初中数学冀教版七年级下册第九章 三角形综合与测试课时训练

冀教版七年级数学下册第九章 三角形定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，钝角中，为钝角，为边上的高，为的平分线，则与、之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（       ）

A． B．

C． D．

2、如图，已知△ABC中，BD、CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠BAC＝n°（0＜n＜180），那么∠BOE的度数是（　　）

A．90°n° B．90°n° C．45°+n° D．180°﹣n°

3、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外面时，此时测得∠1=112°，∠A=40°，则∠2的度数为（       ）

A．32° B．33° C．34° D．38°

4、以下各组线段长为边，能组成三角形的是（       ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

5、下列各组线段中，能构成三角形的是（       ）

A．2、4、7 B．4、5、9 C．5、8、10 D．1、3、6

6、如图，于点，于点，于点，下列关于高的说法错误的是（       ）

A．在中，是边上的高 B．在中，是边上的高

C．在中，是边上的高 D．在中，是边上的高

7、如果一个三角形的两边长都是6cm，则第三边的长不能是（       ）

A．3cm B．6cm C．9cm D．13cm

8、如图，在中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，，CD的长为5，则的面积为（       ）

A．8 B．10 C．20 D．40

9、如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

10、若三角形的两边a、b的长分别为3和4，则其第三边c的取值范围是（     ）

A．3＜c＜4 B．2≤c≤6 C．1＜c＜7 D．1≤c≤7

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知三角形的三边分别为n，5，7，则n的范围是 _____．

2、在中，，则的取值范围是_______．

3、如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为________cm2（结果保留一位小数）．

4、边长为1的小正方形组成如图所示的6×6网格，点A，B，C，D，E，F，G，H都在格点上．其中到四边形ABCD四个顶点距离之和最小的点是_________．

5、如图，在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点B落在点E处，如果，那么等于______度．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在△ABC中，D为BC延长线上一点，DE⊥AB于E，交AC于F，若∠A＝40°，∠D＝45°，求∠ACB的度数．

2、完成下面的证明已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE//BA，DF//CA．

求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．

证明：∵DE//BA，

∴∠3＝　　（ 　     　），

∠2＝　　（ 　     　）．

∵DF//CA，

∴∠1＝　　（ 　     　），

∠BFD＝　　（ 　     　）．

∴∠2＝　　（ 　     　）．

∵∠1＋∠2＋∠3＝180°（平角的定义），

∴∠A＋∠B＋∠C＝180°（等量代换）．

3、如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，若∠BAC＝50°，∠ABC＝60°．求∠DAC和∠BOA的度数．

4、已知，△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，M是AE上一点，MN⊥BC于N．

(1)如图①，当点M与A重合时，若∠B＝40°，∠C＝80°，求∠EMN的度数；

(2)如图②，当点M在线段AE上（不与A，E重合），用等式表示∠EMN与∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)如图③，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A做MC的垂线，交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D．

①依题意补全图形；

②若∠B＝α°，∠ACB＝β°，∠D＝γ°，则∠AMC＝          °．

（用含α，β，γ的式子表示）

5、如图，AD是∠BAC的平分线，CE是△ADC边AD上的高，若∠BAC＝80°，∠ECD＝25°，求∠ACB的度数．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论．

【详解】

解：由三角形内角和知∠BAC=180°-∠2-∠1，

∵AE为∠BAC的平分线，

∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠2-∠1）．

∵AD为BC边上的高，

∴∠ADC=90°=∠DAB+∠ABD．

又∵∠ABD=180°-∠2，

∴∠DAB=90°-（180°-∠2）=∠2-90°，

∴∠EAD=∠DAB+∠BAE=∠2-90°+（180°-∠2-∠1）=（∠2-∠1）．

故选：B

【点睛】

本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形外角性质及三角形的高的定义，解答的关键是找到已知角和所求角之间的联系．

2、A

【解析】

【分析】

根据BD、CE分别是△ABC的角平分线和三角形的外角，得到，再利用三角形的内角和，得到，代入数据即可求解．

【详解】

解：∵BD、CE分别是△ABC的角平分线，

∴，，

∴

，

∵，

∴．

故答案选：A．

【点睛】

本题考查三角形的内角和定理和外角的性质．涉及角平分线的性质．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．

