人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试当堂达标检测题

这是一份人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试当堂达标检测题，共81页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第18章：平行四边形练习题

一、单选题
1．（2021·云南文山·）如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若，，则的周长为（　　）

A．12 B．15 C．18 D．21
2．（2021·云南呈贡·）如图：在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝10，BF＝3，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F．连接DF，求DF的长（　　）

A．10 B．9 C．8 D．7
3．（2021·云南曲靖·）如图，在中，连接，若，，则的长是（       ）


A．3 B．6 C．9 D．18
4．（2021·云南官渡·）在平行四边形中，，则的度数为（       ）
A． B． C． D．
5．（2021·云南·祥云县教育体育局教研室）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ）

A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB∥DC，AD=BC
6．（2021·云南昭通·）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD．AD＝BC
C．AD∥BC，∠ABC＝∠ADC D．AB＝CD，∠ABC＝∠ADC
7．（2021·云南文山·）下列说法错误的是（   ）
A． x2+kx+9是完全平方式，则k=±6
B．分别以5cm，12cm，13cm为边长的三角形是直角三角形
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
8．（2021·云南红塔·）四边形BCDE中，对角线BD、CE相交于点F，下列条件不能判定四边形BCDE是平行四边形的是（　　）
A．BC∥ED，BE＝CD B．BF＝DF，CF＝EF
C．BC∥ED，BE∥CD D．BC＝ED．BE＝CD
9．（2021·云南昭通·）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（ ）

A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
10．（2021·云南峨山·）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（        ）

A．AB＝CD B．AD∥BC C．AB＝BC D．AC＝BD
11．（2021·云南红河·）下列命题错误的是（       ）
①对角线互相垂直且平分的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④有三个角是直角的四边形是矩形．
A．① B．② C．③ D．④
12．（2021·云南德宏·）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于（       ）

A． B． C． D．
13．（2021·云南昆明·）如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使点与点重合，则的长是（       ）

A．5 B． C． D．
14．（2021·云南西山·）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是(     )

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
15．（2021·云南普洱·）如图，在平行四边形上，尺规作图：以点为圆心，的长为半径画弧交于点，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧交于点，作射线交于点，连接．若，，则线段的长为（       ）

A．18 B．17 C．16 D．14
16．（2021·云南西双版纳·）能够判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相垂直平分 B．对角线互相平分且相等
C．对角线相等且互相垂直 D．对角线互相垂直
17．（2021·云南德宏·）如图，在菱形中，点在x轴上，点的坐标为（4，4），点的坐标为（0，2），则点的坐标是（       ）

A．（8，2） B．（2，8） C．（4，2） D．（2，4）
18．（2021·云南峨山·）如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB，ED，延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为(       )

A．65° B．70° C．60° D．80°
19．（2021·云南盘龙·）如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（       ）

A．添加“”，则四边形是菱形
B．添加“”，则四边形是矩形
C．添加“”，则四边形是菱形
D．添加“”，则四边形是正方形
20．（2021·云南·祥云县教育体育局教研室）在周长为的正方形中，点是边的中点，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（            ）

A． B． C． D．
21．（2021·云南峨山·）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（       ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
22．（2021·云南保山·）如图，正方形ABCD的边长为12，点P是对角线BD上的一个动点，点E在AB上且AE＝7，则△PAE周长的最小值为（　　）

A．18 B．19 C．20 D．7+12
二、填空题
23．（2021·云南·昆明市第三中学）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC．则BD＝_____．

24．（2021·云南文山·）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC+BD=24，△COD的周长为20，则AB的长为_________．

25．（2021·云南官渡·）如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当长为半径画弧，分别交BC，CD于M，N两点；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BCD的内部交于点P；⑨连接CP并延长交AD于E．若AE＝2，CE＝6，∠B＝60°，则ABCD的周长等于_____．

26．（2021·云南昆明·）如图，在平行四边形中，，平分交于点，交于点，则∠1＝______度．

27．（2021·云南呈贡·）如图，平行四边形的周长为20，对角线、相交于点．点是的中点．，则的周长为______．

28．（2021·云南保山·）如图，在四边形ABCD中，，，点E为CD上一点且DE＝3EC，点F，G分别是AE，BE的中点，若FG＝4cm，则DE的长度为 ______．

29．（2021·云南西山·）如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点F处，当为直角三角形时，的长为________．

30．（2021·云南·祥云县教育体育局教研室）如图，矩形的对角线与相交于点，、分别为、的中点，若，则的长度为________．

31．（2021·云南普洱·）如图，正方形的边长为4，点在边上，，若点为对角线上的一个动点，则周长的最小值是___________．

32．（2021·云南盘龙·）一个菱形的两条对角线的长分别为3和6，这个菱形的面积是______．
33．（2021·云南峨山·）已知四边形ABCD是矩形，且长为6，宽为4，点E在矩形ABCD的边上，∠ABE=45°，则AE的长为_______．
34．（2021·云南盘龙·）如图，D，E，F分别是ABC各边的中点，AH是BC边上的高，若，则ED的长为_____．

