数学七年级下册第九章 三角形综合与测试练习

冀教版七年级数学下册第九章 三角形定向练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，已知为的外角，，，那么的度数是（       ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

2、三角形的外角和是（　　）

A．60° B．90° C．180° D．360°

3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（       ）

A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线

C．∠1＝∠2＝∠3 D．S△AEB＝S△EDB

4、如图，点D、E分别在∠ABC的边BA、BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG=42°，则∠DEB的度数为（        ）

A．42° B．48° C．52° D．58°

5、如果一个三角形的两边长都是6cm，则第三边的长不能是（       ）

A．3cm B．6cm C．9cm D．13cm

6、将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=45°，那么∠BAF的大小为（　　）

A．15° B．10° C．20° D．25°

7、如图，在ABC中，点D、E分别是AC，AB的中点，且，则（       ）

A．12 B．6 C．3 D．2

8、下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）

A． B．

C． D．

9、如图， AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是(　　)

A．6 B．5 C．4 D．3

10、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，直线a∥b，若BC在直线b上，则∠1的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，，，BE平分交AD于点E，连接CE，AF交CD的延长线于点F，，若，，则的度数为______．

2、如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，给出下列结论：①是的余角；②图中互余的角共有3对；③的补角只有；④与互补的角共有3个，其中正确结论有______（把你认为正确的结论的序号都填上）．

3、已知中，，高和所在直线交于，则的度数是________．

4、如图，在△中，已知点分别为的中点，若△的面积为，则阴影部分的面积为 _________

5、若等腰三角形两底角平分线相交所形成的钝角是128°，则这个等腰三角形的顶角的度数是_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在中，是角平分线，，．

(1)求的度数；

(2)若，求的度数．

2、如图，中，是角平分线，且，，求的度数．

3、（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；

（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．

（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．

4、如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点G，，，求的大小．

5、如图，点C，B分别在直线MN，PQ上，点A在直线MN，PQ之间，MN∥PQ．

（1）如图1，求证：∠A＝∠MCA+∠PBA；

（2）如图2，过点C作CD∥AB，点E在PQ上，∠ECM＝∠ACD，求证：∠A＝∠ECN；

（3）在（2）的条件下，如图3，过点B作PQ的垂线交CE于点F，∠ABF的平分线交AC于点G，若∠DCE＝∠ACE，∠CFB＝∠CGB，求∠A的度数．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

根据三角形的外角性质解答即可．

【详解】

解：∵∠ACD＝60°，∠B＝20°，

∴∠A＝∠ACD−∠B＝60°−20°＝40°，

故选：B．

【点睛】

此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质解答．

2、D

【解析】

【分析】

根据三角形的内角和定理、邻补角的性质即可得．

【详解】

解：如图，，

，

又，

，

即三角形的外角和是，

故选：D．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．

3、C

【解析】

【分析】

根据三角形中线、角平分线的定义逐项判断即可求解．

【详解】

解：A、∵AE＝DE，

∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意；

B、∵BD平分∠EBC，

∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意；

C、∵BD平分∠EBC，

∴∠2＝∠3，

但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；

D、∵S△AEB＝×AE×BC，S△EDB＝×DE×BC，AE＝DE，

∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了三角形中线、角平分线的定义，熟练掌握三角形中，连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线是解题的关键．

4、B

【解析】

【分析】

根据两直线平行，同位角相等可得，再由垂直的性质及三角形内角和定理即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查平行线及垂线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练运用平行线的性质是解题关键．

5、D

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，这样就可求出第三边长的范围，进而选出答案

【详解】

解：设它的第三条边的长度为xcm，

依题意有 ，

即，

故只有D符合题意，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．

6、A

【解析】

【分析】

利用DE∥AF，得∠CDE=∠CFA=45°，结合∠CFA=∠B+∠BAF计算即可．

【详解】

∵DE∥AF，

∴∠CDE=∠CFA=45°，

∵∠CFA=∠B+∠BAF，∠B=30°，

∴∠BAF=15°，

故选A．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角板的意义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

7、C

【解析】

【分析】

由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△ABD＝S△ABC＝6，然后利用S△BDE＝S△ABD求解．

【详解】

解：∵点D为AC的中点，

∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6，

∵点E为AB的中点，

∴S△BDE＝S△ABD＝×6＝3．

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键． 三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分．

8、D

【解析】

【分析】

根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断．

【详解】

解：线段是的高的图是选项．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了三角形的高，解题的关键是掌握三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．

9、D

【解析】

【分析】

过D作DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DF=DE=2，根据S△ADB+S△ADC=7和三角形面积公式求出即可．

【详解】

解：过D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，

∴DE=DF=2，

∵S△ABC=7，

∴S△ADB+S△ADC=7，

∴×AB×DE+×AC×DF=7，

∴×4×2+×AC×2=7，

解得：AC=3．

故选D .