3、A

【解析】

【分析】

由折叠的性质可知，再由三角形外角的性质即可求出的大小，再次利用三角形外角的性质即可求出的大小．

【详解】

如图，设线段和线段交于点F．

由折叠的性质可知．

∵，即，

∴．

∵，即，

∴．

故选A．

【点睛】

本题考查折叠的性质，三角形外角的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．

4、B

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．

【详解】

解：根据三角形的三边关系，知

A、1+2＜4，不能组成三角形，故不符合题意；

B、4+6＞8，能组成三角形，故符合题意；

C、5+6＜12，不能够组成三角形，故不符合题意；

D、3+3=6，不能组成三角形，故不符合题意．

故选：B．

【点睛】

此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．

5、C

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．

【详解】

解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．

A、，不能构成三角形，此项不符题意；

B、，不能构成三角形，此项不符题意；

C、，能构成三角形，此项符合题意；

D、，不能构成三角形，此项不符题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．

6、C

【解析】

【详解】

解：A、在中，是边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；

B、在中，是边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；

C、在中，不是边上的高，该说法错误，故本选项符合题意；

D、在中，是边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高是解题的关键．

7、D

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，这样就可求出第三边长的范围，进而选出答案

【详解】

解：设它的第三条边的长度为xcm，

依题意有 ，

即，

故只有D符合题意，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．

8、C

【解析】

【分析】

根据三角形中线的性质得出CB的长为10，再用三角形面积公式计算即可．

【详解】

解：∵AD是边BC上的中线，CD的长为5，

∴CB=2CD=10，

的面积为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形中线的性质和面积公式，解题关键是明确中线的性质求出底边长．

9、B

【解析】

【分析】

根据三角形的中线的定义判断即可．

【详解】

解：∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线，

∴AE=EC=AC，AB=2BF=2AF，BC=2BD=2DC，

故A、C、D都不一定正确；B正确．

故选：B．

【点睛】

本题考查了三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．

10、C

【解析】

【分析】

根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求解．

【详解】

解：∵三角形的两边a、b的长分别为3和4，

∴其第三边c的取值范围是 ，

即 ．

故选：C

【点睛】

本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．

二、填空题

1、2＜n＜12

【解析】

【分析】

根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围．

【详解】

解：由三角形三边关系定理得：7﹣5＜n＜7+5，即2＜n＜12

故n的范围是2＜n＜12．

故答案为：2＜n＜12．

【点睛】

本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．

2、

【解析】

【分析】

由构成三角形的条件计算即可．

【详解】

∵中

∴

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了由构成三角形的条件判断第三条边的取值范围，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

3、3.9

【解析】

【分析】

过点A作AD⊥BC的延长线于点D，测量出BC，AD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．

【详解】

解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．

经过测量，BC=2.2cm，AD=3.5cm，

∴S△ABC=AB•CD=×2.2×3.5=3.85≈3.9（cm2）．

故答案为：3.9．

【点睛】

本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．

4、E

【解析】

【分析】

到四边形ABCD四个顶点距离之和最小的点是对角线的交点，连接对角线，直接判断即可．

【详解】

如图所示，连接BD、AC、GA、GB、GC、GD，

∵，，

∴到四边形ABCD四个顶点距离之和最小是，该点为对角线的交点，

根据图形可知，对角线交点为E，

故答案为：E．

【点睛】

本题考查了三角形三边关系，解题关键是通过连接辅助线，运用三角形三边关系判断点的位置．

5、

【解析】

【分析】

先根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°求出∠B=∠ACB=70°，由折叠可得∠BDC=∠EDC，由DE∥AC可得∠EDC=∠BCD，在等腰三角形BDC中求出∠BCD的度数，根据角度关系可求∠ACD的度数．

【详解】

解：如图，

，

由折叠可知，

//，

，

，

，

．

故答案为：

【点睛】

本题考查了折叠问题，涉及到平行线的性质和等腰三角形的性质，熟练运用折叠的性质是解决本题的关键．

三、解答题

1、95°

【解析】

【分析】

根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．

【详解】

解：∵DF⊥AB，∠A＝40°

∴∠AEF＝∠CED＝50°，

∴∠ACB＝∠D+∠CED＝45°+50°＝95°．

【点睛】

本题考查了三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．

2、∠B，两直线平行，同位角相等；∠BFD，两直线平行，内错角相等；∠C，两直线平行，同位角相等；∠A，两直线平行，同位角相等；∠A，等量代换

【解析】

【分析】

先根据平行线的性质得出∠A=∠2，∠1=∠C，∠3=∠B，再由平角的定义即可得出结论．

【详解】

证明：∵DE//B

∴∠3＝∠B（两直线平行，同位角相等），

∠2＝∠BFD（两直线平行，内错角相等），

∵DF//CA，

∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等），

∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），

∴∠2＝∠A（等量代换）．

∵∠1+∠2+∠3＝180°（平角的定义），

∴∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换）．

故答案为：∠B，两直线平行，同位角相等；∠BFD，两直线平行，内错角相等；∠C，两直线平行，同位角相等；∠A，两直线平行，同位角相等；∠A，等量代换．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．