35．（2021·云南昭通·）如图，菱形ABCD的周长是16，∠BAD＝60°，则AC的长为 ______________．

36．（2021·云南呈贡·）如图，在菱形中．
（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点、；
（2）作直线交边于点，且直线恰好经过点；
（3）连接．
根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中正确的有______．（填序号）
①②③④如果．那么

三、解答题
37．（2021·云南普洱·）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB

（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）求证：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE=　 　度．
38．（2021·云南西双版纳·）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE的延长线与CB的延长线交于点F．求证：BC=BF．

39．（2021·云南弥勒·）如图， DACB和DDCE均为等腰直角三角形，且ÐACB = ÐDCE = 90°，点A， D， E在同一直线上, CM为DDCE中 DE边上的高，连接 BE.
（1）求证： DADC @ DBEC.
（2）求ÐAEB的度数.
（3）试探究线段CM， AE， BE之间的数量关系， 并说明理由.

40．（2021·云南·祥云县教育体育局教研室）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：AE＝CF．

41．（2021·云南盘龙·）已如，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）若BC=8，AO=，求四边形AEBC的面积．

42．（2021·云南·祥云县教育体育局教研室）如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，点M为的中点，连结．


（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，且，求四边形的周长．
43．（2021·云南普洱·）如图，是线段AD上的两点，且，点在同一直线上，且分别是的中点，求证：

44．（2021·云南官渡·）如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点．

（1）证明：四边形是菱形；
（2）若．
①求的面积；
②若直线上有一点，当为等腰三角形时，直接写出线段为的长．
45．（2021·云南曲靖·）如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点．

（1）求证：；
（2）如图2，连接、，点、、、分别是、、、的中点，试判断四边形的形状，并说明理由；
（3）如图3，点、分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长．
46．（2021·云南呈贡·）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发以的速度向点运动．点从点出发以的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时．两点同时停止运动．若设运动时间为
（1）直接写出：______，______；（用含的式子表示）
（2）当为何值时，四边形为平行四边形？试说明理由．
（3）若点与点不重合，且，当为何值时，是等腰三角形？

47．（2021·云南昆明·）如图，已知点，，，在同一条直线上，，，．
求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形．

48．（2021·云南·昆明市第三中学）已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝5，求四边形ABCD的面积．

49．（2021·云南峨山·）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积．

50．（2021·云南德宏·）如图，在四边形中，＝＝90°，与互余，在线段上取点，（点在之间），使．当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点．记，，已知，当为中点时，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）求，的长．
（3）若，分别平分，，并交线段，于点，（点，不重合）．连接并延长交于点，如图所示，若，当时，通过计算比较与的大小关系．

51．（2021·云南曲靖·）如图，在中，点，分别在，上，且．
求证：四边形是平行四边形．

52．（2021·云南官渡·）如图，点在平行四边形的对角线上，且，求证：四边形是平行四边形．

53．（2021·云南保山·）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E在BC延长线上，AE平分∠BAD交CD于点F，点G为EF的中点，连接BG，CG，DG，△ABE的面积为S，△BGD的周长为l．
（1）求证：DF＝BC；
（2）若GF＝GC，试判断△DFG与△BCG是否全等，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若EC＝2，S＝32，求l．

54．（2021·云南红河·）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长交BC于点F，连接AF、CE，EF平分∠AEC．

（1）求证：四边形AFCE是菱形．
（2）若∠DAC=60°，EF=4，求四边形AFCE的面积．
55．（2021·云南呈贡·）如图．是的角平分线，过点作交于点．交于点．求证：四边形是菱形，

56．（2021·云南昆明·）如图，在中，，，点为边的中点，交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是正方形？请证明你的结论．

57．（2021·云南临沧·）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC．

（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝6，AB＝5，求BF的长．
58．（2021·云南呈贡·）正方形中．为射线上点（不与重合）．以为边．在正方形的异侧作正方形．连接，．直线与交于点．
（1）如图1，若在的延长线上．求证：，；
（2）如图2，若移到边上．
①在（1）中结论是否仍成立？（直接回答不需证明）
②连接，若，且正方形的边长为1，试求正方形的周长．


参考答案：
1．C
【分析】
依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到，，，再根据是等边三角形，即可得到的周长为．
【详解】
由折叠可得，，
，
又，
，
，
，
由折叠可得，，
，
是等边三角形，
的周长为，
故选C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
2．C
【分析】
延长，，交于点，构造直角三角形，求出，利用勾股定理即可解决问题；
【详解】
解：延长，，交于点，