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

10、C

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理确定，然后利用平行线的性质求解即可．

【详解】

解：∵，，

∴，

∵，

∴，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查平行线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．

二、填空题

1、80°##80度

【解析】

【分析】

先根据，，得出，可证AD∥BC，再证∠BAD=∠BCD，得出∠AEB=∠F，然后证∠ABC=2∠CBE=2∠F，得出∠ADC=2∠F，利用三角形内角和得出∠CED=180°-∠EDC-∠ECD=180°-2∠F-3∠F=180°-5∠F，根据平角得出∠AEB+∠CED=180°-∠BEC=180°-80°=100°，列方程∠F+180°-5∠F=100°求出∠F=20°即可．

【详解】

解：∵，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∵

∴，

∴AD∥BC，

∵，

∴∠BAD+∠ADC=180°，∠BAF+∠F=180°，

∵∠ADC+∠BCD=180°，

∴∠BAD=∠BCD，

∵，

∴，

∵∠BAF=∠BAD+∠DAF，

∴∠BAF+∠AEB=180°，

∴∠AEB=∠F，

∵AD∥BC，

∴∠CBE=∠AEB，

∵BE平分，

∴∠ABC=2∠CBE=2∠F，

∴∠ADC=2∠F，

∵，

在△CED中，∠CED=180°-∠EDC-∠ECD=180°-2∠F-3∠F=180°-5∠F，

∵，

∴∠AEB+∠CED=180°-∠BEC=180°-80°=100°，

∴∠F+180°-5∠F=100°，

解得∠F=20°，

∴，

故答案为80°．

【点睛】

本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和，角平分线定义，平角，解一元一次方程，掌握平行线的判定与性质，三角形内角和，角平分线定义，平角，解一元一次方程，关键是证出∠ADC=2∠F．

2、①④##④①

【解析】

【分析】

根据垂直定义可得∠BAC=90°，∠ADC=∠ADB=∠CAE=90°，结合三角形的内角和，然后再根据余角定义和补角定义逐一进行分析即可．

【详解】

解： ，

是的余角；故①符合题意；

，

互为余角，互为余角，

，

互为余角，

所以图中互余的角共有4对，故②不符合题意；

与互补；

∵∠1+∠DAC=90°，∠BAD+∠DAC=90°，

∴∠1=∠BAD，

∵∠BAD+∠DAE=180°，

∴∠1+∠DAE=180°，

∴∠1与∠DAE互补， 故③不符合题意；

，

所以与互补的角有 共3个，故④符合题意；

所以正确的结论有：①④

故答案为：①④

【点睛】

本题考查的是垂直的定义，互余，互补的含义，三角形的内角和定理，掌握“互为余角的两个角之和为 互为补角是两个角之和为”是解本题的关键.

3、45°或135°

【解析】

【分析】

分两种情况讨论：①如图1，为锐角三角形，由题意知， ，，，，代值计算求解即可；②如图2，为钝角三角形，由题意知，在中，，，，代值计算求解即可．

【详解】

解：由题意知

①如图1所示，为锐角三角形

∵，

∴，

∵

∴

∵

∴；

②如图2所示，为钝角三角形

∵，

∴

在中，，

∴；

综上所述，的值为或

故答案为：或．

【点睛】

本题考查了三角形的高，三角形的内角和定理．解题的关键在于正确求解角度．

4、1

【解析】

【分析】

根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．

【详解】

解：∵点E是AD的中点，

∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，

∴S△ABE＋S△ACE＝S△ABC＝×4＝2cm2，

∴S△BCE＝S△ABC＝×4＝2cm2，

∵点F是CE的中点，

∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1cm2．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．

5、##76度

【解析】

【分析】

先根据角平分线的定义、三角形的内角和定理求出等腰三角形两底角的度数和，再根据三角形内角和求出顶角的度数即可．

【详解】

解：

∵∠BOC＝128°，

∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣128°＝52°，

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝104°，

∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣104°＝76°．

故答案为：76°．

【点睛】

本题主要考查角平分线的定义和三角形内角和定理，牢记角平分线分得的两个角相等，三角形内角和是是解决本题的关键．

三、解答题

1、 (1)；

(2)．

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和定理可求出，然后利用角平分线进行计算即可得；

（2）根据垂直得出，然后根据三角形内角和定理即可得．

(1)