3、∠DAC=20°，∠BOA=125°

【解析】

【分析】

先求出∠C=70°，因为AD是高，所以∠ADC＝90°，又因为∠C＝70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO＝30°，故∠BOA的度数可求．

【详解】

解：∵∠BAC＝50°，∠ABC＝60°

∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC＝70°

∵AD⊥BC

∴∠ADC＝90°

∵∠C＝70°

∴∠DAC＝180°−90°−70°＝20°；

∵∠BAC＝50°，∠C＝70°

∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°

∵BF是∠ABC的角平分线

∴∠ABO＝30°

∴∠BOA＝180°−∠BAO−∠ABO＝180°−25°−30°＝125°．

【点睛】

本题考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．

4、（1）；（2），见解析；（3）①见解析；②

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和求出∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．根据AE平分∠BAC，∠CAE＝∠BAC＝30°，利用三角形内角和∠C＝80°，∠MNC＝90°，得出∠CMN＝10°即可；

(2)∠EMN＝(∠C－∠B)；证法1:如图，作AD⊥BC于D．根据AE平分∠BAC，可得∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)．根据，Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，得出∠EAD＝∠EAC－∠DAC=(∠C－∠B)．根据AD⊥BC，MN⊥BC，可得AD//MN，得出∠EMN＝∠EAD＝(∠C－∠B)．证法2:根据 AE平分∠BAC，得出∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)，根据三角形内角和得出∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝90°－(∠C－∠B)即可；

(3)①依题意补全图形，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A作AD⊥MC交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D，如图；                                  

②∠AMC＝．过A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，可得MN∥AG，得出∠NME=∠GAE=（∠ACB-∠B），根据MC⊥AD，得出∠CFD=∠CNM=90°，可证∠NMC=∠D，

根据两角差∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-∠ACB+∠B即可

【详解】

解:(1)∵∠B＝40°，∠C＝80°，

∴∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．

又∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE＝∠BAC＝30°，

∵∠C＝80°，∠MNC＝90°，

∴∠CMN＝10°，

∴∠EMN＝∠CAE－∠CMN＝30°－10°＝20°；

(2)∠EMN＝(∠C－∠B)．                                     …

证法1:如图，作AD⊥BC于D．

∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)．

∵，

∴Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，

∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC

＝(180°－∠B－∠C)－(90°－∠C)＝(∠C－∠B)．

∵AD⊥BC，MN⊥BC，

∴AD//MN，

∴∠EMN＝∠EAD＝(∠C－∠B)．           

证法2:∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)，

∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝90°－(∠C－∠B)，

∴∠EMN＝90°－∠AEC＝(∠C－∠B)．

(3)①依题意补全图形，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A作AD⊥MC交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D．如图；                                  

②∠AMC＝．

过A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，

∴MN∥AG，

∴∠NME=∠GAE=（∠ACB-∠B），

∵MC⊥AD，

∴∠CFD=∠CNM=90°，

∵∠FCD=∠NCM，

∴∠NMC=180°-∠CNM-∠NCM=180°-∠CFD-∠FCD=∠D，

∴∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-∠ACB+∠B，

∵∠B＝α°，∠ACB＝β°，∠D＝γ°，

∴∠AMC=γ°-β°+α°．

【点睛】

本题考查三角形内角和，角平分线定义，平行线性质，角的和差，补全图形，垂线定义，掌握三角形内角和，角平分线定义，平行线性质，角的和差，作图语句，垂线定义是解题关键．

5、75°

【解析】

【分析】

根据角平分线的定义求出∠DAC的度数，所以EDCA可求，进而求出∠ACB的度数．

【详解】

解：∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝80°，

∴∠DAC＝40°，

∵CE是△ADC边AD上的高，

∴∠ACE＝90°﹣40°＝50°，

∵∠ECD＝25°

∴∠ACB＝50°+25°＝75°．

【点睛】

本题主要考查了三角形的内角和定理．解题的关键是掌握三角形的内角和定理以及角平分线的性质．