四边形是平行四边形，
，，，
，．
，，
，．
是的中点，
，
在和中

，
，．
，
，
，
在中，，
则由勾股定理可得：，

，，
在中，，
则由勾股定理可得： ．
故选：C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
3．A
【分析】
根据，可得AD∥BC，AD=BC，可证△ABC为等边三角形，求出BC即可．
【详解】
解：在中，AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAC=∠BCA=60°，
∵
∴△ABC为等边三角形
∴BC=AB=3，
∴AD=3．
故选择A．
【点睛】
本题考查平行四边形性质，平行线性质，等边三角形判定与性质，本题难度不大，掌握平行四边形性质，平行线性质，等边三角形判定与性质是解题关键．
4．B
【分析】
根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠A+∠C=210°，
∴∠A=∠C=105°，
∴∠B=75°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
5．D
【详解】
根据平行四边形判定定理进行判断：
A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故选D．
考点：平行四边形的判定．
6．D
【分析】
根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】
解：A、∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解决本题的关键．
7．C
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值，可判断A选项；根据勾股定理的逆定理可判断B选项；利用平行四边形的判定方法可判断C选项；根据全等三角形的判定定理可判断D选项．
【详解】
解：A、是完全平方式，则k=±6，本选项说法正确，不符合题意；
B、∵52+122=169，132=169，
∴52+122=132，
∴分别以5cm，12cm，13cm为边长的三角形是直角三角形，本选项说法正确，不符合题意；
C、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，本选项说法错误，符合题意；
D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了完全平方公式、勾股定理的逆定理、平行四边形的判定、全等三角形的判定．掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
8．A
【分析】
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】
解：A、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选；A.
【点睛】
本题考查平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定条件是解题的关键．
9．B
【详解】
试题解析：如图，连接PA．

∵在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠A=90°．
又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形PEAF是矩形．
∴AP=EF．
∴当PA最小时，EF也最小，
即当AP⊥CB时，PA最小，
∵AB۰AC=BC۰AP，即AP==4.8，
∴线段EF长的最小值为4.8；
故选B．
考点：1.勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．
10．D
【分析】
根据题意可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用矩形的判定定理，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
故A、B不符合题意；
若AB＝BC，可得到四边形ABCD是菱形，故C不符合题意；
若AC＝BD，可得到四边形ABCD是矩形，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
11．A
【分析】
根据矩形的判定进行判断即可．
【详解】
解：①对角线相等且平分的四边形是矩形，原命题是假命题；
②对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；
③有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题；
④有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题；
综上，只有①是错误的，
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的判定的知识，难度不大．
12．C
【分析】
由矩形的性质得∠A＝∠ABC＝90°，由折叠的性质得∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝33°，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝（90°﹣24°）＝33°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及直角三角形的性质；熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．
13．B
【分析】
由折叠前后的两图形全等，得到一些线段相等，连接后转化到一个直角三角形中，由勾股定理可求出线段AF的长，由折叠A与C重合，折痕EF垂直平分AC，进而即可求出EF的长．
【详解】
连接AC交EF于点O，连接FC，

由折叠得：AF=FC，EF垂直平分AC，
设AF=x，则DF=8﹣x，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
，
即：，解得：x=5，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
，
∴OA=CO=，
在Rt△FOC中，，
EF=2OF=，
故选：B．
【点睛】
本题考查折叠的性质、勾股定理、矩形的性质等知识，将所求线段转化到一个直角三角形中是解决问题的关键，利用勾股定理建立方程求解是常用的方法．
14．B
【分析】
作DF⊥BC,BE⊥CD,先证四边形ABCD是平行四边形.再证Rt△BEC≌Rt△DFC，得，BC=DC，所以，四边形ABCD是菱形.
【详解】
如图，作DF⊥BC,BE⊥CD,
由已知可得，AD∥BC,AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
在Rt△BEC和Rt△DFC中

∴Rt△BEC≌Rt△DFC，
∴BC=DC
∴四边形ABCD是菱形.

故选B
【点睛】
本题考核知识点：菱形的判定.解题关键点：通过全等三角形证一组邻边相等.
15．C
【分析】
证明四边形ABEF是菱形，得到OA=OE，OB=OF=6，AE⊥BF，再在Rt△AOB中由勾股定理求出OA即可解决问题．
【详解】
解：∵以点A为圆心，的长为半径画弧交于点，
∴AF=AB，
∵分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧交于点，作射线交于点，
∴直线AE是线段BF的垂直平分线， 且AP为∠FAB的角平分线，
∴EF=EB，∠FAE=∠BAE，
∵四边形为平行四边形，
∴AD∥BC，∠FAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴BA=BE，
∴BA=BE=AF=FE，
∴四边形ABEF是菱形；
∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中：，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是菱形的判定、垂直平分线、角平分线的尺规作图、勾股定理等相关知识点，掌握特殊四边形的判定方法及重要图形的尺规作图是解决本题的关键．
16．A
【分析】
根据菱形的判定方法一一判断即可解决问题．
【详解】
A. 正确,因为四边形的对角线互相平分，所以这个四边形是平行四边形，又因为对角线互相垂直，所以四边形是菱形，故正确.
B. 错误,因为对角线互相平分且相等，所以四边形是矩形，故错误.
C. 错误,对角线相等且垂直，无法判断四边形是菱形，故错误.
D. 错误,对角线互相垂直，无法.
判断四边形是菱形，故错误.
故答案选A.
【点睛】
本题考查了菱形的知识点，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质并能根据菱形的性质判定正确答案.
17．A
【分析】
连接、交于点，由菱形的性质得出，，，由点的坐标和点的坐标得出，求出，即可得出点的坐标．
【详解】
解：连接、交于点，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
点的坐标为：；
故选：A．

