6.【答案】A
 

【解析】解：因为是定义在R上的偶函数，
所以，
，
因为，，
所以，
又在为减函数，
所以，
即，
故选：
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键．
 

7.【答案】A
 

【解析】解：
，
当时，可得，，又，
当时，值最大，最大值为，
故选：
，结合条件可知当时，值最大．
本题考查函数的最大值问题，属中档题．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：方程的根的个数即函数与函数的图象的交点个数，作出函数与函数的大致图象：

由图象可知，方程的根的个数是
故选：
作出函数与函数的大致图象，由图即得．
本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，作出图象是解答本题的难点，也是关键点，属于中档题．
 

9.【答案】BD
 

【解析】解：对于A：当时，则不成立；
对于B：，
，
，
，
，
故B正确；
对于C：当，时，则不成立；
对于D：，
，
，
，
，
故D正确．
故选：
根据不等式的性质分别判断即可．
本题考查了不等式的性质，属于基础题．
 

10.【答案】AC
 

【解析】解：对于A，，故正确；
对于B，，故错误；
对于C，，故正确；
对于D，，故错误．
故选：
利用三角函数恒等变换的应用化简各个选项即可求解．
本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

11.【答案】ACD
 

【解析】解：由在定义在R上的奇函数，则，
又，所以，
即，所以，
即是以4为周期的周期函数；
由题意，所以，，
又，所以，所以，，
所以，，故选项A正确；
选项当时，，故选项B不正确；
选项
，所以，
当时，，均为增函数，则为增函数，
所以在上为增函数，
又为奇函数，且，
所以在单调递增，
所以，
因为，所以，
所以必存在，使得，故选项C正确；
选项因为为偶函数，根据题意先作出在上的示意图，
然后由对称性作出在上的图象，如图所示，

根据对称性可知方程在的各根之和为，故选项D正确．
故选：
由题意可得是以4为周期的周期函数，再由，可判断选项A；当时，求出可判断选项B；根据题意可得出，从而可判断性选项C；作出的示意图，由图象的对称性，数形结合可判断选项
本题考查了函数的对称性、周期性及奇偶性，考查了数形结合思想，属于中档题．
 

12.【答案】BC
 

【解析】解：对于A，的定义域为，
令，，则，
又，
，
即在上相对于不满足“利普希兹”条件，故A错误；
对于B，由题知，，均有成立，
当时显然成立，
不妨设，则，
又，，
，，
所以，故B正确；
对于C，由题知，，均有成立，
即，
当时显然成立，
当时，则恒成立，
又，，
，
即，所以a的最大值为，故C正确；
对于D，由题可得在非空数集D上恒成立，
当时显然成立，
不妨设，则，
成立，
令，
则函数在非空数集D上单调递增，
，
当时，单调递增，单调递减，又单调递增，
所以在上单调递减，故D错误．
故选：
利用特例可判断A，利用参变分离法求函数最值可判断BC，由题可得为增函数，利用复合函数单调性判断
本题属新概念题，关键点是把问题转化为恒成立问题，通过分离常数法，再求函数值域，属于难题．
 

13.【答案】1
 

【解析】解：，
故答案为：
由幂运算知，，从而解得．
本题考查幂运算及对数值的求法，是基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，是方程的两根，
故，；
由于，
所以
由于
故答案为：
直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的值及诱导公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
由，解得，
由，解得，
对恒成立，
，，解得
故答案为：
由，解得，由，解得，对恒成立，得到，由此能求出结果．
本题考查满足条件的实数值的求法，考查函数恒成立等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：构造函数，则，
在R上是增函数，
，
恒成立，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值是
故答案为：
构造函数，由，得在R上是增函数，由，得到恒成立，由此能求出的最小值．
本题考查代数式的最小值的求法，考查导数性质、基本不等式、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：选①，由，解得，
即，
当时，，
则；
选②，由，解得，
即，
当时，，
则；
选③，由，解得，
即，
当时，，
则；
由，可得
①当，即，即时，满足，
②当时，由，得，
解得，
综上，实数m的取值范围为
 

【解析】选①，先解对数不等式，再由并集的定义求出；
选②，先解指数不等式，再由并集的定义求出；
选③，先解分式不等式，再由并集的定义求出
由，可得，然后分和两种情况，求出m的取值范围．
本题考查了分式不等式的解法，重点考查了集合的运算，属基础题．
 

18.【答案】解：函数
，
故它的最小正周期为
令，，求得，，
可得它的增区间为，
将的图象向左平移个单位，可得的图象，
再将此时图象的横坐标变为原来的2倍、纵坐标保持不变，得到的图象，
令，，可得，，故图象的对称轴方程为，
 

【解析】由题意，利用三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，得出结论．
由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，即，
所以，所以；
由，得，
任取，则
，
即，所以函数在上递减，
若不等式对恒成立，
则不等式对恒成立，
即不等式对恒成立，
即不等式对恒成立，
所以对恒成立，
由
，
当且仅当，即时取等号，
所以k的取值范围为
 

【解析】根据函数为奇函数，可得，然后由关于a的方程，求出a即可；
利用定义法，可得函数在上递减，然后将不等式对恒成立，转化为不等式对恒成立，即对恒成立，再求出的最大值即可得解．
本题考查了函数的奇偶性和不等式恒成立问题，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
 

20.【答案】解：由题意可得，，，
，
，，
，即，
，，
故，
设，
则，
故，
，
，
在 上是单调递减函数，
故当，即或时，L取得最大值米．
 

【解析】解直角三角形求出EH，FH，EF的解析式，再结合得到关于L的解析式，即可求解．
设，则，故，再结合正弦函数的性质，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：若在单调递减，
由复合函数的单调性知，在单调递减，
根据定义域知，
所以，解得，
即实数k的取值范围是
由已知，得，
即，令，则，
设，由，得，
又在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以，
即k的取值范围是
 

【解析】利用复合函数的单调性即二次函数的性质即可求解；
由已知，可得，令，求出的单调性、最值与端点值，结合已知即可求解k的取值范围．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：时，函数，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增；
所以的单调递增区间是和；
由题意可知，即，
而，
当，即时，对任意，为增函数，
对任意都有，故只需，
即，整理得，
要使b存在，需，即，与矛盾，故此时不合题意；
当，即时，，，

，又，，
若时，，所以，
所以，整理得，
要使b存在，需，即，所以，
若，，所以，
所以，整理得，
要使b存在，需，即，
故此时符合题意；
当，即时，对任意，为减函数，
所以，整理得，
要使b存在，需，即，故此时符合题意．
综上，实数a的取值范围是
 

【解析】去绝对值，利用二次函数的图象与性质即可求解单调递增区间；
分类讨论，讨论与区间的位置关系，将存在在，使得对任意都有的问题转化为确定函数的最值问题，
本题主要考查函数单调性的判断，绝对值不等式的解法，考查转化思想与分类讨论思想，属于难题．