2021-2022学年广东省汕头市潮南区高一（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年广东省汕头市潮南区高一（上）期末数学试卷

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 命题“”的否定是

A.  B.
C.  D.

3. 若，则下列不等式中成立的是

A.  B.  C.  D.

4. 已知M，N都是实数，则“”是“”的条件．

A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要

5. 表示不超过x的最大整数，例如，，，若是函数的零点，则

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 函数的图象可能是

A.  B.
C.  D.

7. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

8. 已知定义在R上的函数是奇函数，设，，，则有

A.  B.  C.  D.

9. 下列函数，表示相同函数的是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10. 下列说法错误的是

A. 与终边相同的角是
B. 若一扇形的圆心角为，半径为3cm，则扇形面积为
C. 设是锐角，则角为第一或第二象限角
D. 设是第一象限，则为第一或第三象限角

11. 下列选项中正确的是

A. 若a、b为正实数，则恒成立
B. 若，，则
C. 若正实数x，y满足，则
D. 当时，不等式，则k的取值范围是

12. 如图，已知函数的图象与x轴交于点A，B，若，图象的一个最高点，则下列说法正确的是

A.
B. 的最小正周期为4
C. 一个单调增区间为
D. 图象的一个对称中心为

13. 函数的定义域为______ .
14. 请写出一个最小正周期为，且在上单调递增的函数______.
15. 函数是偶函数，且它的值域为则______.
16. 设函数，若关于x的方程有四个不同的解，，，，，且，则m的取值范围是______，的取值范围是______.
17. 已知集合，集合
    当时，求和
    若，求实数m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知幂函数的图象经过点
    求的解析式；
    设，
    利用定义证明函数在区间上单调递增；
    若在上恒成立，求t的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
19. 求值：；
    求值：；
    已知，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点
    求的值．
    已知，，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲其覆盖面积为，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积单位：与月份单位：月的关系有两个函数模型与可供选择．
    试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
    求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．参考数据：，
    
    
    
    
    
    
     
22. 设函数
    若，求的值；
    求函数在R上的最小值；
    若方程在上有四个不相等的实数根，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：集合，，则
故选：
根据交集的定义直接得出答案．
本题考查了交集的运算，属于基础题．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为
故选：
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
 

3.【答案】A
 

【解析】解：若，则，故A正确；
当，时，满足，但，故B错误；
当，时，满足，但，故C错误；
当，时，满足，但，故D错误；
故选：
根据已知，结合幂函数的单调性可判断A，举出反例可判断B，C，D，进而得到答案．
本题考查的知识点是不等式的基本性质，函数的单调性，是函数与不等式的综合应用，难度中档．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：当，时，，但不能够推出，
故“”是“”的不充分条件，
当时，由对数函数的性质，能够推出，
故“”是“”的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件，
故选：
利用充要条件的定义即可求得答案．
本题主要考查了充要条件的判断，属于基础题．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：根据题意，函数为增函数，
且，，则有，
函数的零点在上，即，
故；
故选：
根据题意，利用二分法分析可得，进而分析可得答案．
本题考查函数零点判定定理，注意的定义，属于基础题．
 

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于基础题．
直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果．

【解答】

解：根据函数的解析式，，
得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和
当时，函数的值为0，故排除
故选

7.【答案】A
 

【解析】解：要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点向左平移个单位即可；
故选：
直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的平移变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：定义在R上的函数是奇函数，
可得，即，解得，
由在R上为单调递减函数，
由，，，
，由，可得，即有，可得，
又，由，可得，即有，可得
则，即
故选：
由奇函数的性质求得m的值，可得的单调性，由对数函数的单调性可得所求大小关系．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

9.【答案】BD
 

【解析】解：的定义域为R，的定义域为，两个函数的定义域不相同，对应法则也不相同，不是相同函数，
B.，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是相同函数，
C.的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是相同函数，
D.，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是相同函数，
故选：
分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．
本题主要考查相同函数的判断，判断两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，是基础题．
 

10.【答案】ABC
 

【解析】对于A，，故与终边也相同，故A错误；
对于B，扇形面积为，故B错误；
对于C，如果，则，此时为轴线角，故C错误；
对于D，因为是第一象限，故，
故，故为第一或第三象限角，故D正确．
故选：
由终边相同的角的关系可判断A，利用角的范围或特例可判断CD的正误，利用公式计算扇形的面积后可判断
本题考查了与三角函数有关的命题真假的判断，属于基础题．
 