【点睛】
本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．
18．A
【分析】
先由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS证出△BEC≌△DEC，再由全等三角形的对应角相等得出∠DEC=∠BEC=70°，然后根据对顶角相等求出∠AEF，根据正方形的性质求出∠DAC，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠AFE的度数．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠DCA=∠BCA，
∵CE=CE，
∴△BEC≌△DEC，
∴∠DEC=∠BEC=∠DEB=70°，
∴∠AEF=∠BEC=70°，
∵∠DAC=45°，
∴∠AFE=180°﹣70°﹣45°=65°．
故选A.
【点睛】
本题主要考查了对正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，对顶角相等等知识的理解和掌握，能够熟练地运用这些性质进行推理是解题关键.
19．B
【分析】
依次分析各选项，对各选项进行推导证明即可求出说法错误的选项．
【详解】
解：A选项添加AB∥CD，则可得出∠ABD=∠BDC，
由AB=AD，BC=DC，可得出∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB=∠BDC=∠CBD，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
B选项添加∠BAD=90°，无法证明其余的角也是90°，因此无法得到四边形ABCD是矩形；
C选项添加OA=OC，
由AB=AD，BC=DC，可得出AC垂直平分BD，
∵OA=OC，
∴BD也垂直平分AC，
∴AB=BC，
∴AB=AD=BC=DC，
所以四边形ABCD是菱形；
D选项添加“ ∠ABC=∠BCD=90° ，
由等腰三角形的性质，∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ABC=∠ADC=∠BAC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
由AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形．
故选B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、菱形、矩形、正方形、线段的垂直平分线、平行线等内容，解决本题的关键是逐项分析和推导论证，本题一图多用，能较好的检测学生的基础知识与技能，加深学生对相关知识点的融会贯通．
20．C
【分析】
由于点B与点D关于AC对称，所以连接DE，交AC于点P，此时BP＋PE最小为线段DE的长，在Rt△DAE中，由勾股定理先计算出DE的长度即可．
【详解】
连接DE，与AC的交点为P，此时BP＋PE最小，

∵四边形ABCD是正方形，且周长为8，
∴AC⊥BD，BO＝OD，AD＝AB＝2，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BP＝DP，
∴BP＋PE＝DP＋PE＝DE，
∵E是AB的中点，
∴AE＝AB＝1，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，
∴DE＝＝，
故选C．
【点睛】
此题考查轴对称问题，根据两点之间线段最短，确定点P的位置是解题关键．
21．B
【分析】
根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案．
【详解】
解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项不符合题意；
B、对角线互相平分是平行四边形具有的性质，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项符合题意；
C、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项不符合题意；
D、对角线平分对角，矩形不具有此性质，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查正方形的性质、菱形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确矩形、菱形、正方形都是平行四边形．
22．C
【分析】
过点E关于BD的对称点F点，根据正方形的对称性可知点F落在BC上，利用对称的性质以及两点之间线段最短，可知当时，即点P在AF上，此时AP+PF的值最小，则AP+PE最小，则周长的最小值，再利用勾股定理求值即可．
【详解】
解：过点E关于BD的对称点F点，根据正方形的对称性可知点F落在BC上．连接AP，PF．

∵四边形ABCD是正方形，即点E和点F关于BD对称，
∴，
∴当，即点P在AF上，此时AP+PF=AP+PE的值最小，
∴此时周长的值最小，
∵正方形ABCD的边长为12， AE＝7，
∴
∴由勾股定理得：，
∴的周长的最小值是，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质，能找出符合的P点的位置是解此题的关键．
23．4
【分析】
由BC⊥AC，AB＝10，BC＝AD＝6，由勾股定理求得AC的长，得出OA长，然后由勾股定理求得OB的长即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，OB＝OD，OA＝OC，
∵AC⊥BC，
∴AC＝＝8，
∴OC＝4，
∴OB＝＝2，
∴BD＝2OB＝4
故答案为：4．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
24．
【分析】
由平行四边形的性质可得AO=CO=AC，BO=DO=BD，由△COD的周长是20，可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=AC，BO=DO=BD，AB=CD，
∵AC+BD=24，
∴AO+BO=12，
∵△COD的周长是20，
∴AO+BO+AB=20，
∴AB=CD=8，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
25．28
【分析】
首先证明是等边三角形，求出，即可解决问题．
【详解】
解：由作图可知，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，，
四边形的周长为28，
故答案为28．
【点睛】
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26．50
【分析】
先利用平行四边形的性质，得，求得，再利用角平分线定义求，利用平行线性质，即可找到∠1与关系，即可得到答案．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∵平分
∴
∵
∴
∵
∴
故填：50．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是通过平行线的性质找到角与角之间的关系．
27．8
【分析】
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，，又因为点是的中点，可得是的中位线，可得，所以易求的周长．
【详解】
解：的周长为20，
，则．
四边形是平行四边形，对角线，相交于点，，
．
点是的中点，
是的中位线，，
，
的周长，
即的周长为8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．
28．
【分析】
根据中位线定理得到，再判定四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得，则可得．
【详解】
解：∵点F，G分别是AE，BE的中点，
∴
∵在四边形ABCD中，，
∴四边形ABCD是平行四边形
∴
∵
∴
故答案为．
【点睛】
本体考查了中位线定理、平行四边的性质和判定，解题的关键是利用性质找到边与边之间的关系．
29．4或
【分析】
当为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，则，可计算出；
②当点F落在边上时，如答图2所示．此时为正方形，根据勾股定理计算出．
【详解】
解：当为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．
连接，
在中，，
∴，
∵沿折叠，使点B落在点F处，
∴，
当为直角三角形时，只能得到，
∴点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，
∴，
∴；
②当点F落在边上时，如答图2所示．
此时为正方形，
∴，
∴．
综上所述，的长为4或．
故答案为：4或．