解：∵，，

∴，

∵AD是角平分线，

∴，

∴；

(2)

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

题目主要考查三角形内角和定理，角平分线的计算等，熟练运用三角形内角和定理是解题关键．

2、25°

【解析】

【分析】

根据三角形内角和求出∠CAB，再根据角平分线的性质求出∠BAE即可．

【详解】

解：∵∠B＝52°，∠C＝78°，

∴∠BAC＝180°-52°-78°=50°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠BAC＝×50°＝25°．

【点睛】

本题考查了角的平分线的性质、三角形的内角和定理，熟记三角形内角和为180°是解本题的关键．

3、（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．

【解析】

【分析】

（1）过E作EMAB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；

（2）过E作EMAB，过F作FNAB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；

（3）过P作PLAB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．

【详解】

解：（1）过E作EMAB，

∵ABCD，

∴CDEMAB，

∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，

∵CF平分∠DCE，

∴∠DCE＝2∠DCF，

∵∠DCF＝30°，

∴∠DCE＝60°，

∴∠CEM＝60°，

又∵∠CEB＝20°，

∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，

∴∠ABE＝40°；

（2）过E作EMAB，过F作FNAB，

∵∠EBF＝2∠ABF，

∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，

∵CF平分∠DCE，

∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，

∵ABCD，

∴EMABCD，

∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，

∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，

同理∠CFB＝y﹣x，

∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，

∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，  

∴x＝10°，

∴∠ABE＝3x＝30°；

（3）过P作PLAB，

∵GM平分∠DGP，

∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，

∵PQ平分∠BPG，

∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，

∵PQGN，

∴∠PGN＝∠GPQ＝x，

∵ABCD，

∴PLABCD，  

∴∠GPL＝∠DGP＝2y，

∠BPL＝∠ABP＝30°，

∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，

∴30°＝2y﹣2x，

∴y﹣x＝15°，

∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，

∴∠MGN＝15°．

【点睛】

此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．

4、．

【解析】

【分析】

先由直角三角形两锐角互余得到∠B=40°，在三角形△ABC 中，由内角和定理求得∠BAE=30°，由角平分线定义得出 ∠BAC=60°，即可求得∠ACD .

【详解】

解：为的高，

．

．

在中，．

为的角平分线，

．

．

【点睛】

此题考查三角形内角和定理、角平分线定义和直角三角形两锐角互余等，掌握定义和定理是解答此题的关键.

5、（1）见解析；（2）见解析；（3）72°．

【解析】

【分析】

（1）过点A作平行线，证出三条直线互相平行，由平行得出与∠ACM和∠ABP相等的角即可得出结论；

（2）由CD∥AB，可得同旁内角互补，再结合∠ECM与∠ECN的邻补角关系，可得结论；

（3）延长CA交PQ于点H，先证明∠MCA=∠ACE=∠ECD，∠ABP=∠NCD，再设∠MCA=∠ACE=∠ECD=x，由（1）可知∠CFB=∠FCN+∠FBQ，从而∠CFB=270-2x，列出方程解得x值，则不难求得答案．

【详解】

解：（1）证明：过点A作AD∥MN，

∵MN∥PQ，AD∥MN，

∴AD∥MN∥PQ，

∴∠MCA=∠DAC，∠PBA=∠DAB，

∴∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+∠PBA，

即：∠A=∠MCA+∠PBA；

（2）∵CD∥AB，

∴∠A+∠ACD=180°，

∵∠ECM+∠ECN=180°，

又∠ECM=∠ACD，

∴∠A=∠ECN；

（3）如图，延长CA交PQ于点H，

∵∠ECM=∠ACD，∠DCE=∠ACE，

∴∠MCA=∠ACE=∠ECD，

∵MN∥PQ，

∴∠MCA=∠AHB，

∵∠CAB=∠AHB+∠PBA，且由（2）知∠CAB=∠ECN，

∴∠ABP=∠NCD，

设∠MCA=∠ACE=∠ECD=x，

由（1）可知∠CFB=∠FCN+∠FBQ，

∴∠CFB=270-2x，

由（1）可知∠CGB=∠MCG+∠GBP，

∴∠CGB=135°−x，

∴270°−2x= (135°−x) ，

解得：x=54°，

∴∠AHB=54°，

∴∠ABP=∠NCD=180°-54°×3=18°，

∴∠CAB=54°+18°=72°．

【点睛】

本题考查了平行线的性质及一元一次方程在计算问题中的应用，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．