11.【答案】AC
 

【解析】解：对于A，、b为正实数，，当且仅当，即时，等号成立，故A正确，
对于B，令，，，，满足，，但，故B错误，
对于C，正实数x，y满足，
，当且仅当，即时，等号成立，
故C正确，
对于D，当时，不等式恒成立，故，满足题意，故D错误．
故选：
对于A，结合基本不等式的公式，即可求解，对于B，结合特殊值法，即可求解，对于C，结合基本不等式的公式，即可求解，对于D，结合特殊值法，即可求解．
本题主要考查命题真假判断与应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
 

12.【答案】BCD
 

【解析】解：因为图象的一个最高点，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，，所以，
所以的最小正周期为4，故B正确；
由周期公式，可得，
将点代入中，
可得，即，
结合，可得，故A错误；
因为，所以，则为的一个单调增区间，故C正确；
将代入中，可得，
所以的一个对称中心为，故D正确；
故选：
由题意可求得A，T，由周期公式可得的值，再将点D的坐标代入解析式中，即可求得，结合三角函数的性质即可求解．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：函数，
，
解得；
函数的定义域为
故答案为：
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出的定义域．
本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出定义域，是基础题．
 

14.【答案】答案不唯一
 

【解析】解：根据题意，要求函数的最小正周期为，且在上单调递增，
正切函数符合，故要求函数可以为，
故答案为：答案不唯一
根据题意，结合正切函数的性质分析可得答案．
本题考查函数的周期性和单调性的性质，注意常见函数的周期性、单调性，属于基础题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：函数，
因为是偶函数，可得，
即有或，
又的值域为可得，
当时，，的值域不为；
当时，，
由的值域为可得，即，
所以
故答案为：
由偶函数的图像关于y轴对称，以及二次函数的最值求法，可得a，b的值，进而得到所求和．
本题考查函数的奇偶性和值域的求法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：作出函数的图象，由图象可知，
，由可得，
当时，，解得
所以，，
函数在上单调递增，

故答案为：
作出函数的图象，由图象可知，，，，由函数的单调性即可求解．
本题主要考查方程的根与两函数的图象交点坐标之间的关系应用，以及函数单调性的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：，时，，
，或；
，
①时，，解得；
②时，，解得，
的取值范围为
 

【解析】可求出，时，求出集合B，然后进行并集和补集的运算即可；
根据可讨论B是否为空集：时，；时，，然后解出m的范围即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，并集和补集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：幂函数的图象经过点，
，解得，
的解析式；
设，
证明：在上任取，
，
，，，
，
函数在区间上单调递增；
在上恒成立，
在上，，
由得在上单调递增，
在上的最小值为，
，解得，
的取值范围是
 

【解析】由幂函数的图象经过点，得，由此能求出的解析式；
设，
在上任取，推导出，由此能证明函数在区间上单调递增；
在上恒成立等价于在上，，求出在上的最小值为，由此能求出t的取值范围．
本题考查函数解析式的求法，考查函数单调性质的证明及应用，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】解：原式；
原式；
，
，
，
，

 

【解析】进行根式和指数式的运算即可；
进行对数的运算即可；
根据条件可求出的值，进而求出的值，从而可求的值，从而可求出的值．
本题考查了指数式、根式和对数式的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：根据单位圆的性质可得，，

；
由可得，，
又因为，，则，
所以
 

【解析】根据单位圆的性质可得，，根据诱导公式化简即可求解；利用正余弦的倍角公式求出，的值，然后由已知求出
的值，再根据余弦的和角公式化简即可求解．
本题考查了三角函数的定义以及两角和与差的三角函数的公式的应用，涉及到正余弦的倍角公式，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

21.【答案】解：函数与在上都是增函数，
随着x的增加，函数的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型符合要求．
根据题意可知时，；时，，
，解得
故该函数模型的解析式为，，；
当时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是，
由，得，
，
，
，
即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．
 

【解析】本题考查函数模型的选择及应用，考查指数不等式的解法，考查运算求解能力，是中档题．
由题意结合给出的两个函数模型增加的快慢程度，可知选择模型符合要求，进一步列关于a与k的方程组，求得a与k的值，则函数解析式可求；
取求得元旦放入凤眼莲的覆盖面积，再由题意列指数不等式求解即可．
 

22.【答案】解：，
，，

令，，
则，对称轴为，
①当时，即，，
②当时，即，，
③当时，即，，
综上，
令，，
由题意，当时，有两个不等实数解，
原题可转化为在内有两个不等实数根，
，，
的取值范围为
 

【解析】由，求出a的值即可．
将换元，将式子简化，利用分类讨论求解即可．
先换元转化为在内有两个不等实数根，再列出不等式组求解即可．
本题考查换元法的应用，二次函数求最值问题，分类讨论思想与数形结合思想的应用，属于中档题．