【点睛】
本题考查折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．解题的关键是要注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
30．
【分析】
首先根据中位线的性质求出OD的长度，然后根据矩形的对角线相等且互相平分得到AC=BD=2OD，即可求出AC的长度．
【详解】
解：∵、分别为、的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴OD=2PQ=5．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=2OD=25=10．
故答案为：10．
【点睛】
此题考查了三角形中位线的性质，矩形对角线的性质．解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，矩形对角线的性质．
31．6
【分析】
连接PC，根据正方形的对称性得到PC=PA，此时的周长变为AE+PE+PC，当E、P、C三点共线时，PE+PC取得最小值为CE，此时的周长为CE+AE，再由AE=1即可计算求解．
【详解】
解：连接PC，CE如下图所示：

由正方形的对称性可知：PC=PA，
∴的周长=AE+AP+PE=AE+PC+PE=1+PC+PE，
当E、P、C三点共线时，PC+PE取得最小值为CE，
在Rt△CBE中，，
∴周长的最小值为：，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，两点之间线段最短等知识点；本题的关键是连接PC，由对称性得到PC=PA，进而得到当E、P、C三点共线时，PE+PC取得最小值为CE进而求解．
32．9
【分析】
根据菱形面积的计算公式：两对角线乘积的一半，即可计算出面积．
【详解】

故答案为：9．
【点睛】
本题考查了菱形的性质及面积计算，关键是掌握菱形面积等于两对角线乘积的一半．
33．4或
【分析】
根据分类讨论的思想，分为如图1，图2两种情况，分别计算即可.
【详解】
如图1，AB为宽，AB=4，AD为长，AD=6，∠ABE=45°，则ΔABE为等腰直角三角形，
∴AE=AB=4，
如图2，AB为长，AB=6，AD为宽，AD=4，∠ABE=45°；
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-45°=145°，
∴ΔBCE是等腰三角形，
∴CE=BC=AD=4，DE=CD-CE=6-4=2 ，

在RtΔADE中，AE2=AD2+DE2

∴AE=，
故答案为：4或.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质应用，勾股定理的应用，掌握等腰直角三角形的性质应用是解题的关键.
34．3
【分析】
根据直角三角形的性质求出AC，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【详解】
解：∵AH是△ABC的高，
∴∠AHC＝90°，
∵∠AHC＝90°，F是边AC的中点，
∴AC＝2HF＝6，
∵D、E分别是△ABC各边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
35．
【分析】
根据菱形ABCD的周长是16，∠BAD＝60°，可知△ADO是直角三角形且∠DAO＝30°，DO＝＝2，再根据勾股定理可求出AO，再根据菱形性质可求出AC．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，且周长是16，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝4，AB⊥CD，
又∵∠BAD＝60°，
∴△ADO是直角三角形且∠DAO＝30°，
∴DO＝＝2，
∴，
∴AC＝2AO＝，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟悉运用菱形的性质是解题的关键．
36．①②③
【分析】
连接AC，证明△ABC，△ACD都是等边三角形，可判断①；由BC=CD=2CM，可判断②；由三角形的面积公式和AB与DM的关系可判断③；由勾股定理在Rt△ADM中，求出AM，再在Rt△ABM中求得BM，可判断④．
【详解】
解：如图，连接AC．

由作图可知，EF存在平分线段CD，
∴AC=BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=AB=BC=AC，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠ABC=60°，故①正确，
∵BC=CD=2CM，故②正确，
∵AB=CD=2DM，AB∥CD，
∴AB=2DM，
∴S△ABM=2S△ADM，故③正确，
∵AB=2，
∴AD=2，
∵AM垂直平分CD，
∴DM=CD=1，∠AMD=90°，
∴AM=，
∵AB∥CD，
∴∠BAM=∠AMD=90°，
∴BM=，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
37． （1）详见解析
（2）详见解析
（3）58
【分析】
（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“边角边”证明即可．
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBP=∠CDP，根据等边对等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得证．
（3）根据（2）的结论解答：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC=58°.
【详解】
解：（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
∵在△BCP和△DCP中，，
∴△BCP≌△DCP（SAS）．
（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP．
∵PE=PB，∴∠CBP=∠E．∴∠CDP=∠E．

∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E，
即∠DPE=∠DCE．
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC．
∴∠DPE=∠ABC．
（3）解：在菱形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP，
在△BCP和△DCP中，

∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠DPE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC=58°，
故答案为：58．
38．证明见解析．
【详解】
试题分析：首先由平行四边形的性质可得AD=BC，再由全等三角形的判定定理AAS可证明△ADE≌△BFE由此可得AD=BF，进而可证明BC=BF．
试题解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF，∴∠1=∠2．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE．
在△ADE与△BFE中，∵∠DEA=∠FEB，∠1=∠2，AE=BE，∴△ADE≌△BFE（AAS），∴AD=BF，∴BC=BF．

点睛：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、对顶角以及公共角．
39．（1）见解析；（2）90°；（3）AE=BE+2CM．
【分析】
（1）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE；
（2）由△ACD≌△BCE可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；
（3）根据∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．
【详解】
（1）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=180-45=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，
（3）∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，
∴CM=DM=EM，
∴DE=DM+EM=2CM，
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴BE=AD，
∴AE=AD+DE=BE+2CM，
即AE=BE+2CM．
【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
40．见解析．
【分析】
根据已知条件利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
【点睛】
此题考查了学生对平行四边形的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．
41．（1）见解析；（2）18
【分析】
（1）只要证明四边形ADBE是平行四边形，且∠ADB=90°即可；
（2）求出AB、AD，利用梯形的面积公式解答即可．
【详解】
（1）∵AE∥BC，BE∥AD，
∴四边形ADBE是平行四边形．   
∵AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC．
即∠ADB=90°．
∴四边形ADBE为矩形．

（2）∵在矩形ADBE中， AO=，
∴DE=AB= 5．
∵D是BC的中点，
∴AE=DB=4，
∴根据勾股定理 ，
∴．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．
42．（1）见解析；（2）28．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据垂直的定义得到，于是得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据矩形的周长公式即可得到结论．
【详解】
解：（1）四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2），
，
点为的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形的周长．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
43．见解析
【分析】
根据中位线的性质得到，再根据平行线的性质得到．根据等式的性质得到BC=EF，即可证明．
【详解】
证明：∵分别是的中点
∴FG是△ABC的中位线





．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，中位线的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，中位线的性质是解答本题的关键．
44．（1）见解析；（2）；（3）线段的长为2、18、或5．
【分析】
（1）由题意可得，∥，，结合，得到，得，可证四边形是平行四边形，再由折叠可知，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得证；
（2）利用菱形的面积的两种求解方式：①对角线乘积的一半②底×高，列出方程，，即可得到的高，再利用，求出面积；
（3）分三种情况讨论，①以E点为圆心，CE为半径画弧，与直线AE相交于、，即②以C点为圆心，CE为半径画弧，与直线AE相交于，即③，画出图形，分别求解即可．
【详解】
（1）证明：∵平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点
∴∥，，
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形
又
∴平行四边形是菱形．
（2）∵平行四边形是菱形，
∴
∴
∵四边形是菱形，
∴
∵平行四边形，
∴
∴菱形的面积=
即
解得

（3）由（2）
∵平行四边形，
∴
如图所示，以E点为圆心，CE为半径画弧，与直线AE相交于、，

①，此时为等腰三角形
∴；
②，此时为等腰三角形
∴；
如图所示，以C点为圆心，CE为半径画弧，与直线AE相交于，

③，此时为等腰三角形，
由（2）可知
∴

④由（2）可知
∵四边形是菱形，
∴
∴

∴即B点，此时为等腰三角形，

综上所述：当为等腰三角形时，线段的长为2、18、或5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
45．（1）见解析；（2）四边形为正方形，理由见解析；（3）
【分析】
（1）由四边形为正方形，可得，推得，由，可得，可证即可；
（2）、为、中点，可得为的中位线，可证，，由点、、、分别是、、、的中点，可得PQ是的中位线，MQ为的中位线，NP为的中位线，可证，，，，，，可证四边形为平行四边形．再证四边形为菱形，最后证即可；
（3）延长交于点，由对称性可得，，，由勾股定理可求，可得，设，在中，，解得，在中，可求．
【详解】
（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴∠AHB=90°，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）解：四边形为正方形，理由如下：
∵、为、中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵点、、、分别是、、、的中点，
∴PQ是的中位线，MQ为的中位线，NP为的中位线，，
∴，，，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为正方形．
（3）解：延长交于点，
由对称性可知
，，，
在中，
，
∴，
设，则，
在中，
，
，
∴，
在中，
．

【点睛】
本题考查正方形性质与判定，等角的余角性质三角形全等判定与性质，三角形中位线判定与性质，勾股定理，根据勾股定理建构方程，解拓展一元一次方程等知识，掌握以上知识是解题关键．
46．（1）（8-t），（10-2t）；（2）t=2，理由见解析；（3）或
【分析】
（1）先有运动速度表示出AQ，BP，即可得出结论；
（2）先判断出DQ=PC，建立方程求解即可得出结论；
（3）分两种情况讨论计算，求出时间，判断时间是否符合题意．
【详解】
解：（1）由运动知，，，
，，
，，
故答案为，；
（2）四边形是平行四边形，而，
，
由（1）知，，，
，
，
即：时，四边形是平行四边形；
（3）由（1）知．，，，，
是等腰三角形，且，
①当时，
点在的垂直平分线上，
，
，
，
②当时，如图，
Ⅰ、过点作于，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，

，
，
点在边上，不和重合，
，
，
此种情况符合题意，
即：或秒时，是等腰三角形．

【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，线段的垂直平分线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，解（2）的关键的关键是用DQ=PC建立方程求解，解（3）的关键是分情况讨论，是一道中等难度的题目．
47．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据平行线的性质可得，线段的和差计算可得，根据全等三角形的判定易知，继而即可求证结论；
（2）根据全等三角形的性质可得，，继而由补角可得，继而根据平行四边形的判定即可求证结论．
【详解】
证明：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
在△ABC和△DEC中，

∴，
∴，
（2）由（1）可得，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．

【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握所学知识证得．
48．（1）见解析；（2）48
【分析】
（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．
（2）作FG⊥BC于G，根据S菱形ABEF=AE•BF=BE•FG，先求出FG即可解决问题．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠EBF=∠AFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∵BO⊥AE，
∴∠AOB=∠EOB=90°，
∵BO=BO，
∴△BOA≌△BOE（ASA），
∴AB=BE，
∴BE=AF，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF．
∴四边形ABEF是菱形．
（2）作FG⊥BC于G，


∵四边形ABEF是菱形，AE=6，BF=8，
∴AE⊥BF，OE=AE=3，OB=BF=4，
∴BE==5，
∵S菱形ABEF=AE•BF=BE•FG，即，
∴FG=，
∴S平行四边形ABCD=BC•FG=48．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．
49．（1）见解析；（2）菱形BMDN的面积是20
【分析】
（1）证△DMO≌△BNO，得出OM＝ON，根据对角线互相平分证四边形BMDN是平行四边形，再根据对角线互相垂直证菱形即可；
（2）设BM=x，根据勾股定理列出方程，求出菱形边长，再用面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，MN垂直平分BD，
∴AD∥BC，∠A＝90°，OB＝OD，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中，

∴△DMO≌△BNO（AAS）
∴OM＝ON
又∵OB＝OD
∴四边形BMDN是平行四边形
∵MN垂直平分BD，即MN⊥BD
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形BMDN是菱形
∴MB＝MD
在Rt△AMB中，设BM=x，BM2＝AM2+AB2
即x2＝（8﹣x）2+42
解得：x＝5，MD=5
∴BN=MD=5
∴
答：菱形BMDN的面积是20．
【点睛】
本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
50．（1）DE∥BF，见解析；（2）DE＝12，MN＝10；（3）BQ＞BE
【分析】
（1）根据同角的余角相等证∠AED＝∠ABF，即可得出DE∥BF；
（2）当x＝0时，DE＝DP，当y＝0时，MN＝QN，代入函数解析式即可求；
（3）把代入，求得NQ＝6，得出QM＝4，由FQ＝QB，BM＝2FN，得出FN＝2，BM＝4 ，FM＝FN + MN＝12，证四边形DFME是平行四边形，得出DF＝EM，由角平分线求出∠DEA＝∠FBE＝∠FBC＝30°，∠ADE＝∠CDE＝∠FME＝60°，∠MEB＝∠FBE＝30°，得出∠EHB＝90°，DF＝EM＝BM＝4，MH＝2，EH＝6 ，由勾股定理得HB＝2，BE＝4 ，当DP＝DF时，求出BQ＝，即可得出BQ＞BE．
【详解】
解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：
如图1所示：
∵∠A＝∠C＝90°
∴∠ADE与∠AED互余
∵∠ADE与∠EBF互余
∴∠AED＝∠EBF
∴DE∥BF
（2）令x＝0，得y＝12
∴DE＝12
令y＝0，得x＝10，
∴MN＝10
（3）把y＝代入y＝﹣x+12，
解得：x＝6，即NQ＝6，
∴QM＝10﹣6＝4，
∵Q是BF中点，
∴FQ＝QB，
∵BM＝2FN，
∴FN+6＝4+2FN，
解得：FN＝2，
∴BM＝4
∵FM＝FN + MN＝12＝DE，DE∥BF，
∴四边形DFME是平行四边形，
∴DF＝EM
∵∠AED＝30°
∴∠FBE＝∠AED＝30°
∵∠A＝90°
∴∠ADE＝∠A﹣∠AED＝ 60°
∵DE平分∠ADC
∴∠FDE＝∠ADE＝ 60°
∵四边形DFME是平行四边形
∴∠EMF＝∠FDE＝60°
∠EMF 是的一个外角，∠FBE＝30°
∴∠MEB＝∠EMF﹣∠FBE＝30°
∵BF平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠FBE＝60°， ∠HBM＝30°
∴在中，∠EHB=180°﹣∠ABC﹣∠MEB＝90°
∵BM＝4
∴EM＝BM＝4，
∴在中，∠EHB＝90°，∠HBM＝30°
∴MH＝BM＝2，
∴EH＝EM + MH＝6，
由勾股定理得：，
在中
∴，
当DP＝DF时，﹣x+12＝4，
解得：x＝，
∴BQ＝BN﹣NQ＝14﹣x＝14﹣＝，
∵＞，
∴BQ＞BE
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点．解题关键是准确识图，证明图形中的平行四边形，恰当运用勾股定理求解．
51．见解析
【分析】
根据一组对边平行且相等判断四边形DEBF是平行四边形即可．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
又，
∴．
即．
∴四边形是平行四边形．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定定理进行求解．
52．证明见解析
【分析】
结合题意，根据平行四边形性质，得，，，；根据平行线性质，得，；再根据全等三角形性质，通过证明，，即可完成证明．
【详解】
∵平行四边形
∴，，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、全等三角形的性质，从而完成求解．
53．（1）见解析；（2）△DFG≌△BCG ，见解析；（3）
【分析】
（1）因为四边形 ABCD 是平行四边形，推出，由AE 平分，
， DF =DA，即可求解．
（2）因为点G 为 EF 的中点，GF = GC ， GE = GF =GC ，推出，，由四边形 ABCD 是平行四边形，再推出，即可证明△DFG≌△BCG（SAS）．
（3）推出四边形 ABCD 是矩形，，得到△ECF 和△ABE 是等腰直角三角形，证明在Rt△ABC 中，，，在等腰直角三角形 BGD 中推出，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD= BC AB // DC ，
∴．
∵ AE 平分，
∴，
∴，
∴ DF =DA，
∴ DF =BC．
（2）解：△DFG≌△BCG．
理由：∵点G 为 EF 的中点，GF = GC ，
∴ GE = GF =GC ，
∴，
∴，

∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD // BC ，
∴，
∴，
∴．
在△DFG 和△BCG 中，

∴△DFG≌△BCG（SAS）．
（3）解：由（2）知，∠DCB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，

由（2）知，
∴△ECF和△ABE是等腰直角三角形，
∴CG⊥EF，即∠CGB+∠BGF=90°



∴△BGD 是等腰直角三角形．
在等腰直角三角形 ABE 中，
∴ AB = BE =8 ．
在Rt△ABC 中，，

在等腰直角三角形 BGD 中，

【点睛】
此题主要考查平行四边形的性质和矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握它们的性质和判定定理是解题的关键．
54．（1）见解析；（2）四边形AFCE的面积为8．
【分析】
（1）由“AAS”证△AOE≌△COF，得OF=OE，证出四边形AFCE是平行四边形，再证CE=CF，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质得到AC⊥EF，EO=FO=EF=2，求得∠AOE=90°，根据三角形的内角和定理得到∠AEO=30°，求得OA=2，得到AC=2OA=4，根据菱形的面积公式即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO=CO，
∴∠AEF=∠CFE，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF=OE，
∵AO=CO，
∴四边形AFCE是平行四边形；
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠CEF，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，
∴AC⊥EF，EO=FO=EF=2，
∴∠AOE=90°，
∵∠DAC=60°，
∴∠AEO=30°，
∴2OA=AE，
由勾股定理得,即,
∴AO=2，
∴AC=2OA=4，
∴四边形AFCE的面积=AC×EF=×4×4=8．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
55．见解析
【分析】
由题意可证BE=DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形．
【详解】
解：证明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBF=∠ABC，
∴∠ABD=∠EDB，
∴DE=BE，
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，等角对等边，平行线的性质，掌握菱形的判定定理是本题的关键．
56．（1）见解析；（2）当是等腰直角三角形，四边形是正方形，见解析．
【分析】
（1）先证四边形为平行四边形，再证，可得；
（2）先证四边形是平行四边形，再证，，根据正方形的判定可得出结论．
【详解】
证明：（1）∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形
∴
∵点是的中点，
∴
∴
在与中，

∴
∴
（2）当是等腰直角三角形，四边形是正方形
∵，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
∵是等腰直角三角形，点是的中点
∴，
∴四边形是正方形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定、平行四边形的判定与性质，能找到边与边之间的关系是解题的关键．
57．（1）见解析；（2）BF＝．
【分析】
（1）由菱形的性质得∠BOC=90°，，推出BE=OC，即可得出四边形BECO是平行四边形，又由∠BOC=90°，即可得出结论；
（2）先利用勾股定理求出DE的长，然后证明△ODF≌△CEF，得到DF＝EF，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可.
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，
∵BE＝AC，
∴BE＝OC，
∵BE∥AC，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵∠BOC＝90°，
∴平行四边形BECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，OC＝AC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：，
∴BD=2OB=8，
由（1）得：四边形BECO是矩形，
∴BE＝OC＝3，∠OBE＝∠ECO＝90°，OB＝CE，OB∥CE，
∴，∠ODF＝∠CEF，OD＝CE，
∵∠DOF＝∠ECF＝90°，
∴△ODF≌△CEF（ASA），
∴DF＝EF，
∵∠DBE＝90°，
∴BF＝DE＝．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
58．（1）见解析；（2）①成立；②9.6
【分析】
（1）由正方形的性质得出条件，证明△BCM≌△DCF（SAS），由全等三角形的性质及角的互余关系可得结论；
（2）①证明△BCM≌△DCF，得到DF=BM，∠CFD=∠CMB，利用余角的定义证明即可；
②设正方形ABCD的边长为x，则BC=CD=x，由勾股定理求得BD的长，再用含x的式子表示出BF，然后根据BD=BF得出关于x的方程，解得x的值，再乘以4即可．
【详解】
解：（1）证明：四边形与四边形都是正方形，
，，．
在和中，
，
．
，．
，
，
，
；
（2）①成立．
四边形与四边形都是正方形，
，，．
在和中，
，
．
，．
，
，
，
；
②设正方形的边长为，则，
，
正方形的边长为1，
．
，
，
．
≈9.6．
正方形的周长为9.6．